Semicerchio Come calcolare il perimetro, l'area, il centroide, gli esercizi

Lui semicerchio È una figura piatta delimitata da un diametro della circonferenza e uno dei due archi circolari piatti determinati da detto diametro.

In questo modo, un semicerchio è delimitato da a semicircumference, che consiste in un arco circolare piatto e un segmento dritto che unisce le estremità dell'arco circolare piatto. Il semicerchio copre il semicerchio e tutti i punti interni allo stesso.

Figura 1. Radio R Radio Semicerchio. Fonte: f. Zapata.

Possiamo vederlo in Figura 1, che mostra una radio R rión, la cui misura è la metà del diametro AB. Si noti che a differenza di un cerchio, in cui ci sono diametri infiniti, nel semicerchio c'è solo un diametro.

Il semicerchio è una figura geometrica con molti usi nell'architettura e nel design, come vediamo nella seguente immagine:

figura 2. Seminicírculo come elemento decorativo in architettura. Fonte: Pikist.

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Elementi e misure di un semicerchio

Gli elementi di un semicerchio sono:

1.- L'arco circolare piatto A⌒b

2.- Il segmento [AB] 

3.- L'interno punta a semicerchio composto dall'arco e segmento A⌒b [AB].

Perimetro di un semicerchio

Il perimetro è la somma del contorno dell'arco più quella del segmento dritto, quindi:

Perimetro = lunghezza dell'arco a⌒b + lunghezza del segmento [AB]

Nel caso di un semicerchio radio R il suo perimetro P sarà dato dalla formula:

P = π⋅r + 2⋅R = (π + 2) ⋅R

Il primo termine è la metà del perimetro di una circonferenza del raggio r, mentre il secondo è la lunghezza del diametro, che è il doppio del raggio.

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Area di un semicerchio

Poiché un semicerchio è uno dei settori angolari piatti che rimangono disegnando un diametro attraverso la circonferenza, la sua area A sarà la metà dell'area del cerchio che contiene la radio semicerchio R:

A = (π⋅r²) / 2 = ½ π⋅r²

Centroide di un semicerchio

Il centroide di un semicerchio è sul suo asse di simmetria a un'altezza misurata dal suo diametro di 4/(3π) volte il raggio r.

Ciò corrisponde a circa 0,4244, misurato dal centro del semicerchio e sul suo asse di simmetria, come mostrato nella Figura 3.

Figura 3. Semicerchio di radio r, indicando le formule per determinare l'area, il perimetro e la posizione del suo centroideo. Fonte: f. Zapata.

Momento di inerzia di un semicerchio

Il momento di inerzia di una figura piatta è definito rispetto a un asse, ad esempio asse x, come ad esempio:

L'integrale del quadrato della distanza dei punti che appartengono alla figura all'asse, il differenziale di integrazione è un'area infinitesimale dell'area, presa nella posizione di ciascun punto. 

La Figura 4 mostra la definizione del momento di inerzia i_X del semicerchio di Radio R, rispetto all'asse X che passa attraverso la sua diagonale:

Figura 4. Definizione del momento di inerzia ix di un semicerchio rispetto all'asse X che passa attraverso la sua diagonale. Il risultato è mostrato per i momenti di inerzia rispetto agli assi X e Y. Fonte: f. Zapata.

Il momento di inerzia rispetto all'asse X è dato da:

Yo_X = (π⋅r⁴) / 8

E il momento di inerzia rispetto all'asse della simmetria ed è:

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Iy = (π⋅r⁴) / 8

Dimostra che entrambi i momenti di inerzia coincidono nella loro formula, ma è importante sottolineare che sono indirizzati a diversi assi.

Angolo registrato

L'angolo registrato nel semicerchio è sempre 90º. Indipendentemente da quale parte dell'arco viene portata al punto, l'angolo che si forma tra i lati AB e BC della figura è sempre dritto.

Figura 5. Angolo registrato nel semicerchio. Fonte: Matematica Open Reference.

Esercizi risolti

Esercizio 1 

Determina il perimetro di un semicerchio di raggio di 10 cm.

Soluzione

Ricordiamo che il perimetro a seconda del raggio è dato dalla formula che abbiamo visto in precedenza:

P = (2 + π) ⋅r

P = (2 + 3.14) ⋅ 10 cm = 5,14 ⋅ 10 cm = 51,4 cm.

Esercizio 2

Trova l'area di un semicerchio radio da 10 cm.

Soluzione

La formula per l'area di un semicerchio è:

A = ½ π⋅r² = ½ π⋅ (10 cm)² = 50π cm² = 50 x 3,14 cm² = 157 cm².

Esercizio 3

Determina l'altezza H del centroide di un semicerchio del raggio r = 10 cm misurato dalla sua base, lo stesso è il diametro del semicerchio. 

Soluzione

Il centroide è il punto di equilibrio del semicerchio e la sua posizione è sull'asse di simmetria ad un'altezza H della base (diametro del semicerchio)

H = (4⋅R) / (3π) = (4⋅10 cm) / (3 x 3.14) = 4.246 cm

Esercizio 4

Trova il momento di inerzia di un semicerchio rispetto all'asse che coincide con il suo diametro, sapendo che il semicerchio è realizzato con un foglio sottile. Il suo raggio è di 10 cm e la sua massa è 100 grammi.

Soluzione

La formula che dà il momento di inerzia del semicerchio è:

Può servirti: fisica a stato solido: proprietà, struttura, esempi

Yo_X = (π⋅r⁴) / 8

Ma come il problema ci dice che si tratta di un semicerchio materiale, la relazione precedente deve essere moltiplicata per la densità superficiale della massa del semicerchio, che sarà indicato da σ.

Yo_X = σ (π⋅r⁴) / 8

Determiamo quindi σ, che non è altro che la massa del semicerchio diviso tra l'area dello stesso.

L'area è stata determinata nell'esercizio 2 e il risultato è stato di 157 cm². Quindi la densità superficiale di questo semicerchio sarà:

σ = 100 grammi / 157 cm² = 0,637 g/cm²

Quindi il momento di inerzia rispetto al diametro verrà calcolato come segue:

Yo_X = (0,637 g/cm²) [3.1416 ⋅ (10 cm)⁴]/ 8

Risultante:

Yo_X = 2502 G⋅cm²

Esercizio 5

Determinare il momento di inerzia di un semicerchio del raggio 10 cm costruito in un foglio di materiale con una densità superficiale di 0,637 g/cm² da un asse che passa attraverso il suo centroide ed è parallelo al suo diametro.

Soluzione

Per risolvere questo esercizio è necessario ricordare il teorema di Steiner in momenti di inerzia di asce parallele, il che dice:

Il momento dell'inerzia I rispetto a un asse che è a una distanza h del centroide è uguale alla somma del momento di inerzia i_C Per quanto riguarda un asse che passa attraverso il centroide ed è parallelo al primo in più il prodotto dell'impasto attraverso il quadrato della separazione dei due assi.

I = i_C + M h²

Nel nostro caso, è noto che è il momento di inerzia rispetto al diametro, che era già calcolato nell'esercizio 4. H conosce anche tra il diametro e il centroide, che è stato calcolato nell'esercizio 3.

Dobbiamo solo cancellare IC:

Yo_C = I - m h²

Yo_C = 2502 G⋅cm² - 100 g ⋅ (4.246 cm)² risultante nel momento dell'inerzia da un asse parallelo al diametro e che passa attraverso il centroide è: 

Yo_C = 699,15 g⋅cm²

Riferimenti

1. Alexander, d. 2013. Geometria. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Matematica aperta riferimento. Semicerchio. Recuperato da: Mathpenref.com.
3. Formule universe.Semicerchio. Recuperato da: Universoformulas.com.
4. Formule universe. Area di un semicerchio. Recuperato da: Universoformulas.com.
5. Wikipedia. Semicerchio. Recuperato da: in.Wikipedia.com.