Teorema di Moivre

Spieghiamo cos'è il teorema di Moivre, dimostriamo e proponiamo esercizi risolti

Cos'è il teorema di Moivre?

Lui Teorema di Moivre Applicare i processi di algebra fondamentali, come poteri e estrazioni di radici in numeri complessi. Il teorema è stato dichiarato dal rinomato matematico francese Abraham de Moivre (1730), che ha associato i numeri complessi alla trigonometria.

Abraham Moivre ha fatto questa associazione attraverso le espressioni del seno e del coseno. Questo matematico ha generato una sorta di formula attraverso la quale è possibile.

Spiegazione

Il teorema di Moivre stabilisce quanto segue:

Se hai un numero complesso nella forma polare z = r_Ɵ, dove r è il modulo del numero complesso z e l'angolo ɵ è chiamato ampiezza o argomento di qualsiasi numero complesso con 0 ≤ ɵ ≤ 2π, per calcolare la sua potenza n-questo non sarà necessario moltiplicarlo da solo n- Tweces; Cioè, non è necessario realizzare il seguente prodotto:

Z^N = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} R_{Ɵ *} R_{Ɵ *… *} R_Ɵ   N-you.

Per il Conti, il teorema afferma che, quando si scrive Z nella sua forma trigonometrica, per calcolare il potere n-that, procedere come segue:

Sì z = r (cos ɵ + i _* sin ɵ) quindi z^N = r^N (cos n*ɵ + i _* sin n*ɵ).

Ad esempio, se n = 2, allora z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Se devi n = 3, allora z³ = z² _* z. Oltretutto:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

In questo modo, le ragioni trigonometriche del seno e del coseno possono essere ottenute per multipli di un angolo, purché le ragioni trigonometriche dell'angolo siano note.

Allo stesso modo può essere usato per trovare espressioni più precise e meno confuse per la radice N di un numero complesso z, in modo che z^N = 1.

Per dimostrare il teorema di Moivre, viene utilizzato il principio di induzione matematica: se un numero intero "a" ha una proprietà "p" e se per qualsiasi intero "n" maggiore di "a" che ha la proprietà "p" se. + 1 ha anche la proprietà "p", quindi tutti gli interi numeri più grandi o uguali che "a" hanno la proprietà "p".

Dimostrazione del teorema di Moivre

In questo modo, la dimostrazione del teorema viene eseguita con i seguenti passaggi:

Base induttiva

Per prima cosa è controllato per n = 1.

Può servirti: curtosi: definizione, tipi, formule, a cosa serve, ad esempio

Come z¹ = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], deve n = 1 il teorema è soddisfatto.

Ipotesi induttiva

La formula dovrebbe essere vera per un numero intero positivo, cioè n = k.

z^K = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^K  = r^K (cos k ɵ + i _* sin k ɵ).

Verifica

È dimostrato che è vero per n = k + 1.

Come z^K+1= z^K _* Z, quindi z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* sen ɵ))^K+1 = r^K (Cos kɵ + i _* sin kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* senɵ).

Quindi le espressioni si moltiplicano:

z^K+1 = r^K+1((cos Kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*sinɵ) + (i _* sin kɵ)_*(cosɵ) + (i _* sin kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Per un momento il fattore r viene ignorato^K+1,  E ottieni il fattore comune I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Come io² = -1, lo sostituiamo nell'espressione e otteniamo:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Ora è ordinata la parte reale e immaginaria:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Per semplificare l'espressione, vengono applicate identità trigonometriche degli angoli per il coseno e il seno, che sono:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* peccato b.

sin (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

In questo caso, le variabili sono gli angoli ɵ e Kɵ. Applicando identità trigonometriche, hai:

cos kɵ _* cosɵ -  Sin Kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

Sin Kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

In questo modo, l'espressione rimane:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* sin (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* sin [(k +1) ɵ]).

Quindi si potrebbe dimostrare che il risultato è vero per n = k+1. Per principio dell'induzione matematica, si è concluso che il risultato è vero per tutti i numeri interi positivi; cioè, n ≥ 1.

Tutto negativo

Il teorema di Moivre viene applicato anche quando n ≤ 0. Consideriamo un intero "N" negativo; Quindi "n" può essere scritto come "-m", cioè n = -m, essendo "m" un numero intero positivo. Perciò:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^-M

Per ottenere l'esponente "M" in modo positivo, l'espressione è scritta al contrario:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^M

Può servirti: angolo null: definizione e caratteristiche, esempi, esercizi

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = 1 ÷ (cos mɵ + i _* peccato mɵ)

Ora, si usa che se z = a+b*i è un numero complesso, quindi 1 ÷ z = a-b*i. Perciò:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Usando quel cos (x) = cos (-x) e che -sen (x) = sen (-x), deve:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = [cos (mɵ) - i _* sin (Mɵ)]

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)^N = cos (nɵ) - i _* sin (nɵ).

In questo modo, si può dire che il teorema si applica a tutti gli interi valori di "N".

Esercizi risolti

Calcolo positivo della potenza

Una delle operazioni con numeri complessi nella sua forma polare è la moltiplicazione tra due; In tal caso i moduli si moltiplicano e vengono aggiunti gli argomenti.

Se hai due numeri complessi z₁ e z₂ E vuoi calcolare (z₁*z₂)², Quindi procedere come segue:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* sen ɵ₂)

Viene applicata la proprietà distributiva:

z₁z₂ = r₁ R₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* sen ɵ₂ + Yo _* sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂).

Sono raggruppati, disegnando il termine "io" come fattore comune di espressioni:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Io (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂"

Come io² = -1, viene sostituito nell'espressione:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Io (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* sen ɵ₂"

I termini reali con reali e immaginari con immaginario sono raggruppati:

z₁z₂ = r₁ R₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - sen ɵ_1* sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂)

Infine, vengono applicate proprietà trigonometriche:

z₁z₂ = r₁ R₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂).

Insomma:

(Z₁*z₂)²= (r₁ R₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂).

Esercizio 1

Scrivi il numero complesso in forma polare se z = - 2 -2i. Quindi, usando il teorema di Moivre, calcola z⁴.

Soluzione

Il numero complesso z = -2 -2i è espresso nella forma rettangolare z = a +bi, dove:

A = -2.

B = -2.

Sapendo che la forma polare è z = r (cos ɵ + i _* sen ɵ), è necessario determinare il valore del modulo "R" e il valore dell'argomento "ɵ". Come r = √ (a²+b²), i valori dati vengono sostituiti:

Può servirti: funzioni trigonometriche: base, nel piano cartesiano, esempi, esercizio fisico

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Quindi, per determinare il valore di "ɵ", viene applicata la forma rettangolare di questo, che è data dalla formula:

Quindi ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Come (ɵ) = 1 e deve<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Come già ottenuto dal valore di "R" e "ɵ", il numero complesso z = -2 -2i può essere espresso nella forma polare che sostituisce i valori:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4)).

Ora il teorema di Moivre viene utilizzato per calcolare Z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* sin (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* sin (5π)).

Esercizio 2

Trova il prodotto di numeri complessi che lo esprimono nella sua forma polare:

Z1 = 4 (cos 50^O + Yo_* Sen 50^O)

Z2 = 7 (cos 100^O + Yo_* Sen 100^O).

Quindi, calcola (z1*z2) ².

Soluzione

Innanzitutto è formato il prodotto dei numeri dati:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^O + Yo_* Sen 50^O)] * [7 (cos 100^O + Yo_* Sen 100^O)

Quindi i moduli si moltiplicano tra loro e gli argomenti vengono aggiunti:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [COS (50^O + 100^O) + i_* Sen (50^O + 100^O)

L'espressione è semplificata:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^O + (Yo_* Sen 150^O).

Infine, si applica il teorema di Moivre:

(Z1*z2) ² = (28 _* (Cos 150^O + (Yo_* Sen 150^O)) ² = 784 (cos 300^O + (Yo_* Sen 300^O).

Calcolo dei poteri negativi

Per dividere due numeri complessi z₁ e z₂ Nella sua forma polare, il modulo è diviso e gli argomenti vengono sottratti. Pertanto, il quoziente è z₁ ÷ z₂ Ed è espresso come segue:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([COS (ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Come nel caso precedente, se si desidera calcolare (z1 ÷ z2) ³ La divisione è prima degli effetti e quindi il teorema di Moivre viene utilizzato.

Esercizio 3

Dati:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

Calcola (z1 ÷ z2) ³.

Soluzione

Seguendo i passaggi sopra descritti, si può concludere che:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Riferimenti

1. Arthur Goodman, L. H. ( millenovecentonovantasei). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. Croucher, m. (S.F.). Dal teorema di Moivre per le identità trig. Progetto dimostrazioni Wolfram.
3. Zoloinkel, m. (2001). Enciclopedia della matematica.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra e trigonometria.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, g. (S.F.). Algebra lineare. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pearson Education.