Qual è la relazione tra il rombo e l'area del rettangolo?

Decomposizione di un rombo per ottenere un rettangolo. Fonte: f. Zapata

È possibile calcolare l'area rombo (e alcune altre figure geometriche) dall'area di un triangolo o un quadrilatero correlato, come un parallelogramma o un rettangolo.

L'area del rettangolo e del parallelogramma è la stessa: viene calcolata come il prodotto tra la base della figura e la sua altezza rispetto a quella base. Da parte sua, l'area del triangolo è il semi -prodotto tra la sua base e la sua altezza.

Queste formule sono facili da ricordare sebbene, naturalmente, la geometria offre una formula esclusiva per l'area del rombo, conoscendo la misura delle sue diagonali principali e minori, indicate rispettivamente come d e d:

È possibile dedurre questa espressione attraverso la sequenza mostrata nella figura sopra.

Per fare ciò, il rombo a sinistra è tagliato da una delle sue diagonali, che è stata realizzata nella figura che settava dalla diagonale minore, ottenendo così due triangoli. Il triangolo superiore (in verde) viene lasciato e quello inferiore è diviso a turno in due triangoli, tagliando a metà della diagonale maggiore, ottenendo i triangoli che rettangoli identici blu e giallo.

Quindi gli ipoteni di questi triangoli sono in coincidenza con i lati del triangolo verde, poiché misurano lo stesso, cioè "a". E si ottiene finalmente un rettangolo, la cui base è la diagonale "d" inferiore e la cui altezza è la metà della diagonale principale, cioè: "d/2".

L'area del rettangolo così formata coincide esattamente quella del rombo, quindi si può affermare che:

Può servirti: trinomiale

A _diamante = (base × altezza) _rettangolo = D × (d/2)

Un risultato che, come si può vedere, coincide esattamente con la formula dell'area rombo data prima.

Area rombo e parallelogramma

L'area rombo è anche correlata a quella di un parallelogramma, poiché entrambe le figure geometriche sono piatte e appartengono alla famiglia dei quadrilaterali. Ad esempio, nella seguente immagine c'è un rombo a sinistra e un parallelogramma a destra.

L'area rombo a sinistra è la stessa di quella del parallelogramma a destra. Fonte: f. Zapata

Si scopre che le figure sono identiche, perché ciò che è cambiato è solo l'orientamento. Il rombo a sinistra, in rosa, i cui lati hanno la stessa misura: a, è girato in modo tale che uno dei suoi lati sia completamente orizzontale. Quindi, il rombo prende la forma del parallelogramma blu a destra.

E l'area di questo parallelogramma è anche il prodotto tra la base "A" e l'altezza rispetto a quella base, chiamata "H" nella figura, quindi:

A _{parallelogramma} = A × H

Dal momento che è la stessa figura, l'area è identica e ne consegue:

A _diamante = A × H

Pertanto, conoscendo e h del parallelogramma, la sua area viene calcolata e coinciderà con quella del rombo.

Area Rombo inscritta in un rettangolo

Un'altra relazione tra rombo e rettangolo appare quando il primo è registrato all'interno del secondo. In tal caso, i vertici del rombo coincidono con il punto medio dei lati del rettangolo, che viene visualizzato di seguito:

L'area rombo inscritta nel rettangolo è equivalente alla metà dell'area del rettangolo. Fonte: f. Zapata

Questa disposizione rende le diagonali maggiori e minori del rombo, la figura è divisa in 8 triangoli identici, 4 dei quali corrispondono al rombo, in verde, e gli altri 4 fanno parte del rettangolo. Se questi ultimi 4 triangoli si uniscano insieme, formare metà del rettangolo e i 4 triangoli rombo, l'altro.

Può servirti: triangolo isoscele

Pertanto, l'area rombo è equivalente alla metà dell'area rettangolo in cui è registrata, affermando che:

A_diamante = A_rettangolo / 2

Questo è facilmente verificato calcolando l'area di uno dei triangoli e moltiplicando per 4, poiché sono identici. L'area di qualsiasi triangolo è la metà del prodotto tra la base e la sua altezza:

A _triangolo = base × altezza /2

Dalla figura precedente si osserva che la base di uno dei triangoli è d/2 e l'altezza è d/2, che sostituisce nella formula precedente:

A _triangolo = (d /2) × (d /2) /2 = (d × d) /8

Moltiplicando questo risultato per 4 per avere l'area rombo:

A _diamante = 4 (d × d) /8 = (d × d) /2

Da parte sua, la metà del rettangolo è:

A _rettangolo / 2 = base × altezza / 2

Poiché la base del rettangolo è d e la sua altezza è d, rimane:

A_rettangolo / 2 = d × d/ 2

Che è proprio l'area del rombo registrato. Si è concluso allora che:

L'area di un rombo registrato in un rettangolo è equivalente alla metà dell'area di questo.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Quanto costa l'area rombo le cui principali misure diagonali 14.6 cm e la diagonale inferiore 9.8 cm?

Soluzione

Sostituendo d = 14.6 cm e d = 9.8 cm nella formula dell'area di Rhombo:

L'area ricercata è:

A _diamante = 14.6 cm × 9.8 cm = 143.1 cm²

Esercizio 2

Nella figura della sezione precedente, la diagonale principale del rombo registrato nelle misure del rettangolo d = 30 cm e l'area del rettangolo vale 210 cm². È richiesto di calcolare:

a) La lunghezza della diagonale minore

Può servirti: segmento di linea e semi -river

b) l'area rombo, in due modi: la prima attraverso l'area del rettangolo e la seconda usando la formula dell'area di un rombo. Controlla che il risultato sia lo stesso.

Soluzione a

L'area del rettangolo è il prodotto tra la sua base e la sua altezza. La diagonale più grande è la sua altezza, mentre la diagonale più piccola sarebbe la base. Usando la formula dell'area e sostituire i valori dell'istruzione, hai:

A _rettangolo = base × altezza = d × 30 cm = 210 cm²

Quindi vale la base:

D = 210 cm² / 30 cm = 7 cm

Soluzione b

Come visto sopra, l'area rombo è metà dell'area del rettangolo, e questo è noto:

A _diamante = 210 cm² /2 = 105 cm²

Il risultato viene controllato immediatamente, sostituendo nella formula:

Le diagonali sono già note: d = 30 cm, d = 7 cm, quindi:

A _diamante = 30 cm × 7 cm /2 = 105 cm²

Si è dimostrato che, come previsto, l'area di rombo è la stessa in entrambi i casi.