Motivi trigonometrici esempi, esercizi e applicazioni

IL motivi trigonometrici Sono i quozienti o le ragioni che possono essere fatte con il valore dei lati di un triangolo di destra. Questi lati sono: due categorie che formano 90º tra loro e l'ipotenusa, che forma l'angolo acuto θ con una delle categorie.

Si possono formare 6 quozienti. I loro nomi e le rispettive abbreviazioni sono:

• Brease (Sen)
• Coseno (cos)
• tangente (TG o TAN)
• Cotangent (CTG o Cotan)
• Secante (sec) e
• mietitore (armonia)

Tutti si riferivano all'angolo θ, come mostrato nella figura seguente:

Figura 1. Le ragioni trigonometriche dell'angolo acuto θ. Fonte: f. Zapata.

Le ragioni trigonometriche di base dell'angolo θ sono sin θ, cos θ e tan θ, mentre le ragioni rimanenti possono essere espresse in termini di questi tre. Dalla foto precedente puoi vederlo:

• Sec θ = 1/ cos θ
• danno θ = 1/ sin θ
• COT θ = 1/tg θ

La dimensione dei lati del triangolo non influenza il valore dei motivi, poiché due triangoli i cui angoli misurano gli stessi sono triangoli simili e i rispettivi quozienti tra i lati hanno lo stesso valore.

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Esempio

Ad esempio, calcoliamo le ragioni trigonometriche dell'angolo θ nei seguenti triangoli:

figura 2. Due triangoli simili hanno le stesse ragioni trigonometriche dei loro angoli. Fonte: Stewart, J.Prececculment: matematica per il calcolo.

Per il piccolo triangolo abbiamo i tre motivi fondamentali dell'angolo θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

E ora calcoliamo i tre motivi fondamentali di θ con il grande triangolo:

sin θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

Tg θ = 30/40 = ¾

Un dettaglio importante da considerare è il seguente: Sia Sin θ e cos θ sono inferiori a 1, poiché le categorie misurano sempre meno dell'ipotenusa. Infatti:

sin θ = 3/5 = 0.6

cos θ = 4/5 = 0.8

Esercizi risolti

Nei seguenti esercizi è richiesto di risolvere il triangolo giusto, il che significa trovare la lunghezza dei suoi tre lati e la misura dei suoi angoli interni, uno dei quali misura sempre 90º.

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Il teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli ed è molto utile quando sono noti due dei lati e la mancanza deve essere determinata. Il teorema dice:

Ipotenusa² = Cateto opposto² + Cateto adiacente²

Possiamo verificare il teorema di Pitagora con il piccolo triangolo della Figura 2, le cui gambe sono 3 e 4. L'ordine in cui vengono prese le categorie non importa. Applicazione del teorema che abbiamo:

Ipotenusa² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Pertanto l'ipotenusa è:

Ipotenusa = √25 = 5

- Esercizio 1

Calcola le ragioni trigonometriche degli angoli mostrati nei seguenti triangoli:

Figura 3.- I triangoli per l'anno hanno risolto 1. Fonte: Carena, M. 2019. Manuale di matematica preuniversity.

Soluzione a

Questo triangolo è lo stesso nella Figura 3, ma ci chiedono le ragioni trigonometriche dell'altro angolo acuto, indicato α. La dichiarazione non offre il valore dell'ipotenusa, tuttavia, mediante l'applicazione del teorema di Pitagora, sappiamo che vale 5.

I motivi possono essere calcolati direttamente dalla definizione, facendo attenzione quando si seleziona la gamba che è l'opposto dell'angolo α per calcolare SEN α. Vediamo:

• sin α = 4/5
• cos α = 3/5
• Tg α = 4/3
• COT α = ¾
• Sec α = 1/(3/5) = 5/3
• danno α = 1/(4/5) = 5/4

E come possiamo vedere, i valori delle ragioni trigonometriche sono stati scambiati. In effetti, α e θ sono angoli complementari, il che significa che aggiungono 90º. In questo caso è soddisfatto che sen α = cos θ e così via per le altre ragioni.

Soluzione b

Calcoliamo l'ipotenusa del triangolo attraverso il teorema di Pitagora:

Ipotenusa² = 20² + ventuno² = 841

√841 = 29

Quindi le 6 ragioni trigonometriche dell'angolo β sono:

• Sen β = 20/29
• cos β = 21/29
• TG β = 20/21
• COT β = 21/20
• Sec β = 1/(21/29) = 29/21
• Harm β = 1/(20/29) = 20/29

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- Esercizio 2

a) Trova il valore di x nella figura.

b) Calcola il perimetro dei 3 triangoli mostrati.

Figura 4. I triangoli per l'anno hanno risolto 2. Fonte: Stewart, J. Prececculment: matematica per il calcolo.

Soluzione a

Nella figura possiamo identificare diversi triangoli, in particolare il triangolo rettangolo della sinistra, che ha una categoria pari a 85 e l'angolo acuto 60º.

Figura 5. Il triangolo a sinistra.

Con le informazioni di questo triangolo possiamo calcolare il lato b. Non è la misura che chiede l'affermazione, ma conoscere il suo valore è un passaggio precedente.

Per determinare la ragione appropriata è TG 60 º = 85 /B, poiché B è la gamba adiacente a 60 ° e 85 è l'opposto di detto angolo. Perciò:

B = 85 / Tg 60º = 85 / √3

Una volta conosciuto B, useremo il triangolo rettangolo grande ed esterno, che ha un lato comune con il triangolo precedente: quello che misura 85. Questo è la cateto contrario all'angolo di 30º.

Figura 6. Il triangolo esterno, di cui una parte della base è già nota.

Quindi:

Cateto adiacente a 30º = (85/√3) + x

Ora possiamo sollevare quanto segue:

85 / [(85 / √3) + x] = Tg 30º

Ciò che è tra parentesi quadrate moltiplicano il TG a 30º:

85 = [(85/√3) + x]. TG 30º

Applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione:

85 = TG 30º. (85/√3) + x. TG 30º

Perciò:

X.TG 30º = 85 - TG 30º. (85/√3) = 85 [1 - TG 30º . (1/√3)] = 85 . (2/3) = 170/3

Sostituzione del valore TG 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98.quindici

Soluzione b

Perimetro del piccolo triangolo

Essere h₁ L'ipotenusa di questo triangolo, che può essere calcolata dal teorema di Pitagora o attraverso una ragione trigonometrica, ad esempio cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ H₁ = (85/√3) ÷ cos 60º = 98.1

Per trovare P, il perimetro di questo triangolo, aggiungiamo semplicemente i 3 lati:

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P = 85 + (85/√3) + 98.1 = 232.2

Perimetro del triangolo esterno

Essere h₂ all'ipotenusa del triangolo esterno:

Sen 30º = 85 ÷ H₂  

H₂ = 85 ÷ sin 30º = 170

Per questo triangolo il perimetro è:

P = 85 + [(85/√3) + 98.15] + 170 = 402.22

Perimetro del triangolo non rettangolare

Da questo triangolo conosciamo già tutti i suoi lati:

P = x + h₁ + H₂ = 98.15 + 98.15 + 170 = 366.3

Applicazioni di motivi trigonometrici

I motivi trigonometrici hanno numerose applicazioni pratiche, ad esempio altezze possono essere calcolate.

Supponiamo che una torre d'acqua sia a 325 piedi da un edificio. Un osservatore situato in una finestra nota che l'angolo di elevazione dell'estremità superiore della torre è di 39 º, mentre l'angolo di depressione con cui è vista la base della torre è 25º. Miracoli:

a) Qual è l'altezza della torre?

b) quanto costa la finestra?

Figura 7. Schema per calcolare l'altezza della Vista Torre da un edificio. Fonte: Stewart, J. Prececculment: matematica per il calcolo.

Soluzione a

Dal Cateto di fronte a 39 del triangolo superiore otteniamo una parte della risposta:

Figura 8. Triangolo per l'esercizio di applicazione. Fonte: f. Zapata.

H₁/325 = TG 39º → H₁ = 325 . Tg 39º piedi = 263.2 piedi

In un modo simile otteniamo il resto dell'altezza della torre, chiamato h₂ Dal triangolo inferiore:

H₂/325 = TG 25º → H₂ = 325 . Tg 25º piedi = 151.6 piedi

L'altezza totale della torre è h₁ + H₂ = 263.2 + 151.6 piedi = 414.7 piedi.

Soluzione b

La finestra è proprio ad un'altezza h₂ terra:

H₂ = 151.6 piedi.

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 3.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.