Teorema di Varignon

Figura 1.- Il teorema di Varignon afferma che la somma del momento delle forze attorno a un certo punto è equivalente al tempo del risultato rispetto a quel punto. Fonte: Wikimedia Commons/F. Zapata.

Cos'è il teorema di Varignon?

Il teorema di Varignon, in meccanica, afferma che la somma dei momenti prodotti da un sistema di forze simultanee rispetto a un certo punto, è uguale al momento della forza risultante rispetto allo stesso punto.

Per questo motivo questo teorema è anche noto come L'inizio dei momenti.

Mentre il primo a affermare fu l'olandese Simon Stevin (1548-1620), il creatore del paradosso idrostatico, il matematico francese Pierre Varignon (1654-1722) fu colui che successivamente gli diede la sua forma definitiva.

Un esempio di come il teorema di Varignon funziona in meccanica è il seguente: Supponiamo che un semplice sistema di due coplani e forze concorrenti agisca su un punto F₁ E F₂, (Indicato con grassetto per il suo carattere vettoriale). Queste forze danno origine a una forza netta o risultante, chiamata F_R.

Ogni forza esercita una coppia o un momento rispetto a un punto o, che viene calcolato dal prodotto vettoriale tra il vettore di posizione R_Operazione e lo Strengh F, Dove R_Operazione È diretto da o al punto di concorrenza P:

M_O1 = R_Operazione × F₁

M_O2 = R_Operazione × F₂

dato che F_R = F₁ + F₂, COSÌ:

M_O = R_Operazione × F₁ + R_Operazione × F₂ = M_O1 + M_O2

Ma come R_Operazione È un fattore comune, quindi, applicando proprietà distributiva al prodotto incrociato:

M_O = R_Operazione × (F₁ + F₂) = R_Operazione × F_R                

Pertanto, la somma dei momenti o delle coppie di ciascuna forza rispetto al punto o è equivalente al tempo della forza risultante rispetto allo stesso punto.

Dichiarazione e dimostrazione

Essere un sistema di n forze simultanee, formate da F₁, F₂, F₃.. F_N, le cui linee d'azione sono destinate al punto P (vedi Figura 1), il momento di questo sistema di forze M_O, Per quanto riguarda un punto o è dato da:

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M_O = R_Operazione × F₁ + R_Operazione × F₂ + R_Operazione × F₃ +.. R_Operazione × F_N = R_Operazione × (F₁ + F₂ + F₃ +.. F_N)

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, viene realizzata la proprietà distributiva del prodotto vettoriale tra i vettori.

Essere le forze F₁, F₂, F₃.. F_N applicato a punti a₁, A₂, A₃… A_N e concorrente al punto p. Il momento risultante di questo sistema, rispetto a un punto o, chiamato M_O, È la somma dei momenti di ogni forza, rispetto a quel punto:

M_O = ∑ R_Oai × F_Yo

Dove la somma va da i = 1 a i = n, poiché ci sono n forze. Poiché queste sono forze simultanee e poiché il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo, succede che:

R_Pai × F_Yo = 0

Con il vettore nullo indicato come 0.

Il momento di una delle forze relative a O, ad esempio quella della forza F_Yo applicato in a_Yo, È scritto in questo modo:

M_{ho sentito} = R_Oai × F_Yo

Il vettore di posizione R_Oai  Può essere espresso come la somma della posizione di due vettori:

R_Oai = R_Operazione + R_Pai

In questo modo, il momento rispetto a o forza F_Yo È:

M_{ho sentito} = (R_Operazione + R_Pai) × F_Yo = (R_Operazione × F_Yo) + (R_Pai × F_Yo)

Ma l'ultimo termine è nullo, come spiegato sopra, perché R_Pai è sulla linea di azione di F_Yo, Perciò:

M_{ho sentito} = R_Operazione × F_Yo

Sapere che il momento del sistema rispetto al punto o è la somma di tutti i singoli momenti di ciascuna forza rispetto a quel punto, quindi:

M_O = ∑ M_{ho sentito} = ∑ R_Operazione × F_Yo

COME R_Operazione È costante esce dalla somma:

M_O = R_Operazione × (∑ F_Yo)

Ma ∑ F_Yo È semplicemente la rete o la forza risultante F_R, Pertanto si è immediatamente concluso che:

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M_O = R_Operazione × F_R

Esempio

Il teorema di Varignon facilita il calcolo del momento della forza F Per quanto riguarda il punto o la struttura mostrato nella figura, se la forza viene suddivisa nei suoi componenti rettangolari e viene calcolato il momento di ciascuno di essi:

figura 2.- Il teorema di Varignon si applica per calcolare il momento della forza o. Fonte: f. Zapata.

Applicazioni di teorema di Varignon

Quando è nota la forza risultante da un sistema, il teorema di Varignon può essere applicata per sostituire la somma di ciascuno dei momenti prodotti dalle forze che lo compongono al momento del risultato.

Se il sistema è costituito da forze sullo stesso piano e il punto rispetto al quale si desidera calcolare il momento appartiene a quel piano, il momento risultante è perpendicolare.

Ad esempio, se tutte le forze si trovano sul piano XY, il momento è diretto sull'asse z e rimane solo per trovare la sua grandezza e il suo significato, tale è il caso dell'esempio sopra descritto.

In tal caso, il teorema di Varignon consente di calcolare il momento derivante dal sistema attraverso la somma. È molto utile nel caso di un sistema di forze tridimensionali, per le quali la direzione del momento risultante non è nota a priori.

Per risolvere questi esercizi, è conveniente.

Esercizio risolto

Per il teorema di Varignon, calcola il momento della forza F attorno al punto o mostrato nella figura se l'entità di F è 725 N.

Figura 3.- Figura per l'esercizio risolto. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Per applicare il teorema di Varignon, forzare decomposti F In due componenti, i cui rispettivi momenti intorno o vengono calcolati e aggiunti per ottenere il momento risultante.

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F_X = 725 N ∙ cos 37 º = 579.0 n

F_E = - 725 N n ∙ SEN 37 º = −436.3 n

Allo stesso modo, il vettore di posizione R Diretto da o ad A ha i componenti:

R_X = 2.5m

R_E = 5.0 m

Figura 4.- Componenti di forza e posizione. Fonte: f. Zapata.

Il momento di ciascun componente della forza rispetto a o sta moltiplicando la forza e la distanza perpendicolare.

Entrambe le forze tendono a ruotare la struttura nella stessa direzione, che in questo caso è il senso del punteggio, che è arbitrariamente assegnato un segno positivo:

M_Bue = F_X∙ r_E ∙ sin 90º = 579.0 n ∙ 5.0 m = 2895 n ∙ m

M_Oy = F_E∙ r_X ∙ sin (−90º) = −436.3 n ∙ 2.5 m ∙ (−1) = 1090.8 n ∙ m

Il momento risultante rispetto a o è:

M_O = M_Bue + M_Oy = 3985.8 n ∙ m perpendicolare al piano e in una coppia.

Riferimenti

1. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley. 
2. Birra, f. 2010. Statico. McGraw Hill. 9na. Edizione.
3. Hibbeler, R. 1992. Meccanici per ingegneri. 6 °. Edizione. Cecsa.
4. Ingegneria HK. Teorema di Varignon. Recuperato da: YouTube.com.
5. Wikipedia. Varignon's Theorem (Mechanics). Recuperato da: in.Wikipedia.org.