Esempi di successioni quadratiche, regola ed esercizi risolti

IL Successioni quadratiche, In termini matematici, sono costituiti da sequenze di numeri che seguono una certa regola aritmetica. È interessante conoscere questa regola determinare uno qualsiasi dei termini di una successione.

Un modo per raggiungere questo obiettivo è determinare la differenza tra due termini successivi e vedere se il valore ottenuto viene sempre ripetuto. Quando è così, si dice che sia un successione regolare.

Le successioni numeriche sono un modo per organizzare sequenze di numeri. Fonte: Pixabay.com

Ma se non viene ripetuto, allora puoi provare a esaminare il differenza tra le differenze E vedi se questo valore è costante. In tal caso, allora è un Successione quadratica. 

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Esempi di successioni regolari e successioni quadratiche

I seguenti esempi aiutano a chiarire cosa è stato spiegato finora:

Esempio di successione regolare

Essere la successione s = 4, 7, 10, 13, 16, ...

Questa successione, indicata da S, è un set numerico infinito, in questo caso di numeri interi.

Si può vedere che si tratta di una successione regolare, perché ogni termine è ottenuto aggiungendo 3 al termine o elemento precedente:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

13+3 = 16

In altre parole: questa successione è regolare perché la differenza tra il seguente termine e il precedente fornisce un valore fisso. Nell'esempio dato questo valore è 3.

Le successioni regolari ottenute aggiungendo un importo fisso al termine precedente, sono anche chiamate progressioni aritmetiche. E con la differenza - costante - tra i termini successivi si chiama motivo Ed è indicato come r.

Esempio di successione non regolare e quadratica

Vedi ora la seguente successione:

S = 2, 6, 12, 20, 30, .. .

Quando vengono calcolate le differenze successive, si ottengono i seguenti valori:

Può servirti: selezioni casuali con o senza sostituzione

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Le loro differenze non sono costanti, quindi si può dire che si tratta di una successione non regolare.

Tuttavia, se consideriamo l'insieme di differenze, c'è un'altra successione, che sarà indicata come s_Dif:

S_Dif = 4, 6, 8, 10, .. .

Questa nuova successione è un successione regolare, Poiché ogni termine viene ottenuto aggiungendo il valore fisso r = 2 al precedente. Ecco perché possiamo affermare che s è Successione quadratica.

Regola generale per costruire una successione quadratica

C'è una formula generale per costruire una successione quadratica:

T_N = A ∙ n² + B ∙ N +C

In questa formula, t_N È il termine della n della successione. A, B e C sono valori fissi, mentre n varia a uno per uno, cioè 1, 2, 3, 4, ..

In successione s dell'esempio precedente a = 1, b = 1 e c = 0. Da lì ne consegue che la formula che genera tutti i termini è: t_N = n² + N

Vale a dire:

T₁ = 1² + 1 = 2

T₂ = 2² + 2 = 6

T₃ = 3² + 3 = 12

T₅ = 5² + 5 = 30

T_N = n² + N

Differenza tra due termini consecutivi di una successione quadratica

T_N+1 - T_N = [A ∙ (n+1)² + B ∙ (N + 1) + C] - [A ∙ N² + B ∙ N +C]

Sviluppare l'espressione attraverso un prodotto straordinario rimane:

T_N+1 - T_N = A ∙ n² + A ∙ 2 ∙ n + a + b ∙ n + b + c - a ∙ n² - B ∙ n - c

Semplificandolo si ottiene:

T_N+1 - T_N = 2 ∙ A ∙ N + A + B

Questa è la formula che dà la successione delle differenze s_Dif che può essere scritto in questo modo:

Dif_N = A ∙ (2n+1)+b

Dove chiaramente il termine seguente è 2 ∙ a volte il precedente. Cioè, la ragione della successione delle differenze s_Dif ES: r = 2 ∙ a.

Esercizi risolti di successioni quadratiche

Esercizio 1

Essere la successione s = 1, 3, 7, 13, 21, .... Determina sì:

i) È normale o no

ii) è quadratico o no

iii) era quadratico, la successione delle differenze e la loro ragione

Può servirti: limitare le proprietà (con esempi)

Risposte

i) calcoliamo la differenza nel seguente termine e quello precedente:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Possiamo affermare che la successione non è regolare, perché la differenza tra i termini successivi non è costante.

ii) La successione delle differenze è regolare, perché la differenza tra i suoi termini è il valore costante 2. Pertanto la successione originale è quadratica.

iii) Abbiamo già stabilito che S è quadratico, la successione delle differenze è:

S_Dif = 2, 4, 6, 8, ... e la sua ragione è r = 2.

Esercizio 2

Essere la successione s = 1, 3, 7, 13, 21, ... dell'esempio precedente, dove è stato verificato che è quadratico. Determinare:

i) La formula che determina il termine generale t_{N .}

ii) Verificare il terzo e il quinto mandato.

iii) il valore del decimo termine.

Risposte

i) La formula generale di t_N è un ∙ n² + B ∙ N +C. Allora è noto i valori di A, B e C.

La successione delle differenze è giusta 2. Oltre a qualsiasi successione quadratica, il motivo R è 2 ∙ come dimostrato nelle sezioni precedenti.

R = 2 ∙ a = 2 che ci porta a concludere che a = 1.

Il primo termine della successione delle differenze s_Dif È 2 e deve rispettare ∙ (2n+1)+b, con n = 1 e a = 1, cioè:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1+1)+B

Si ottiene la compensazione b: b = -1

Quindi il primo termine di s (n = 1) valle 1, cioè: 1 = a ∙ 1² + B ∙ 1 + C. Come già sappiamo che a = 1 e b = -1, sostituendoci, siamo rimasti:

1 = 1 ∙ 1² + (-1) ∙ 1 +C

Clearing C si ottiene il suo valore: c = 1.

In sintesi:

A = 1, b = -1 e c = 1

Allora il termine è giusto_N = n² - N + 1

ii) il terzo termine t₃ = 3² - 3 + 1 = 7 ed è verificato. Il quinto t₅ = 5² - 5 + 1 = 21 che viene anche verificato.

iii) Il decimo termine sarà t₁₀ = 10² - 10 + 1 = 91.

Esercizio 3

Sequenza di aree per l'esercizio 3. Fonte: sé realizzato.

La figura mostra una sequenza di cinque figure. Il reticolato rappresenta l'unità di lunghezza.

Può servirti: differenza tra una frazione comune e un numero decimale

i) Determinare la successione per l'area delle figure.

i) Mostra che si tratta di una successione quadratica.

iii) Trova l'area della Figura # 10 (non mostrata).

Risposte

i) La successione S corrispondente all'area della sequenza delle figure è:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) La successione corrispondente alle differenze consecutive dei termini di S è:

S_Dif = 2, 4, 6, 8, ...

Poiché le differenze tra i termini consecutivi non sono costanti, quindi S non è una successione regolare. Deve sapere se è quadratico, per il quale facciamo nuovamente la sequenza delle differenze, ottenendo:

2, 2, 2, .. .

Poiché tutti i termini della sequenza vengono ripetuti, si conferma che S è una successione quadratica.

iii) Successione s_Dif è regolare e la sua ragione R è 2. Usando l'equazione precedentemente dimostrata r = 2 ∙ A, rimane:

2 = 2 ∙ a, il che implica che a = 1.

Il secondo termine della successione delle differenze s_Dif È 4 e il n-eme di s_Dif È

A ∙ (2n+1)+b.

Il secondo termine ha n = 2. È stato anche determinato che a = 1, quindi usando l'equazione precedente e la sostituzione è:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2+1)+B

Si ottiene la compensazione b: b = -1.

È noto che il secondo termine di S vale 2 e che la formula del termine generale deve soddisfare con n = 2:

T_N = A ∙ n² + B ∙ N +C; n = 2; A = 1; B = -1; T₂ = 2

Cioè per dire

2 = 1 ∙ 2² - 1 ∙ 2 + C

Si è concluso che c = 0, vale a dire che la formula che dà il termine generale della successione è:

T_N = 1 ∙ n² - 1 ∙ n +0 = n² - N

Ora viene verificato il quinto mandato:

T₅ = 5² - 5 = 20

iii) La Figura #10, che non è stata disegnata qui, avrà l'area corrispondente al decimo termine della successione S:

T₁₀ = 10² - 10 = 90

Riferimenti

1. https: // www.Geogebra.org