Proprietà di trasformazione di Fourier, applicazioni, esempi

IL trasformata di Fourier È un metodo di adeguatezza analitica orientata a funzioni integrabili che appartiene alla famiglia di TRansformd completo. Consiste in una ridefinizione delle funzioni F (t) in termini di cos (t) e sen (t).

Le identità trigonometriche di queste funzioni, insieme alle loro caratteristiche di derivazione e antididanza, servono a definire la trasformazione di Fourier attraverso la seguente funzione complessa:

Che è soddisfatto mentre l'espressione ha senso, cioè quando l'integrale improprio è convergente. Algebrico si dice che la trasformazione di Fourier sia un omeomorfismo lineare.

Qualsiasi funzione che può essere lavorata con la trasformazione di Fourier deve presentare nullità al di fuori di un parametro definito.

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Proprietà

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La trasformata di Fourier soddisfa le seguenti proprietà:

Esistenza

Per verificare l'esistenza della trasformazione di Fourier in una funzione f (t) definita nei reali R, I seguenti 2 assiomi devono essere soddisfatti:

1. f (t) è continuo a pezzi per tutto R
2. f (t) è integrabile in R

Linearità della trasformazione di Fourier

Sia m (t) e n (t) due due funzioni con Fourier definite trasformate, con costanti A e B.

F [a m (t) + b n (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Che si basa anche sulla linearità dell'integrale con lo stesso nome.

Fourier trasformato da un derivato

Hai una funzione F  che è continuo e integrabile in tutti i reais, dove:

E il derivato di F (f ') È continuo e definito a pezzi in tutto R

La trasformata di Fourier di un derivato è definita dall'integrazione per parti, dalla seguente espressione:

F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)

Nelle derivazioni di ordine superiore, verrà applicato in modo omologa, dove per tutto N 1 devi:

F [F ^N'(t)] (z) = (iz)^NF [f (t)] (z)

Differenziazione della trasformata di Fourier

Hai una funzione F  che è continuo e integrabile in tutti i reais, dove:

I (d/dz)F [f (t)] (z) = F  [T .  f (t)] (z)

Fourier trasformato da una traduzione

Per tutti θ che appartiene a un set e T che appartiene al set s ', devi:

F [ τ_A θ] =  E^-Iay F [ θ]                                 F [ τ_AT ] =  E^-Iax  F [ T]   

Con  τ_A  lavorare come operatore di traduzione sul vettore a.

Traduzione della trasformazione di Fourier

Per tutti θ che appartiene a un set e T che appartiene al set s ', devi:

τ_A F [θ] =  F [E^-Iax.θ]                                τ_A F [t ] =  F [E^-Iay . T]

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Per tutti A che appartiene a R

Trasformata di Fourier di un gruppo di scala

Per tutti θ che appartiene a un set s. T che appartiene al set s '

λ appartenente a R - 0  Si deve:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (E/λ)                 

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (e/λ)

Sì F È una funzione continua e puramente integrabile, in cui un> 0. COSÌ:

F [f (at)] (z) =   (1/A) F [f (t)] (z/a) 

Per dimostrare questo risultato, possiamo procedere con il cambiamento di variabile.

Quando t → + allora s = at → + ∞

Quando t → - allora s = at → - ∞

Simmetria

Per studiare la simmetria della trasformata di Fourier.

Hai θ e δ a cui appartengono S. Da lì si può dedurre che:

Ottenimento

1 / (2π)^D  F [θ ], F [Δ" Identità Parseval

1 / (2π)^D/2  || F [θ " ||_L²_R^D     Formula Plancherel

Fourier trasformato da un prodotto in convoluzione

Inseguendo obiettivi simili che nella trasformazione di Laplace, la convoluzione delle funzioni si riferisce al prodotto tra le sue trasformazioni di Fourier.

Ha f e g come funzioni limitate, definite e completamente integrabili:

F (f *g) = f (f) . F (g)

Quindi quando si effettua il cambio di variabile

t + s = x; Il doppio doppio integrale integrale continua

F (f) . F (g) = f (f . G)

Continuità e caduta nell'infinito

Per tutti θ che appartiene a R, f [ θ] obbedisce ai criteri di funzione continua limitata in r^D.

Anche F [ θ] (y) → 0 in c si | y | → ∞

Storia

Questo concetto matematico è stato presentato da Joseph B. Fourier nel 1811 mentre sviluppava un trattato riguardo al Distribuzione del calore. È stato rapidamente adottato da vari rami di scienza e ingegneria.

È stato stabilito come lo strumento di lavoro principale nello studio delle equazioni con derivati ​​parziali, confrontando anche con la relazione di lavoro tra il Laplace trasformate e equazioni differenziali ordinarie.

Qual è la trasformazione di Fourier per?

Serve principalmente a equazioni significative, trasformando espressioni derivate in elementi di potere, che indicano espressioni differenziali sotto forma di polinomi integrabili.

Nell'ottimizzazione, la modulazione e la modellizzazione dei risultati fungono da espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.

Serie di Fourier

Sono una serie definita in termini di cosen e seni; Servono a facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando applicati fanno parte delle tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali parziali e ordinarie.

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Le serie di Fourier sono ancora più generali della serie di Taylor, perché sviluppano periodiche funzioni di discontinua che non hanno rappresentazione nella serie Taylor.

Altre forme della serie di Fourier

Per comprendere analiticamente la trasformazione di Fourier è importante.

-Serie di Fourier su una funzione del periodo 2L

Molte volte è necessario adattare la struttura di una serie di Fourier, a funzioni periodiche il cui periodo è p = 2L> 0 nell'intervallo [-l, L].

-Serie di Fourier in funzioni pari e dispari

È considerato l'intervallo [-π, π] che offre vantaggi quando si sfrutta le caratteristiche simmetriche delle funzioni.

Se F è coppia, la serie Fourier è stabilita come una serie di cosenos.

Se F è dispari, la serie Fourier è stabilita come una serie di seni.

-Notazione complessa della serie di Fourier

Se hai una funzione F (T), che soddisfa tutti i requisiti sviluppati della serie Fourier, è possibile indicarla nell'intervallo [-t, T] usando la sua notazione complessa:

Applicazioni

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Calcolo della soluzione fondamentale

La trasformazione di Fourier è un potente strumento nello studio delle equazioni differenziali parziali del tipo lineare con coefficienti costanti. Richiedere funzioni con domini non limitati allo stesso modo.

Come la trasformazione di Laplace, la trasformazione di Fourier trasforma una funzione dei derivati ​​parziali, in un'equazione differenziale ordinaria molto più facile da operare.

Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un frequente campo di applicazione della trasformata di Fourier in cui viene generata la funzione Calore di dirichlet o nucleo del nucleo.

Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, sono presentati i seguenti casi in cui è comune trovare la trasformazione di Fourier:

-Equazione di Laplace

-Equazione di calore

-Equazione di Schrödinger

-Equazione delle onde

Teoria del segnale

La ragione generale dell'applicazione della trasformata di Fourier in questo ramo è principalmente dovuta alla caratteristica decomposizione di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente curabili.

Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata di Fourier la esprime in una semplice sovrapposizione di onde. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.

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D'altra parte, sono esempi di applicazione della trasformata di Fourier nel campo della teoria del segnale:

-Problemi di identificazione del sistema. Stabilito f e g

-Problema con la coerenza del segnale di uscita

-Problemi con il filtro del segnale

Esempi

Esempio 1

Definire la trasformazione di Fourier per la seguente espressione:

Possiamo anche rappresentarlo come segue:

F (t) = Sin (t) [h_{(T + K)} - H_{(T - K)} "

L'impulso rettangolare è definito:

p (t) = h_{(T + K)} - H_{(T - K)}

La trasformazione di Fourier viene applicata alla prossima espressione che ricorda il teorema della modulazione.

f (t) = p (t) sin (t)

Dove: F [w] = (1/2) I [P (W + 1) - P (W - 1)]

E la trasformata di Fourier è definita da:

F [w] =  (1/2) I [(2/2W+1) SEN (K (W+1)) - (2/2W+1) Sen (K (W-1))]

Esempio 2

Definire la trasformazione di Fourier per l'espressione:

Per definizione esprimiamo la trasformazione come segue

Perché f (h) è una funzione pari, si può affermare

Derivando all'interno dell'integrale rispetto a z, l'espressione può essere riscritta. Questo passaggio è significativo nel lavoro con equazioni differenziali.

L'integrazione per parti viene applicata selezionando le variabili e i loro differenziali come segue

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e^-H)²                       V = (e^-H)² / 2

Sostituendolo

Dopo aver valutato sotto il teorema fondamentale del calcolo

Applicando le conoscenze precedenti relative alle equazioni differenziali del primo ordine, l'espressione è indicata come

Per ottenere k che valutiamo 

Infine, la trasformazione di Fourier è definita come

Esercizi proposti

• Determina la trasformazione dell'espressione di Fourier
• Risolvi il seguente integrale improprio usando l'uguaglianza di Pareseval
• Ottieni la trasformazione dell'espressione con (1+W²)

Riferimenti

1. Duoandikoetxea zuazo, j., Analisi di Fourier. Addison- Wesley Iberoamericana, Università autonoma di Madrid, 1995.
2. Lions, j. L., Analisi matematica e metodi numerici per la scienza e la tecnologia. Springer-Verlag, 1990.
3. Lieb, e. H., I kernel gaussiani hanno solo massimizzatori gaussiani. Inventare. Matematica. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, h., McKean, h. P., Serie e integrali di Fourier. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, l., Théorie Des Distributions. Ed. Hermann, Parigi, 1966.