Teorema verde, dimostrazione, applicazioni ed esercizi

Lui Teorema verde È un metodo di calcolo utilizzato per mettere in relazione integrali di linea con doppia area o integrali di superficie. Le funzioni coinvolte devono essere indicate come campi vettoriali e definiti all'interno della traiettoria c.

Ad esempio, un'espressione della linea integrale può essere molto complicata da risolvere; Tuttavia, nell'implementazione del teorema di Green, i doppi integrali diventano piuttosto semplici. È sempre importante rispettare il senso positivo della traiettoria, questo si riferisce alla direzione degli aghi dell'orologio.

Il teorema di Green è un caso particolare del teorema di Stokes, in cui la proiezione della funzione vettoriale viene eseguita sul piano XY.

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Definizione

L'espressione di Green del teorema di Green è la seguente:

Nel primo termine, si osserva l'integrale di linea definito dalla traiettoria "C", del prodotto scalare tra la funzione vettoriale "F" e quella del vettore "R".

C: è la traiettoria definita su cui verrà proiettata la funzione vettoriale fintanto che è definita per quel piano.

F: funzione vettoriale, in cui ciascuno dei suoi componenti è definito da una funzione come tale (f, g).

A: È un vettore tangente alla regione R su cui è definito l'integrale. In questo caso è gestito con un differenziale di questo vettore.

Nel secondo termine vediamo Green sviluppato teorema, in cui si osserva il doppio integrale definito nella regione R della differenza di derivati ​​parziali di G e F, rispetto a X e e rispettivamente. Per un differenziale di area che non è altro che il prodotto di entrambi i differenziali a due dimensioni (DX.dy).

Questo teorema è perfettamente applicabile per gli integrali di spazio e superficie.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema di Green in modo semplice, questo compito verrà suddiviso in 2 parti. Innanzitutto supponiamo che la funzione vettoriale F abbia solo una definizione nel Versor Yo. Mentre la funzione "G" corrispondente al Versor J sarà uguale a zero.

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F = f (x, y)Yo + G (x, y)J = f (x, y)Yo + 0

R = xYo + EJ

Dr = dxYo + DyJ

Innanzitutto sviluppiamo la linea integrale sulla traiettoria C, per la quale la traiettoria è stata sezionata in 2 sezioni che vanno prima da a a b e dopo b.

Viene applicata la definizione del teorema fondamentale del calcolo per un integrale definito.

L'espressione è riorganizzata in un unico integrale, è resa comune al negativo e l'ordine dei fattori è invertito.

Osservando in dettaglio questa espressione, diventa evidente che quando si applicano i criteri della funzione primitiva, è in presenza dell'integrale dell'espressione derivata da F rispetto a. Valutato nei parametri

[E_1x , E_2x"

Ora basta supporre che la funzione divertente vettoriale sia definita solo per G (x, y)J. Laddove quando si opera in un modo omologato al caso precedente, si ottiene:

Infine, le 2 dimostrazioni vengono prese e si uniscono nel caso in cui la funzione vettoria. In questo modo viene mostrato come integrale di linea dopo aver definito e considerato una traiettoria unica -dimensionale, può essere completamente sviluppato per il piano e lo spazio.

F = f (x, y)Yo + G (x, y)J

In questo modo viene dimostrato il teorema di Green.

Applicazioni

Le applicazioni di teorema verde sono larghe nei rami della fisica e della matematica. Questi si estendono a qualsiasi applicazione o utilizzo che può essere dato all'integrazione della linea.

Il lavoro meccanico svolto da una forza F attraverso una traiettoria C, può essere sviluppato da un integrale di linea espresso come doppio integrale di un'area attraverso il teorema di Green.

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I momenti di inerzia di molti corpi sottoposti a forze esterne in diversi punti di applicazione, rispondono anche a integrali sviluppabili con il teorema di Green.

Ciò ha molteplici funzionalità negli studi di resistenza dei materiali in uso. Dove i valori esterni possono essere quantificati e presi in considerazione prima dell'elaborazione di vari elementi.

In generale, il teorema di Green facilita la comprensione e la definizione di aree in cui le funzioni vettoriali sono definite rispetto a una regione secondo una traiettoria.

Storia

Fu pubblicato nel 1828 nell'opera Analisi matematica alle teorie dell'elettricità e del magnetismo, Scritto dal matematico britannico George Green. Esplora sezioni abbastanza decisive nell'applicazione del calcolo in fisica, come il concetto di potenziale, le funzioni del verde e le applicazioni del suo teorema automatico intitolato.

George Green ha formalizzato la sua carriera studentesca all'età di 40 anni, finora un essere del matematico completamente autodidatta. Dopo aver studiato all'Università di Cambridge, la sua ricerca continua, dando contributi nel campo dell'acustica, dell'ottica e dell'idrodinamica che sono ancora in vigore oggi.

Relazione con altri teoremi

Il teorema di Green è un caso speciale e deriva da altri 2 teoremi molto importanti nel ramo di calcolo. Questi sono il teorema di Kelvin-Stokes e la divergenza o il teorema di Gausski.

A partire da uno di entrambi i teoremi puoi raggiungere il teorema di Green. Alcune definizioni e proposizioni sono necessarie per sviluppare queste dimostrazioni.

Esercizi

- Il seguente esercizio mostra come trasformare un integrale di linea in un doppio integrale rispetto a una regione R.

L'espressione originale è la seguente:

Può servirti: quanto vale x?

E deve essere valutato nella regione triangolare che unisce i punti (0, 0), (1, 0), (0, 1) indicato da c. In questo caso, il senso positivo del turno verrà considerato.

Da dove vengono prelevate le funzioni corrispondenti a f e g

f (x, y) = x³                      g (x, y) = yx

df/dy = 0 dg/dx = y

È importante definire le funzioni che costituiscono i limiti della regione C, per poter assemblare il prodotto differenziale che coprirà completamente la regione.

Non esiste un modo unico di definire i limiti di integrazione quando si applica il teorema di Green. Ma ci sono forme in cui gli integrali dopo essere stati definiti possono essere più semplici. In modo tale che l'ottimizzazione dei limiti di integrazione meriti attenzione.

Per questo caso questa espressione è considerata:

Dove nella risoluzione degli integrali otteniamo:

Questo valore corrisponde nelle unità cubiche alla regione al di sotto della funzione vettoriale e nella regione triangolare definita da c.

Nel caso della linea integrale senza eseguire il metodo verde, sarebbe stato necessario parametrizzare le funzioni in ciascuna sezione della regione. Cioè, crea 3 integrali parametrizzati per la risoluzione. Questa è una prova sufficiente dell'efficacia che Robert Green ha contribuito con il suo teorema al calcolo.

Riferimenti

1. Introduzione alla meccanica continua. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Kremppl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 luglio. 2009
2. Calcolo multivariabile. James Stewart. Cengage Learning, 22 mar. 2011
3. Una storia informale del teorema di Green e delle idee associate. James Joseph Cross. Dipartimento di Matematica, Università di Melbourne, 1975
4. Comportamento di calore usando le funzioni di verdure. Kevin d. Cole, James V. Beck, a. Haji-sheikh, Bahman Luckouhi. Taylor & Francis, 16 luglio. 2010
5. Applicazione del teorema di Green all'estremità di integrali lineari. Difesa Technical Information Center, 1961