Somma algebrica

Esempi di somme algebriche

Qual è la somma algebrica?

IL Somma algebrica Consiste nel raccogliere diverse quantità, che possono avere segni diversi, in un unico importo risultante, chiamato aggiunta o semplicemente, somma.

Ogni aggiunta viene chiamato termine, Quindi una somma algebrica è composta da due o più termini, che possono essere raggruppati con parentesi, parentesi quadrate e chiavi, i conoscenti simboli di gruppo.

Questa somma può essere eseguita con numeri reali, con espressioni algebriche o con una combinazione di entrambi. I vettori possono anche essere aggiunti.

Ad esempio, quanto segue è una somma algebrica con numeri interi e simboli di gruppo:

2 + [- 10 + (−4 + 11- 17)]

E questo coinvolge espressioni algebriche e numeri reali:

4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16

Successivamente, la soluzione di queste somme è mostrata in dettaglio (esempi risolti 6 e 14), ma prima è conveniente rivedere le tecniche e le proprietà applicabili nella sua risoluzione.

Come risolvere somme algebriche?

La prima cosa che deve essere presa in considerazione per realizzare la somma algebrica è la legge o la regola dei segni:

• Se si desidera aggiungere importi con lo stesso segno, vengono aggiunti i valori assoluti e il risultato trasporta il segno degli importi.
• Aggiungendo quantità di segni diversi, i valori assoluti vengono sottratti e il risultato viene posizionato il segno del valore più assoluto.
• Moltiplicando o dividendo due numeri dello stesso segno, il risultato è sempre positivo.
• E se vuoi moltiplicare o dividere due numeri con segni diversi, il risultato è negativo.

Come promemoria, il valore assoluto di qualsiasi importo x, numerico o algebrico, è indicato da │x│ e viene calcolato come segue:

• │x│ = x, se x> 0
• │x│ = −x, se x < 0

Per esempio:

│3│ = 3

│ - 5│ = - (−5) = 5

Gerarchia delle operazioni

I simboli di gruppo di cui sopra possono apparire in una somma algebrica, o è un'operazione più complessa in cui appaiono, oltre alla somma, una moltiplicazione, una divisione, esponente o una root.

Quindi, prima di eseguire la somma, dobbiamo ricorrere alla gerarchia delle operazioni, per conoscere l'ordine che deve essere preso durante la risoluzione:

1.- Prima eliminare i segni del raggruppamento, a partire dal più interno.

2.- Risolvi esponenti o radici, se ci sono.

3.- Eseguire molteplicazioni o divisioni, nel caso in cui l'operazione includa alcuni, sempre secondo la regola dei segni enunciati sopra.

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4.- Una volta fatto ciò, le somme algebriche vengono risolte, seguendo le linee guida fornite dalla regola dei segni.

Nel caso in cui ci siano diverse operazioni della stessa gerarchia, inizia a risolvere da sinistra a destra.

Importante: Ogni parentesi preceduta dal segno +, scritto come esplicito o no, può essere soppressa senza influire sul segno del contenuto. Ma se la parentesi è preceduta da un segno, quindi i segni del cambiamento di contenuto.

Per esempio:

• ( - 5 + 8 - 13) = - 5 + 8 -13
• -(4 + 25 - 76 -1) = - 4 - 25 + 76 +1

Proprietà della somma algebrica

1.- Proprietà commutativa: l'ordine dei aggiunti non modifica la somma. Cioè: a + b = b + a.

2.- Proprietà associativa: se l'operazione è composta da più di due termini, i primi due possono essere associati, ottenendo il suo risultato, aggiungendolo a quanto segue e così via. Perciò:

(A + B) + C = A + (B + C)

3.- Elemento neutro di aggiunta: è 0, quindi: a + 0 = a

4.- OPPOSTO: dato l'importo "A", il suo contrario è "-a", per soddisfarlo: a + (-a) = 0

5.- Quando si dispone di un'espressione mista, che consiste in numeri e termini algebrici, vengono aggiunte solo quelle che sono simili e la somma dei termini non similari.

I termini simili sono quelli la cui parte letterale è identica, sebbene possano differire nel coefficiente. Per esempio:

1 + x² - 4x² - 7 = (1-7) + (x² - 4x²) = - 6 - 3x²

I termini x² e 4x² Sono simili, poiché hanno la stessa lettera ed esponente. Si noti che i numeri vengono aggiunti a parte le espressioni letterali (con testi) e il risultato è indicato.

Riepilogo delle proprietà principali della somma. Fonte: f. Zapata

Esempi

Somma algebrica di numeri interi

Esistono diverse strategie, applicando le regole dei segni e le proprietà sopra descritte. Ad esempio, possono essere aggiunti importi positivi e negativi, quindi sottrarre i rispettivi risultati.

1) 7− 8 + 4 - 10 - 25 + 4 = (7 + 4 + 4) + ( - 8 −10 - 25) = 15 + (−43) = - 28

2) −15 + 7 - 13 - 34 + 18 −24−26 = (7 + 18) + (−15 - 13 - 34 - 24 - 26) = 25 + (−112) = - 87

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3) [83 + (-99)] + 18 = -16 + 18 = 2

4) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 = (21 + 20 + 9 + 15 + 10) + ( - 3 - 7- 10 - 25) = 75 - 45 = 30

Nell'esercizio seguente, si dovrebbe tenere presente che un segno di gruppo preceduto da un segno meno, modifica il contenuto:

5) 9 - [3 - (-9 + 8 + 21)] - 27 = 9 - [3 + 9 - 8-21] - 27 = 9 - 3 - 9 + 8 + 21 - 27 = (9 + 8 + 21) + ( - 3 - 9 - 27) = 38 - 39 = - 1

6) 2 + [ - 10 + (−4 + 11 - 17)] = 2 + [ - 10 - 4 + 11 - 17] = 2 + [11+ ( - 10 - 4 - 17)] = 2 + [11+ ( - 31)] = 2 +( - 20) = - 18

7) L'imperatore romano Augusto ha iniziato il suo regno in - 27.C e governò fino alla sua morte, per 41 anni. L'anno concluso dal regno di Augusto era:

- 27 + 41 = 14 d.C.

8) L'ascensore di un edificio si trova nel secondo seminterrato, sale a sette piani, scende quattro, su 15 e bassi 6. Quale piano è l'ascensore?

Innanzitutto i segni sono assegnati: Livello 0 a livello di strada, quando l'ascensore aumenta una certa quantità di pavimenti è considerato un importo positivo e quando scende è negativo:

−2 + 7 - 4 + 15 - 6 = (7 + 15) + (−2− 4− 6) = 22 - 12 = +10

L'ascensore è al decimo piano.

Somma algebrica di numeri reali

I numeri reali includono numeri naturali, razionali e irrazionali:

9) 4-3⅚-√2 + 6√2 + ½ + 11 = (4 + 11) + (½-3⅚) + (6√2− √2) = 15 + (-10/3) + 5√2 = 35 /3 + 5√2

10) 3 - 5.5 + (−8.7) = 3 - 5.5 - 8.7 = −11.2

Somma di monomiali e polinomi

I monomiali contengono una parte letterale con il loro rispettivo esponente, che è un numero intero maggiore di 1 e un coefficiente numerico appartenente all'insieme di numeri reali. La parte letterale può consistere in una o più lettere.

Le espressioni: −3x², √5 ∙ x³ e 8x²E³ Sono esempi di monomiali. Invece, non sono monomiali: 2x⁻³ e 7√x.

Le somme algebriche tra i monomiali possono essere eseguite solo quando i monomiali sono simili, in questo caso, il risultato è un altro monomio. Questa procedura è anche chiamata Riduzione monomiale:

undici) (3/2) ∙ x³Y + 2 ∙ x³y = (7/2) ∙ x³E

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Se i monomiali non sono simili, la somma viene indicata e si traduce in un polinomio:

12) 1 + 6x - 5x² = 1 + 6x - 5x²

13) (√3 · x⁸ + 4x) + (5x⁸  + 3x) ​​= (√3 · x⁸ + 5x⁸ ) + (4x + 3x) = (√3 + 5) ⋅x⁸ + 7x

Se termini simili vengono visualizzati in una somma, questi possono essere ridotti:

14) 4x² - 4xy + (2/5) x² - 12xy + 16 = (4x²  + (2/5) x² )+ ( - 4xy - 12xy)+ 16 = (22/5) x² - 16xy + 16

quindici) 3x²  +  5x - 2x² - 9x = (3x² - 2x²)+ (5x - 9x) = x² - 4x

16) 5x³ -7x + 2x - 9x² + 2x³ - 5x² = (5x³ +2x³) + (- 9x² - 5x² ) + (-7x + 2x) = 7x³- 14x² - 5x

La somma dei polinomi può essere eseguita in orizzontale, come negli esempi precedenti o verticalmente. Il risultato è lo stesso in entrambi i casi.

17) Aggiungi i polinomi in due modi:

• 5x² + 7y - 6Z²
• 4y + 3x²
• 9x² + 2z² - 9y
• 2y - 2x²

Orizzontalmente:

(5x² + 7y - 6z²) + (4y + 3x²) + (9x² + 2z² - 9y) + (2y - 2x²) = (5x² + 3x² + 9x² - 2x²) + ( - 6z² + 2z²) + (7y + 4y - 9y + 2y) = 15x²− 4z² + 4y

Verticalmente:

+ 5x² + 7y - 6Z²
+ 3x² + 4y
+ 9x² - 9y + 2z²
−2x² + 2y
_______________________
+ 15x² + 4y - 4Z²

18) (1/2 x² + 4) + (3/2 x² + 5) + (x² + 2) = (1/2 x² + 3/2 x² + X²) + (4 + 5 + 2) =

19) (3x² - 5x +1) + (x² −7x - 3) = (3x² + X²) + ( - 5x −7x) + (1 - 3) = 4x² −12x - 2

venti) Fai la somma dei polinomi:

• P (x) = 3x⁴ + 3x² - 5x + 7
• Q (x) = 2x⁵ - X⁴ + X³ - 2x² + X - 3
• R (x) = - 3x⁵ + 2x⁴ + 2x³ - 4x - 5

Usando il metodo verticale, i polinomi sono completati con l'aiuto di termini 0x^N  E procediamo ad aggiungere termini simili:

0x⁵ + 3x⁴ + 0x³ + 3x² - 5x + 7
2x⁵ - X⁴  +  X³  - 2x² +  X - 3
−3x⁵ +2x⁴ + 2x³ + 0x² - 4x - 5
_______________________________
- X⁵ +  4x⁴ + 3x³  + X²  - 8x - 1