Proprietà trasformazioni lineari, quali sono l'uso, tipi, esempi

UN Trasformazione lineare, che chiameremo semplicemente, mette in relazione gli elementi di due spazi vettoriali V e W, assegnando ciascun vettore v appartenente a V un singolo vettore W che appartiene a W, attraverso un'operazione specifica.

Questa trasformazione soddisfa due condizioni:

Figura 1. Una trasformazione lineare si applica a un vettore di spazio vettoriale V per ottenere un altro vettore appartenente allo spazio vettoriale W. Fonte: f. Zapata.

-Condizione 1

Si riferisce all'aggiunta, in modo che una trasformazione T -lineare deve essere soddisfatta che:

T (v + W) = T (v) + T (W)

-Condizione 2

La seconda condizione rappresenta l'omogeneità nella moltiplicazione di uno scalare da parte di un vettore:

T (cv) = c⋅t (v)

La trasformazione lineare, come suggerisce il nome, è responsabile della mappatura o della trasformazione di elementi di V in elementi di W.

La notazione per le funzioni è anche utilizzata nel caso di trasformazioni lineari, quindi il dominio di V è l'insieme di elementi (vettori) da trasformare, mentre il codicium o il percorso è il set risultante.

Un esempio di trasformazione lineare è:

Per indicare che la lettera t verrà utilizzata. La trasformazione verrà applicata a un vettore v i cui componenti sono xey, che sono stati rappresentati da una matrice a colonna singola. Il risultato è un altro vettore W i cui componenti sono X e 0, rappresentati anche da una matrice di colonna.

Pertanto, questa è una trasformazione dello spazio vettoriale R² Verso lo spazio vettoriale r², che in sintesi è scritto in questo modo:

T: r² → R²         

Se abbiamo il vettore:

La trasformazione ci restituisce:

E così con qualsiasi vettore r². Nell'esempio 1 verrà verificato che questa trasformazione è lineare.

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Proprietà delle trasformazioni lineari

Supponiamo una trasformazione lineare di V in W, in cui i vettori v E O Appartengono a V, quindi vengono soddisfatte le seguenti proprietà:

Proprietà 1

T (0) = 0

Dove 0 è il vettore nullo.

Proprietà 2

T (-v) = - t (v)

Proprietà 3

T (O  - v) = T (O) - T (v)

Proprietà 4

Essere v = c₁v₁ + C₂v₂ +.. . +  C_Nv_N

 COSÌ:

T (c₁v₁ + C₂v₂ +.. . +  C_Nv_N) = c₁ T (v₁) + c₂ T (v₂) +.. . +  C_N T (v_N)

Elementi di trasformazione lineare

Sia V e W già menzionati spazi vettoriali in cui la trasformazione lineare T trasforma gli elementi di V in W. Possiamo definire i seguenti elementi:

-C nucleo o kernel: È un sottoinsieme del dominio a cui è indicato N (t) O Ker (T) e comprendere tutti gli elementi di V tale che:

T (v) = 0.

La trasformazione lineare t (v) = 0 è chiamato trasformazione nulla.

Naturalmente il vettore nullo v = 0 soddisfa comunque con questa condizione, ma il kernel è costituito da tutti i vettori non nulli che lo soddisfano anche, per un dato t.

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-Immagine di t: È l'insieme di vettori appartenenti a W tale che sono l'immagine di almeno un vettore in V. È indicato come Im t) Ed è sottoinsieme dello spazio vettoriale W.

Questi elementi ci aiuteranno a classificare le trasformazioni lineari in seguito.

A cosa sono trasformazioni lineari?

Inizialmente, le trasformazioni lineari funzionano con spazi vettoriali, formati da vettori. Molte volte associamo i vettori a forza e altre magnitudini fisiche, tuttavia nell'elaborazione digitale delle immagini, un pixel può essere rappresentato da un vettore.

In tal caso, l'immagine può essere manipolata da comode trasformazioni lineari per ottenere gli effetti desiderati, ad esempio proiettando, ruotando, trovando l'immagine speculare o modificando le sue dimensioni senza modificare le dimensioni relative.

Le trasformazioni lineari sono anche ampiamente utilizzate in economia e processo decisionale, ad esempio per conoscere la quantità di materie prime necessarie per produrre un determinato lotto di prodotti.

Il numero di pezzi necessari per assemblare i vari modelli prodotti da una fabbrica, può essere elaborato attraverso una disposizione a matrice, come vedremo più avanti.

Tipi di trasformazioni lineari (classificazione)

Come le funzioni, le trasformazioni lineari possono essere:

-Iniettivo o monomorfismi

-Bijective o Epimorfismi

-Eccessivo o Isomorfismi

Inoltre sono i seguenti tipi:

-Endomorfismi

-Automorfismi.

Trasformazioni lineari iniettivi

Lascia che V e W vettoriali e T una trasformazione lineare T: V → W. T è iniettivo quando:

Ker (T) = 0

Trasformazioni di overjective lineari

Se v e w sono gli spazi vettoriali tale che t: v → w, si dice che T sia bijective quando:

Im (t) = w

Trasformazioni lineari bijjective

Una trasformazione lineare T: V → W è bijective quando è sia iniettivo che eccessivo. Pertanto è soddisfatto che:

Ker (T) = 0 E Im (t) = w

Endomorfismi

Sono trasformazioni lineari in cui coincidono il dominio e il codicium.

Automorfismi

Questo tipo di trasformazioni lineari sono endomorfismi bijective.

Trasformazioni lineari speciali

Operatore lineare

Una trasformazione lineare T: V → V, che va da uno spazio vettoriale allo stesso spazio vettoriale viene chiamata Operatore lineare.

Trasformazione zero

Citato sopra, la trasformazione zero è importante per trovare il kernel di una trasformazione lineare:

Può servirti: tetradecágon

T: V → W tale che t (v) = 0 Per ogni v.

Trasformazione dell'identità

T: V → V tale che t (v) = v  Per ogni v.

Trasformazione definita da una matrice

T: V → W tale che t (v) = Av, dove a è una matrice e v È un vettore di colonna.

Funzione lineare

Le funzioni lineari del tipo y = mx sono trasformazioni lineari. Prendi ad esempio y = 3x e vedi se soddisfa le due condizioni dell'inizio, testando con due valori A e B qualsiasi:

f (a+b) = 3 (a+b) = 3a+3b = f (a)+f (b)

f (ka) = 3 (ka) = k⋅ (3a) = k⋅f (a)

In effetti è una trasformazione lineare.

Applicazioni

Le trasformazioni lineari hanno applicazioni matematiche, come:

-Rotazione degli assi di coordinate.

-Nella soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari.

-Problemi di auto -valore e automatica.

E hanno anche applicazioni in altri campi della scienza, ad esempio in meccanica, meccanica quantistica e economia, tra le altre aree.

Esempi di trasformazioni lineari

Esempio 1

In molti problemi meccanici dobbiamo trovare la proiezione di un vettore v appartenente allo spazio, su un certo piano. Questo vettore v può rappresentare ad esempio una forza.

Supponiamo di voler proiettare il vettore v = Sul piano XY. Possiamo definire una trasformazione lineare data dalla seguente matrice:

Quando lo applichiamo al vettore v Otteniamo un vettore il cui componente Z è cancellato. Geometricamente è rappresentato, con la proiezione di v Sul piano XY come vettore rosso con due componenti.

figura 2. Proiezione di un vettore nello spazio su un piano, che si ottiene attraverso una trasformazione lineare. Fonte: f. Zapata.

Esempio 2

Supponiamo di avere una fabbrica che produce tre tipi di carrelli giocattoli: C1, C2 e C3, per i quali a sua volta hai bisogno di tre tipi di pezzi in determinate quantità per produrre ogni tipo di carrello:

-Assi o pezzo

-Ruote o pezzo B

-Telaio o pezzo c

Per ogni tipo di carrello, il numero di pezzi è diverso, poiché i modelli sono diversi. Possiamo ospitare le quantità in una matrice 3 × 3, in cui le colonne sono guidate dal tipo di carrello e i ranghi corrispondono alla quantità di pezzi necessari per elaborare ciascun modello.

Questo è un esempio di trasformazione data da una matrice che sarebbe così:

Se la fabbrica riceve un determinato ordine di acquisto, che consiste X importo di C1, E  di C2 e z Da C3, quanti pezzi A, B e C devono avere a disposizione per assemblare i carrelli dell'ordine?

Può servirti: quali sono le espressioni algebriche e quali sono le più frequenti?

Dobbiamo trovare una trasformazione lineare t (x) tale che:

Per ottenere il vettore e:

Questo ci darà la quantità di parti che dobbiamo avere in disposizione. Nell'anno risolto 2 valutiamo l'efficacia delle trasformazioni lineari per trovare la quantità di parti necessarie per soddisfare un determinato ordine.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Verificare che la seguente trasformazione t: R² → R² È lineare:

Soluzione

Per fare ciò, è necessario assicurarsi che la trasformazione soddisfi le due condizioni descritte all'inizio, prima l'aggiunta e quindi il prodotto di uno scalare per un vettore. Quindi devi prendere due vettori v E  O appartenente a r², scrivendoli tramite notazione di matrice o specificando i componenti.

Questi vettori sono:

v = x₁, E₁

O = x₂, E₂

Prima condizione

-Ricordando che i vettori sono aggiunti componente componente, deve essere verificato che:

T (v+O) = T (v) + T (O)

T (v+O) = T (x₁+ X₂ ; E₁ + E₂)

Da qui si ottiene questo:

T (x₁+ X₂ ; E₁ + E₂) = (x₁+ X₂; 0)

-D'altra parte, quando si applica la trasformazione a ciascun vettore separatamente:

T (x₁,E₁) + T (x₂,E₂) = (x₁,0) + (x₂,0)

Aggiungendo i vettori risultanti, si ottiene effettivamente:

W = (X₁+ X₂; 0)

Poiché entrambi i risultati sono identici, la prima condizione è soddisfatta.

Seconda condizione

Ora lo verificheremo moltiplicando per una scler C, può uscire dalla trasformazione:

T (cv) = c⋅t (v)

Sean:

v = x₁, E₁

C.v = C⋅x₁, C⋅y₁

COSÌ:

T (cv) = T (c⋅x₁, C⋅y₁ ) = (C⋅x₁ , 0)

Ma lo sappiamo dal passaggio precedente che t (v) = T (x₁, E₁ ) = (X₁ , 0).

Quindi, poiché entrambe le espressioni sono identiche, anche la seconda condizione viene soddisfatta e la trasformazione è lineare.

- Esercizio 2

Una fabbrica di carrelli giocattolo assembla tre modelli di veicoli: C1, C2 e C3, per i quali hai bisogno di pezzi A, B e C che sono rispettivamente assi, ruote e telaio. Gli importi richiesti sono nella tabella seguente:

Alla fabbrica è stato chiesto di preparare 12 modelli C1, 22 C2 e 16 C3. Quanti pezzi A, B e C sono necessari per completare l'ordine?

Soluzione

Viene applicata la trasformazione lineare t (x) = y, il cui risultato è il prodotto tra le matrici:

Sono richiesti in totale:

-96 assi

-256 ruote

-50 telaio.

Riferimenti

1. Algebra e geometria analitica. Core e immagine. Classificazione di trasformazioni lineari. Recuperato da: AGA.frba.Utn.Edu.ar.
2. Grossman, s. 2012. Algebra lineare. 7 °. Edizione. McGraw Hill.
3. Gutiérrez, e. 2014. Algebra lineare e le sue applicazioni. Gruppo editoriale di Patria.
4. Larson, r. 2016. Fondamenti di algebra lineare. 6 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Wikipedia. Applicazioni lineari. Recuperato da: è.Wikipedia.org.