Tipi di integrali

IL Tipi di integrali che siamo nel calcolo sono gli integrali indefiniti e gli integrali definiti. Sebbene gli integrali definiti abbiano molte più applicazioni rispetto agli integrali indefiniti, è prima necessario imparare a risolvere integrali indefiniti.

Una delle applicazioni più attraenti degli integrali definiti è il calcolo del volume di un solido di rivoluzione. Entrambi i tipi di integrali hanno le stesse proprietà di linearità e anche le tecniche di integrazione non dipendono dal tipo di integrale.

Ma nonostante sia molto simile, c'è una differenza principale; Nel primo tipo di integrale il risultato è una funzione (che non è specifica) mentre nel secondo tipo il risultato è un numero.

Tipi di base di integrali

Il mondo degli integrali è molto ampio, ma in questo possiamo distinguere due tipi di base di integrali, che hanno una grande applicabilità nella vita di tutti i giorni.

1- Integrali indefiniti

Se f '(x) = f (x) per tutti x nel dominio di f, diciamo che f (x) è un antiderivativo, un primitivo o un integrale di f (x).

D'altra parte, notiamo che (f (x)+c) '= f' (x) = f (x), il che implica che l'integrale di una funzione non è unico, poiché dare valori diversi alla costante C otterremo diversi antiderivativi.

Per questo motivo F (x)+C è chiamato integrale indefinito di F (x) e C è chiamato costante di integrazione e lo scriviamo come segue:

Come possiamo vedere, l'integrale indefinito della funzione f (x) è una famiglia di funzioni.

Ad esempio, se si desidera calcolare l'integrale indefinito della funzione f (x) = 3x², prima deve essere trovato prima un antiderivativo di f (x).

È facile notare che f (x) = x³ è un antiderivativo, poiché f '(x) = 3x². Pertanto, si può concludere

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³+c.

2- Integrali definiti

Sia y = f (x) Una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a, b] ed essere f (x) un antiderivativo di f (x). Si chiama integrale definito di f (x) tra i limiti a e b al numero f (b) -f (a) e indica come segue:

La formula mostrata sopra è meglio conosciuta come "il teorema fondamentale del calcolo". Qui "a" si chiama limite inferiore e "b" è chiamato limite superiore. Come si può vedere, l'integrale definito di una funzione è un numero.

In questo caso, se l'integrale definito di f (x) = 3x² viene calcolato nell'intervallo [0,3], verrà ottenuto un numero.

Per determinare questo numero scegliamo f (x) = x³ come antiderivativo di f (x) = 3x². Quindi, calcoliamo F (3) -f (0) che ci lancia come risultato 27-0 = 27. In conclusione, l'integrale definito di f (x) nell'intervallo [0,3] è 27.

Si può notare che se G (x) = x³+3, allora g (x) è scelto, è un antiderivativo di f (x) diverso da f (x), ma ciò non influisce sul risultato come g (3) -g (0) = (27+3)-(3) = 27. Per questo motivo, negli integrali definiti non appare la costante di integrazione.

Una delle applicazioni più utili che questo tipo di integrale ha è che consente di calcolare l'area (volume) di una figura piatta (di una solida rivoluzione), stabilendo adeguate funzioni e limiti di integrazione (e un asse di rotazione).

Tra gli integrali definiti possiamo trovare varie estensioni di questo come linee integrali, integrali di superficie, integrali impropri, integrali multipli, tra gli altri, tutti con applicazioni molto utili in scienze e ingegneria.

Riferimenti

1. Kishan, h. (2005). Calcolo integrale. Editori e distributori dell'Atlantico.
2. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. E. (2007). Calcolo (Nona ed.). Prentice Hall.