Volume dei solidi della rivoluzione, tipi, esercizi risolti

Lui Rivoluzione solida È la figura a tre dimensioni che viene generata dalla rotazione di una superficie piana attorno all'asse assiale o all'asse di rivoluzione. La Figura 1 mostra un'animazione di un solido rivoluzione generato in questo modo.

Un altro esempio molto semplice da visualizzare è generare un cilindro circolare dritto, ruotando un rettangolo di altezza o H lunga H e radio R, attorno all'asse X positivo (Figura 2). Per trovare il suo volume c'è una formula ben nota:

V = area base x altezza

Figura 1. La figura generata dalla rotazione di una curva sen x. Fonte: Wikimedia Commons. Macks/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/2.5).

Altri solidi della rivoluzione sono la sfera, il cono circolare dritto e varie figure, secondo la superficie posizionata in rotazione e, naturalmente, l'asse selezionato.

figura 2. Generazione di un cilindro circolare diritta e una sfera. Fonte: Wikimedia Commons.

Ad esempio, ruotando il semicerchio attorno a una linea parallela al diametro si ottiene un solido di rivoluzione cave.

Per il cilindro, il cono, la sfera, sia i massicchi che i buchi, ci sono formule per trovare il volume, che dipende dal raggio e dall'altezza. Ma se generato da altre superfici, il volume viene calcolato da integrali definiti.

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Tipi di solidi della rivoluzione

I solidi della rivoluzione possono essere classificati in base alla curva che li genera:

Sfera

È sufficiente ruotare un semicerchio attorno a un asse che sarà il diametro della sfera radio r. Il suo volume è:

V_sfera = (4/3) πr³

Figa

Per ottenere un cono H e Radio R, la superficie che deve. Il suo volume è:

V_Figa = (1/3) πhr²

Cilindro

Ruotando un rettangolo attorno a un asse assiale che passa attraverso i lati, che può essere il lato corto o il lato lungo, si ottiene un cilindro circolare dritto di raggio r e altezza h, il cui volume è:

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V_cilindro = πr²H

Toroide

Il toro ha la forma di una ciambella. Si ottiene ruotando una regione circolare attorno a una linea nel piano che non interseca il cerchio. Il suo volume è dato da:

V_Toroide = 2πa²R

Dove a è il raggio della sezione trasversale e r è il raggio del toroide secondo lo schema presentato nella figura:

Figura 3. Dimensioni toroide. Fonte: Wikimedia Commons.

Metodi per calcolare il volume di un solido di rivoluzione

Nel calcolo integrale questi due metodi sono frequenti:

-Dischi e rondelle

-Conchiglie

Metodo del disco o rondelle

Quando taglia un solido rivoluzione, la sezione trasversale può essere un album, se il solido è solido o può essere una specie di lavatrice (un album con un buco nel mezzo), se si tratta di un buco solido.

Supponiamo che una regione piatta sia ruotata attorno all'asse orizzontale. Da quella regione piatta prendiamo un piccolo rettangolo di larghezza Δx, che viene ruotato perpendicolarmente attorno all'asse assiale.

L'altezza del rettangolo è tra la curva più esterna R (x) e la r (x) più interna (x). Corrispondono rispettivamente al raggio esterno e alla radio interna.

Quando si effettua questa rotazione, viene generata una rondella di volume ΔV, data da:

Δv = volume completo - volume del foro (se presente)

Ricordando che il volume di un cilindro circolare dritto è π. Radio² X altezza, abbiamo:

ΔV = π [r²(x) - r²(x)] Δx

Il solido può essere diviso in una moltitudine di piccole porzioni di volume ΔV. Se li aggiungiamo tutti, avremo l'intero volume.

Per fare ciò tenderemo a 0 il volume ΔV, che diventa anche molto piccolo, diventando un differenziale DX.

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Quindi abbiamo un integrale:

V = ∫_A^B π [r²(x) - r²(x)] dx

Figura 3. Metodo delle lavatrici. Fonte: Larson. R. Calcolo.

Nel caso in cui il solido sia solido, quindi la funzione r (x) = 0, la fetta del solido generato è un disco e il volume rimane:

V = ∫_A^B πr²(x) dx

Quando l'asse della rivoluzione è verticale, le equazioni precedenti prendono la forma:

V = ∫_A^B π [r² (Y) - r² (y)] dy e v = ∫_A^B πr²(Y) dy

Strato

Come sottolinea il nome, questo metodo è supporre che il solido sia composto da strati spessi differenziali. Lo strato è un tubo sottile che ha origine dalla svolta di un rettangolo in parallelo all'asse di rotazione.

Figura 4. Uno strato cilindrico di altezza 2, lunga H e raggio P. Fonte: Larson, R. Calcolo.

Abbiamo le seguenti dimensioni:

-L'altezza del rettangolo W

-La sua longitudine H

-La distanza dal centro del rettangolo all'asse di rotazione P

Sapendo che il volume dello strato è Volume esterno - Volume interno:

π (p + w/2)²H - π (p - w/2)²H

Quando si sviluppano prodotti notevoli e si semplificano, si ottiene:

Volume di livello = 2π⋅p⋅W⋅h

Ora facciamo l'altezza w del rettangolo Δy, come si vede nella figura seguente:

Figura 5. Metodo degli strati dell'asse della rivoluzione orizzontale. Fonte: Larson, R. Calcolo di una variabile.

Con questo il volume ΔV è:

ΔV = 2π p x h x Δy

E realizzare il numero di livelli N Sii molto grande, Δy diventa un dy differenziale, in modo che il volume totale sia l'integrale:

V = ∫_C^D 2π p (y) h (y) dy

La procedura descritta viene applicata in modo simile quando l'asse di rivoluzione è verticale:

Figura 6. Metodo di livello per l'asse di rivoluzione verticale. Fonte: Larson, R. Calcolo di una variabile.

Esercizio risolto

Trova il volume generato dalla rotazione della regione piatta tra le curve:

y = x²;  y = 0; x = 2

Intorno all'asse e.

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Soluzione

-La prima cosa da fare è graficamente la regione che genererà la rivoluzione solida e indicherà l'asse di svolta. Lo abbiamo nel grafico seguente:

Figura 7. Grafico delle curve per l'esercizio risolto. Fonte: f. Zapata con geogebra.

-Ora sono richieste le intersezioni tra la curva y = x² e la riga x = 2. Per la sua parte la linea y = 0 non è altro che l'asse x.

È facile avvertire che la parabola e la linea si intersecano nel punto (2,4), che è corroborato sostituendo x = 2 su y = x².

-Quindi viene scelto uno dei metodi per calcolare il volume, ad esempio il metodo di livello con asse di rivoluzione verticale:

V = ∫_A^B 2π p (x) h (x) dx

Passaggio 1: disegna il rettangolo

Figura 8. Rettangolo per l'esempio risolto. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Importante: Nel metodo strato il lato lungo del rettangolo è parallelo all'asse di rotazione.

Passaggio 2: determinare P (x)

Lo strato dello strato è X

Passaggio 3: determinare H (x)

L'altezza del rettangolo è determinata da parabola x².

Passaggio 4: stabilire e risolvere l'integrale del volume

La variabile di integrazione è x, che varia tra 0 e 2, con questo abbiamo i limiti di integrazione. Sostituzione delle espressioni per p (x) e h (x)

 Alcuni esercizi possono essere risolti con entrambi i metodi. Il lettore può risolverlo con il metodo delle rondelle?

Riferimenti

1. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
2. Purcell, e. 2007. Calcolo con geometria analitica. 9na. Edizione. Pearson Education.
3. Wikipedia. Solido della rivoluzione. Recuperato da: in.Wikipedia.org.
4. Wikipedia. Toroide. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Wolfram Mathworld. Solido della rivoluzione. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.