Matematica

Somma della storia di Riemann, formule e proprietà, esercizi

Somma della storia di Riemann, formule e proprietà, esercizi

IL Riemann Sum È il nome che riceve il calcolo approssimativo di un integrale definito, mediante una somma discreta con un numero di termini finiti. Un'applicazione comune è l'approccio dell'area delle funzioni in un grafico.

Fu il matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) a offrire per la prima volta una rigorosa definizione di integrale di una funzione in un determinato intervallo. Lo annunciò in un articolo pubblicato nel 1854. 

Figura 1. La somma di Riemann è definita su una funzione F e una partizione nell'intervallo [x0, x1]. Fonte: Fanny Zapata.

La somma di Riemann è definita su una funzione y = f (x), con x appartenente all'intervallo chiuso [a, b]. In questo intervallo viene fatta una partizione P di n elementi:

P = x0= a, x1, X2,…, XN= b

Ciò significa che l'intervallo è diviso come segue:

 Qui tK è tra xK-1 e xK:

XK-1 ≤ tK ≤ xK

La Figura 1 mostra la somma di Riemann della funzione F nell'intervallo [x0, X4] Su una partizione di quattro sottointervalli, rettangoli grigi.

La somma rappresenta l'area totale dei rettangoli e il risultato di questa somma è approcci numericamente all'area sotto la curva f, tra gli ascissi x = x0 y x = x4.

Naturalmente, l'approccio all'area sotto la curva migliora notevolmente nella misura in cui il numero N delle partizioni è maggiore.  In questo modo la somma converge nell'area sotto la curva, quando il numero N le partizioni tende all'infinito.

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Formule e proprietà

La somma di F (x) di Riemann sulla partizione:

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P = x0= a, x1, X2,…, XN= b

Definito sull'intervallo [a, b], è dato da:

S (p, f) = ∑K = 1N f (tK) (XK - XK-1) 

DoveK È un valore nell'intervallo [xK, XK-1". Nella somma di Riemann, intervalli regolari di larghezza vengono generalmente utilizzati Δx = (B - A)/N, dove A e B sono i valori minimi e massimi dell'Ascissa, mentre n è il numero di suddivisioni.

In quel caso il La somma giusta di Riemann È:

Sd (f, n) = [f (a+Δx)+f (a+2Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)+f (b)]*Δx

figura 2. La somma giusta di Riemann. Fonte: Wikimedia Commons. 09GLASGOW09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)].

Mentre il La somma sinistra di Riemann È espresso come:

Sì (f, n) = [f (a)+f (a+Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)]*Δx

Figura 3. Somma di Riemann se ne andò. Fonte: Wikimedia Commons. 09GLASGOW09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)]

Finalmente il Somma centrale di Riemann È:

Sc (f, n) = [f (a+Δx/2)+f (a+3Δx/2)+…+f (b- Δx/2)]*Δx

Figura 4. Somma intermedia di Riemann. Fonte: Wikimedia Commons. 09GLASGOW09 [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)]

A seconda di dove si trova il punto tK Nell'intervallo [xK, XK-1] La somma di Riemann può sopravvalutare o sottovalutare il valore esatto dell'area nella curva di funzione Y = F (x) (x). Cioè, i rettangoli possono eccellere dalla curva o essere un po 'sotto.

L'area sotto la curva

La proprietà principale della somma di Riemann e di cui diventa la sua importanza è che se il numero di suddivisioni tende all'infinito, il risultato della somma converge nell'integrale definito della funzione:

L'espressione precedente corrisponde alla definizione di integrale di Riemann e si applica a condizione che la funzione F sia continua e morbida. Per le funzioni più particolari ci sono altre definizioni dell'integrale (integrale de Stieldjes e integrale de Lebesgue).

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Esercizi risolti

- Esercizio 1

Calcola il valore dell'integrale definito tra A = -2 a B = +2 della funzione:

f (x) = x2

Utilizzare una somma di Riemann. Per fare ciò, trova la somma per le partizioni regolari dell'intervallo [a, b] e quindi prendere il limite matematico nel caso in cui il numero di partizioni si archivia in infinito. 

Soluzione

Questi sono i passaggi da seguire:

-Innanzitutto, l'intervallo di partizione è definito come: 

Δx = (b - a)/n. 

-Quindi la somma di Riemann a destra corrispondente alla funzione f (x) è così:

-Ora vengono sostituiti a = -2 e b =+2, in modo che l'intervallo o il passaggio Δx = 4/n. Vale a dire che la somma di Riemann per la funzione f (x) = x2 È:

-Quindi viene sviluppato il binomiale quadrato: 

[-2 +(4i/n)]2 = 4 - (16 I /N) + (4 /N)2 Yo2

-E poi viene accuratamente sostituito nella somma:

-Il prossimo passo è separare i riassunti e rimuovere gli importi costanti come fattore comune di ogni somma. È necessario tenere conto del fatto che l'indice sia io, quindi i numeri e i termini con N Sono considerati costanti:

-Ogni somma viene valutata, poiché per ciascuno di essi ci sono espressioni appropriate. Ad esempio, il primo dei riassunti da n:

Il secondo è:

 E il terzo è:

 -Sostituendo i risultati dei riassunti nella somma di Riemann, si ottiene finalmente:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n2

-Finalmente devi calcolare l'integrale è:

= limN➝∞ [16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n2] =

= 16 -(64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333

Il lettore può verificare che questo sia il risultato esatto, che può essere ottenuto risolvendo l'integrale indefinito e valutando i limiti di integrazione da parte della regola della carriola.

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- Esercizio 2

Determina approssimativamente l'area sotto la funzione: 

f (x) = (1/√ (2π) e(-X2/2)

Tra x = -1 e x =+1, usando una somma centrale di Riemann con 10 partizioni. Confronta con il risultato esatto e stima la differenza percentuale.

Soluzione

Il passo o l'aumento tra due valori discreti successivi è:

Δx = (1 - (-1)/10 = 0,2

In modo che la partizione p su cui sono definiti i rettangoli è così:

P = -1,0; -0,8; -0,6; -0.4; -0,2; 0,0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0

Ma poiché ciò che desideri è la somma centrale, la funzione f (x) verrà valutata nei punti medi dei sottointervalli, vale a dire nel set:

T = -0.9; -0.7; -0,5; -0,3; -0,1; 0.1; 0.3; 0,5; 0.7; 0.9.

La somma di Riemann (centrale) è così:

S = f (-0,9)*0,2 +f (-0,7)*0,2 +f (-0,5)*0,2 +… +f (0,7)*0,2 +f (0,9)*0,2

Poiché la funzione F è simmetrica, è possibile ridurre la somma a soli 5 termini e il risultato viene moltiplicato per due:

S = 2*0,2*f (0,1)+ f (0,3)+ f (0,5)+ f (0,7)+ f (0,9)

S = 2*0,2*0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683

La funzione indicata in questo esempio non è altro che la bella campana Gauss (normalizzata, con una media uguale a zero e deviazione standard). È noto che l'area sotto la curva nell'intervallo [-1,1] per questa funzione è 0,6827.

Figura 5. Area sotto una campana di Gauss approssimativa per mezzo di una somma di Riemann. Fonte: f. Zapata.

Ciò significa che la soluzione approssimativa con solo 10 termini coincide con la soluzione esatta fino a tre decimali. L'errore percentuale tra l'integrale approssimativo e l'esatto è lo 0,07%.

Riferimenti

  1. Casteleiro, J. M., & Gómez-Alvarez, R. P. (2002). Calcolo completo (ED illustrato.). Madrid: editoriale ESIC.
  2. Unican. Storia del concetto di integrale. Recuperato da: repository.Unican.È
  3. UIS. Riemann somme. Recuperato da: matematica.UIS.Edu.co
  4. Wikipedia. Riemann Sum. Recuperato da: è.Wikipedia.com
  5. Wikipedia. Integrazione di Riemann. Recuperato da: è.Wikipedia.com