Teorema di Bernoulli

Spieghiamo cos'è il teorema, le equazioni, le applicazioni di Bernoulli e risolviamo un esercizio

Qual è il teorema di Bernoulli?

Lui Teorema di Bernoulli Afferma che, in un fluido ideale che circola in un condotto, l'energia meccanica per unità di volume del fluido è costante in tutte le sezioni del tubo, indipendentemente dal fatto che abbiano una diversa sezione trasversale di area e altezza.

Ora, un fluido ideale è uno che non può essere compresso, quindi la sua densità è fissa, indipendentemente dal valore della pressione.

Inoltre, un fluido ideale ha una viscosità zero, cioè non c'è attrito tra gli strati di fluido e né tra il fluido e le pareti del dotto.

Le condizioni di incompressibilità e viscosità nulla sono essenziali per applicare il teorema di Bernoulli. È anche necessario che il flusso sia stazionario, cioè il flusso non varia nel tempo.

D'altra parte, il flusso deve essere laminario, quindi non ci possono essere turbini o turbolenze durante il passaggio del condotto.

Equazione di Bernoulli

L'equazione di Bernoulli ha tre termini, il lavoro svolto dalla stampa P, energia cinetica e energia potenziale gravitazionale per ciascuna unità fluido di densità volumetrica ρ

L'equazione di Bernoulli è:

D'altra parte, l'equazione di continuità stabilisce che in un fluido ideale il flusso è costante in tutte le sezioni del tubo di flusso. Cioè, il volume del fluido nella stessa unità di tempo è lo stesso in tutte le sezioni del tubo.

Se il flusso è Q, allora:

Q = costante

Con:

Q = A · V

Dove A è l'area della sezione trasversale del tubo e V è la velocità del fluido.

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Si noti che nelle sezioni più strette del tubo, il fluido deve circolare più velocemente, poiché rimane costante sebbene varia. Pertanto, l'energia cinetica per unità di volume è maggiore.

Poiché il teorema di Bernoulli stabilisce che l'energia meccanica è costante in tutte le sezioni, nelle sezioni più strette di maggiore energia cinetica, l'energia potenziale diminuisce. 

L'energia potenziale consiste nell'energia gravitazionale per unità di volume più il lavoro svolto dalla pressione in un volume unitario, quindi diminuendo l'energia potenziale riduce anche la pressione.

In sintesi, l'effetto combinato del principio di continuità e del teorema di Bernoulli provoca le sezioni strette del tubo di flusso, in cui la velocità del fluido è maggiore, la pressione scende rispetto alle sezioni più larghe.

Termini nell'equazione di Bernoulli

1) Lavoro svolto dalla pressione per unità di volume 

In una sezione di sezione trasversale di area a, Il fluido muove una quantità S, A causa della pressione p che produce una forza f = p⋅ a.

Il lavoro svolto con la forza è:

F⋅ s = p⋅ a⋅ s

Poiché il prodotto A⋅s rappresenta il volume spostato, il lavoro svolto per unità si corrisponde numericamente al valore di P nella sezione considerata.

2) energia cinetica di un volume unitario di fluido

Poiché il fluido è incomprimibile, la sua densità ha un valore fisso chiamato ρ.

Quando il fluido circola attraverso una sezione della sezione trasversale A, spostando una quantità s in un tempo t, la portata è:

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v = s/t

E l'energia cinetica di detta porzione fluida è calcolata da:

K = ½ ρ (a⋅s) v²

Ma se il volume spostato (a⋅s) è unità, allora il termine dell'energia cinetica sarà dato da ½ ρ v².

3) Energia potenziale gravitazionale di un volume unitario di fluido ad un'altezza H 

Per una porzione di fluido di pasta M e altezza H Per quanto riguarda un certo livello di riferimento, l'energia gravitazionale è data da:

U = m⋅ g⋅ h

Se l'impasto M Corrisponde a una porzione di fluido unitario, quindi la massa della porzione corrisponde alla densità ρ, Quindi l'energia potenziale sarà ρ⋅ g⋅ h.

Applicazioni di teorema di Bernoulli

Supporto aerodinamico

Il supporto aerodinamico è spiegato dal teorema di Bernoulli

La forza che impedisce un aereo da un volo al crollo è la forza di supporto aerodinamica. La forza di supporto netto è diretta verticalmente e agisce lungo l'ala aerea. La sua origine è spiegata attraverso il teorema di Bernoulli.

L'ala di un piano ha una sezione trasversale con una curva più lunga nella parte superiore e più corta nella parte inferiore. Questo rende il percorso dell'aria vicino alla superficie dell'ala nella parte superiore, quindi l'aria scorre più rapidamente sopra l'ala rispetto al fondo. 

Come conseguenza del teorema di Bernoulli, la pressione dell'aria nella parte superiore dell'ala circolante è inferiore al fondo, con conseguente forza esercitata dalla differenza di pressione è diretta verso l'alto, a supporto del peso del piano, secondo essa può essere Visto nella seguente immagine.

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Lancio di palline e palline con effetto curva

In alcuni sport come il calcio, il baseball e Cricke, i giocatori esperti sanno come. È quello che viene chiamato Lancio di effetto.

Magnus Effect Illustration. Fonte: Wikimedia Commons

L'effetto si verifica ogni volta che la palla o la palla si gira rapidamente mentre si muovono attraverso l'aria. La rotazione provoca l'aria sulla superficie della palla viene trascinata da essa in due direzioni opposte, una a favore della direzione della traduzione e, dall'altra parte, contro la direzione di spostamento.

Come risultato della resistenza all'aria, un'area a bassa pressione viene prodotta su una faccia della palla e sulla faccia opposta una pressione ad alta pressione, producendo una forza netta che devia la traiettoria naturale della palla.

La spiegazione di questo fenomeno noto come Effetto Magnus Risiede proprio nel teorema di Bernoulli: dove il fluido circola rapidamente la pressione è bassa e sul lato dove la pressione circola lentamente.

Esercizio risolto

Un tubo orizzontale ha una sezione area a₁ = 40 centimetri quadrati e un'altra sezione della sezione A area A₂ quattro volte inferiore. Se il flusso d'acqua è di 6 L/s, determinare la differenza di pressione e la differenza di altezza nei tubi verticali.

Soluzione 

A partire dall'equazione del flusso, il cui valore è q = 6 l/s:

Q = A · V

Devi quindi la velocità nella sezione larga è di 1,5 m/s e nello stretto tratto 6 m/s.

Quindi, applicando e abbinando l'equazione di Bernoulli sul tratto largo e stretto, si ottiene una differenza di pressione di 1700 pa, che corrisponde a una differenza di altezza nei tubi verticali di 1,72 metri.