Qual è la linea guida? (Geometria)

IL direttiva In geometria è costituito da una curva, superficie o volume che rimane fissa e determina il modo in cui si forma un oggetto geometrico. Ad esempio, da una linea sono stabilite altre curve come le superfici coniche e la rivoluzione, come il cilindro circolare diritta.

La curva delle linee guida può anche essere una circonferenza. Un cilindro circolare dritto può essere formato lasciando un raggio Ri -r rión ri.

Figura 1. Un cilindro circolare dritto ha come guida un cerchio, attorno al quale si muove una linea retta chiamata Generatrix. Fonte: f. Zapata.

La circonferenza, che si trova sul piano disegnato nella figura, determina la forma della superficie curva del cilindro circolare dritto, che viene generato ruotando la linea intorno a essa, chiamata Generatrix diretto.

Se la curva di orientamento non è una circonferenza, ma un'altra curva, vengono generati altri tipi di cilindri, come il cilindro ellittico, la cui linea guida è un'ellisse.

Una circonferenza può anche fungere da linea guida per generare un'altra curva, tale è il caso del Epitrocoide, Una curva nel piano generato da un punto, che a sua volta si trova in un cerchio più piccolo che rotola senza scivolare, attorno alla linea guida.

È più facile apprezzarlo visivamente dalla seguente animazione:

figura 2. La curva rossa si chiama Epitrocuro e la sua curva delle linee guida. Fonte: Wikimedia Commons. Sam Derbyshire presso l'inglese Wikipedia/CC BY-S (http: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0/).

La curva delle linee guida sulle superfici cilindriche

Le superfici cilindriche sono classificate in base alla loro curva delle linee guida nei cilindri:

-Circolare

-Ellittico

-Parabolico

-Iperbolico

Quando una superficie cilindrica ha una linea guida che si trova in un piano perpendicolare a quello della linea di Generatrix, l'equazione di detta superficie è la stessa delle linee guida della linea guida.

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I cilindri appartengono al gruppo di Superfici quadrate, la cui equazione è di seconda elementare con tre variabili. La forma generale è:

Ascia² + Di² + Cz² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + k = 0

Dove i coefficienti a, b, c ... sono numeri reali.

I cilindri sono i corpi geometrici tridimensionali più comuni e utili che possono essere trovati, in particolare i cilindri circolari diritti, ma gli altri tipi di cilindri descritti di seguito hanno anche applicazioni in ingegneria e design.

Cilindro circolare dritto

La sua linea guida è un cerchio C che si trova in un piano perpendicolare al cilindro, come mostrato nella Figura 1, poiché la linea di Generatrix, che corre in C per formare la superficie laterale, è perpendicolare a C.

L'equazione della circonferenza C sul piano XY, focalizzata sull'origine (0,0) è:

X² + E² = R²

Dove r, il raggio della circonferenza sarà ovviamente il raggio del cilindro. L'altezza H del cilindro si estende lungo l'asse z, perpendicolare al piano XY.

Cilindro ellittico

La linea guida è un'ellisse nel piano XY centrato sull'origine (0,0), la cui equazione è:

La Generatrix è una linea perpendicolare al piano XY, che si muove attorno all'ellisse per dare origine alla superficie laterale. L'ellisse può essere in qualsiasi altezza z sul piano XY.

Ad esempio, l'ellisse equazione:

4x² + 9y² = 36

È la curva delle linee guida che dà origine al cilindro ellittico la cui equazione è 4x² + 9y² = 36, più z = 0. Aggiungendo quest'ultima espressione, è chiaro che è la superficie.

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Cilindro parabolico

In questo caso la linea guida è una parabola, che può essere della forma y = x². Pertanto il cilindro è diretto lungo l'asse z e forma impilando parabole con un vertice in (0,0) lungo quell'asse.

Il cilindro parabolico ha applicazione in energia solare, poiché alcuni collezionisti hanno specchi in questo modo, attraverso i quali la luce solare è concentrata nella messa a fuoco. Questo punto passa un tubo dritto all'interno del quale un olio raggiunge le temperature fino a 400 º C.

Cilindro iperbolico

Nel cilindro iperbolico, l'equazione della linea guida è l'iperbole centrata sull'origine:

Il cilindro si forma nella pila.

Superficie di rivoluzione

La curva delle linee guida di una superficie di rivoluzione è lo stesso asse di rivoluzione, la linea attorno alla quale la curva è responsabile della generazione della superficie.

La curva che ruota può avere una forma arbitraria, in questo modo viene generata un'area come si vede in questa animazione:

Figura 3. Una superficie di rivoluzione. Fonte: Wikimedia Commons. https: // caricamento.Wikimedia.Org/wikipedia/commons/e/e7/rotationskoerper_animation.GIF.

Se si ottiene un'altra linea attorno alla linea guida, si ottiene il cilindro circolare dritto già familiare. Allo stesso modo, possono essere ottenute altre superfici della rivoluzione, come le superfici della rivoluzione conica, sferica e toroidale.

Superficie conica

Una superficie conica viene generata dal movimento di una linea di Generatrix che passa sempre attraverso la curva piatta fissa o la curva delle linee guida e dal punto fisso chiamato Vertex, che non appartiene al piano linee guida.

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Il vertice o la punta divide il cono in due parti, chiamato foglie O rami.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Trova l'area laterale dell'alto cilindro circolare di altezza 25 cm, la cui curva delle linee guida è la circonferenza del raggio di 6 cm, focalizzata sull'origine.

Soluzione

L'area laterale del cilindro è il prodotto della lunghezza della linea guida per altezza. Se R è il raggio della circonferenza e H è l'altezza del cilindro, l'area è data da:

A = 2πr x H = 2πx 6 cm x 25 cm = 942.5 cm²

- Esercizio 2

Hai la seguente equazione che corrisponde a una superficie quadrica:

X² + E² + 2Z² +2xz - 2yz = 1

Indicare quale superficie è e qual è l'equazione della linea guida.

Soluzione

Facendo z = k, dove k è costante, si ottiene:

X² + E² + 2k² +2kx - 2ky = 1

Riorganizziamo i termini come segue:

(X² + 2kx) + (e²- 2ky) = 1-2k²

I quadrati devono², Per non modificare nessuna delle parentesi:

(X² + 2kx + k² - K² ) + (e² - 2ky + k² - K²) = 1-2k²

(X² + 2kx + k²) - K²  + (E²- 2ky + k²) - K² = 1-2k²

In questo modo rimane:

(x + k)² + (e - k)² = 1

Come è l'equazione di un cerchio centrale (-k, k) e del raggio 1, la superficie è un cilindro circolare dirittivo, anch'esso di radio 1, purché la linea di Generatrix sia perpendicolare a detta circonferenza.

Ad esempio, facendo k = 0, l'equazione è ridotta alla circonferenza centrata sull'origine (0,0) il cui raggio è 1:

X² + E² = 1

Riferimenti

1. Gaussiani. Rappresenta le superfici a tre dimensioni. Recuperato da: gaussiani.com.
2. Kindle, j. Teoria e problemi di geometria analitica. McGraw Hill. Serie Schaum.
3. Superfici come luoghi geometrici. Recuperato da: algebra.Frlp.Utn.Edu.ar.
4. Suárez, m. Superfici. Estratto da: soggetti.Unq.Edu.ar.
5. Superfici quadrate. Recuperato da: sistemi.fciencias.UNAM.MX.