Somma proprietà associativa, moltiplicazione, esempi, esercizi

IL proprietà associativa della somma rappresenta la natura associativa dell'operazione aggiunge vari set matematici. Racconta tre (o più) elementi di questi set, chiamati A, B e C, in modo tale da soddisfare:

a + (b + c) = (a + b) + c

In questo modo è garantito che, indipendentemente da come raggruppare per eseguire l'operazione, il risultato è lo stesso.

Figura 1. Usiamo la proprietà associativa della somma molte volte quando facciamo operazioni aritmetiche e algebrose. (Disegno: composizione Freepik: F. Zapata)

Ma va notato che la proprietà associativa non è sinonimo di proprietà commutativa. Cioè, sappiamo che l'ordine dei aggiunti non altera la somma o che l'ordine dei fattori non altera il prodotto. Quindi per la somma puoi scrivere in questo modo: a + b = b + a.

Tuttavia, nella proprietà associativa è diverso, poiché viene mantenuto l'ordine degli elementi da aggiungere e quali modifiche è l'operazione che viene eseguita per prima. Ciò significa che non importa prima (b+c) e a questo risultato aggiungi a, per iniziare ad aggiungere a b e al risultato aggiungi c.

Molte operazioni importanti come la somma sono associative, ma non tutte. Ad esempio nella sottrazione di numeri reali, accade che:

A - (b - c) ≠ (a - b) - c

Sì a = 2, b = 3, c = 1, quindi:

2- (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

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Proprietà associativa della moltiplicazione

Come è stato fatto per la somma, la proprietà associativa della moltiplicazione indica che:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

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Nel caso dell'insieme di numeri reali è facile verificare che sia sempre. Ad esempio, usando i valori a = 2, b = 3, c = 1, devi:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟  3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

I numeri reali soddisfano la proprietà associativa sia della somma che della moltiplicazione. D'altra parte, in un altro set, come quello dei vettori, la somma è associativa, ma il prodotto incrociato o il prodotto non lo è.

Applicazioni della proprietà associativa della moltiplicazione

Un vantaggio che le operazioni in cui viene soddisfatta la proprietà associativa deve essere soddisfatta nel modo più conveniente. Questo facilita notevolmente la risoluzione.

Ad esempio, supponiamo che in una piccola biblioteca ci siano 3 ripiani con 5 intrattenimento ciascuno. In ogni intrattenimento ci sono 8 libri. Quanti libri ci sono in totale?

Possiamo eseguire l'operazione come segue: libri totali = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 libri.

Or così: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 libri.

figura 2. Un'applicazione della proprietà associativa della moltiplicazione è quella di calcolare il numero di libri su ciascun scaffale. Immagine creata da F. Zapata.

Esempi

-Nei set di numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, la proprietà associativa della somma e della moltiplicazione è soddisfatta.

Figura 3. Per i numeri reali, la proprietà associativa della somma è soddisfatta. Fonte: Wikimedia Commons.

-Per i polinomi si applicano anche in queste operazioni.

-In caso di operazioni di sottrazione, divisione ed esponenziazione, la proprietà associativa non è adempiuta in numeri reali o polinomi.

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-Nel caso delle matrici, la proprietà associativa viene soddisfatta per la somma e la moltiplicazione, sebbene in quest'ultimo caso la commuticità non sia soddisfatta. Ciò significa che, date matrici a, b e c, è vero che:

(A x b) x c = a x (b x c)

Ma ... a x b ≠ b x a

Proprietà associativa in vettori

I vettori formano un set diverso rispetto ai numeri reali o ai numeri complessi. Le operazioni definite per l'insieme di vettori sono in qualche modo diverse: c'è somma, sottrazione e tre tipi di prodotti.

La somma dei vettori incontra la proprietà associativa, nonché numeri, polinomi e matrici. Per quanto riguarda i prodotti scalari, l'arrampicata per vettore e la croce che vengono realizzati tra vettori, quest'ultimo non si incontra, ma il prodotto scalare, che è un altro tipo di operazione tra i vettori, lo soddisfa, tenendo conto di quanto segue:

-Il prodotto di uno scalare per un vettore si traduce in un vettore.

-E arrampicando due vettori, è uno scalare.

Pertanto, dati i vettori v, O E W, E inoltre uno scalare λ, è possibile scrivere:

-Somma dei vettori: v +(O + W ) = (v + O) + W

-Prodotto scalare: λ (v • O ) = (λv) • O

Quest'ultimo è possibile grazie a cosa v • O È uno scalare e λv È un vettore.

Tuttavia:

v × (O × W ) ≠ (v × O)×W

Fattorizzazione polinomiale raggruppando i termini

Questa applicazione è molto interessante, perché come indicato sopra, la proprietà associativa aiuta a risolvere alcuni problemi. La somma dei monomiali è associativa e questo può essere usato per fare conto quando un evidente fattore comune non appare a prima vista.

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Ad esempio, supponiamo che sia richiesto per il fattore: X³ + 2X² + 3X +6. Questo polinomio manca di un fattore comune, ma vediamo cosa succede se è raggruppato in questo modo:

X³ + 2x² + 3x +6 = (x³ + 2x²) + (3x +6)

La prima parentesi ha come fattore comune X²:

X³ + 2X² = X² (x+2)

Nel secondo il fattore comune è 3:

3x +6 = 3 (x + 2)

COSÌ:

X³ + 2X² + 3X +6 = X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2)

Ora c'è un ovvio fattore comune, che è x+2:

X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2) = (x+ 2) (x²+3)

Esercizi

- Esercizio 1

La costruzione di una scuola ha 4 piani e in ciascuno ci sono 12 aule con 30 banchi all'interno. Quanti banchi ha la scuola in totale?

Soluzione

Questo problema è risolto applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, vediamo:

Numero totale di scrivanie = 4 piani x 12 aule /pavimento x 30 banchi /classe = (4 x 12) x 30 banchi = 48 x 30 = 1440 banchi.

O Se preferito: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 scrivanie

- Esercizio 2

Dati i polinomi:

A (x) = 5x³ + 2x² -7x + 1

B (x) = x⁴ +6x³ -5x

C (x) = -8x² +3x -7

Applicare la proprietà associativa della somma per trovare (x) + b (x) + c (x).

Soluzione

I primi due possono essere raggruppati e il risultato aggiunge il terzo:

A (x) + b (x) = [5x³ + 2x² -7x + 1] + [x⁴ +6x³ -5x] = x⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1

Viene immediatamente aggiunto il polinomio C (x):

[X⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1] + [-8x² +3x -7] = x⁴ + 11x³ - 6x² -9x -6

Il lettore può verificare che il risultato sia identico se risolto per opzione A (x) + [b (x) + c (x)]].

Riferimenti

1. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. La matematica è divertente. Leggi commutative, associative e distrettuali. Recuperato da: Mathisfun.com.
3. MACCHIO MATH. Definizione di proprietà associativa. Recuperato da: Mathwarehouse.com.
4. Scientifico. Proprietà associativa e commutativa di aggiunta e moltiplicazione (con esempio). Recuperato da: scientifici.com.
5. Wikipedia. Proprietà associativa. Recuperato da: in.Wikipedia.org.