Prodotti notevoli

Quali sono i prodotti notevoli?

I prodotti notevoli sono operazioni algebriche, in cui vengono espresse molteplicazioni dei polinomi, che non devono essere tradizionalmente risolti, ma con l'aiuto di alcune regole, i risultati degli stessi possono essere trovati.

I polinomi sono moltiplicati per se, quindi è possibile che abbiano molti termini e variabili. Per far breve il processo, vengono utilizzate le regole dei prodotti notevoli, che consentono le moltiplicazioni senza dover passare a termine.

Prodotti ed esempi notevoli

Ogni prodotto straordinario è una formula che deriva da una fattorizzazione, composta da polinomi di diversi termini come binomiali o trinomiali, chiamati fattori.

I fattori sono la base di un potere e hanno un esponente. Quando i fattori si moltiplicano, gli esponenti devono essere aggiunti.

Esistono diverse formule di prodotti notevoli, alcune sono più utilizzate di altre, a seconda dei polinomi e sono i seguenti:

Binomiale quadrato

È la moltiplicazione di un binomiale da solo, espressa sotto forma di potere, in cui i termini vengono aggiunti o sottratti:

A. Somma quadrata binomiale: È uguale al quadrato del primo mandato, più il doppio del prodotto dei termini, più il quadrato del secondo termine. È espresso come segue:

(A + B)² = (a + b) _* (A + B).

Nella figura seguente puoi vedere come il prodotto viene sviluppato in base alla regola sopra menzionata. Il risultato è chiamato trinomiale di un quadrato perfetto.

Esempio 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Esempio 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4 ° _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 AB + 4B².

B. Binomiale di una sottrazione quadrata: Viene applicata la stessa regola del binomiale di una somma, solo che in questo caso il secondo termine è negativo. La sua formula è la seguente:

(A - b)² = [(a) + (- b)]²

Può servirti: analogie numeriche: tipi, applicazioni ed esercizi

(A - b)² = a² +2 ° _* (-b) + (-b)²

(A - b)²   = a² - 2ab + b².

Esempio 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

Prodotto binomiale coniugato

Due binomiali sono coniugati quando i secondi termini di ciascuno sono di segni diversi, cioè quello del primo è positivo e quello del secondo negativo o viceversa. Viene risolto sollevando ogni monomio quadrato e sottratto. La sua formula è la seguente:

(A + B) _* (A - b)

Nella figura seguente viene sviluppato il prodotto di due binomiali coniugati, dove si osserva che il risultato è una differenza di quadrati.

Esempio 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9b².

Prodotto di due binomiali con un termine comune

È uno dei prodotti notevoli più complessi e poco usati perché è una moltiplicazione di due binomiali che hanno un termine comune. La regola indica quanto segue:

• Il quadrato del termine comune.
• Inoltre la somma i termini che non sono comuni e quindi li moltiplicano per il termine comune.
• Più la somma della moltiplicazione dei termini che non sono comuni.

È rappresentato nella formula: (x + a) _* (x + b) ed è sviluppato come mostrato nell'immagine. Il risultato è un trinomiale quadrato non perfetto.

Esempio 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* X + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

Esiste la possibilità che il secondo termine (il diverso termine) sia negativo e la sua formula sia la seguente: (x + a) _* (x - b).

Esempio 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

Può anche accadere che entrambi termini diversi siano negativi. La tua formula sarà: (x - a) _* (x - b).

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Esempio 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-undici) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Polinomio quadrato

In questo caso ci sono più di due termini e per svilupparli, ognuno viene tagliato e aggiunto con il doppio della moltiplicazione di un termine con un altro; La sua formula è: (A + B + C)² E il risultato dell'operazione è un trinomio al quadrato.

Esempio 1

(3x + 2y + 4Z)² = (3x)² + (2 e)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4Z)² = 9x² + 4y² + 16Z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Cubo binomiale

È un prodotto notevole complesso. Per svilupparlo, il binomiale viene moltiplicato per la sua piazza, come segue:

A. Per binomiale al cubo di una somma:

• Il primo cubo del primo termine, più triplo il quadrato del primo mandato per il secondo.
• Più triplo il primo mandato, dal secondo quadrato.
• Più il cubo del secondo mandato.

(A + B)³ = (a + b) _* (A + B)²

(A + B)³ = (a + b) _* (A² + 2ab + b²)

(A + B)³ = a³ + 2 °²B + AB² + ba² + 2ab² + B³

(A + B)³ = a³ + 3 °²B + 3ab² + B³.

Esempio 1

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(A + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

B. Per il binomiale al cubo di una sottrazione:

• Il cubo del primo mandato, tranne la tripla del quadrato del primo mandato per il secondo.
• Più triplo il primo mandato, dal secondo quadrato.
• Meno il cubo del secondo mandato.

(A - b)³ = (a - b) _* (A - b)²

(A - b)³ = (a - b) _* (A² - 2ab + b²)

(A - b)³ = a³ - 2 °²B + AB² - ba² + 2ab² - B³

(A - b)³ = A³ - 3 °²B + 3ab² - B³.

Esempio 2

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

Può servirti: dati non gruppi: esempi e esercizio fisico risolti

(B - 5)³ = b³ - 15b² +75b - 125.

Cubo trinomiale

Sviluppa moltiplicarlo per il suo quadrato. È un prodotto molto esteso perché ci sono 3 termini sollevati al cubo, più il triplo di ogni termine quadrato, moltiplicato per ciascuno dei termini, più sei volte il prodotto dei tre termini. Visto in una forma migliore:

(A + B + C)³ = (A + B + C) _* (A + B + C)²

(A + B + C)³ = (A + B + C) _* (A² + B² + C² + 2ab + 2ac + 2bc)

(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3 °²B + 3ab² + 3 °²C + 3ac² + 3b²C + 3bc² + 6abc.

Esempio 1

Esercizi risolti di prodotti notevoli

Esercizio 1

Sviluppa il seguente binomiale al cubo: (4x - 6)³.

Soluzione

Ricordando che un binomiale al cubo è uguale al primo mandato sollevato al cubo, tranne la tripla del quadrato del primo mandato per il secondo; più tripla il primo mandato, dal secondo quadrato, tranne il cubo del secondo mandato.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36.

Esercizio 2

Sviluppa il seguente binomiale: (x + 3) (x + 8).

Soluzione

Hai un binomiale in cui esiste un termine comune, che è x e il secondo termine è positivo. Per svilupparlo, solo il termine comune deve essere aumentato, oltre alla somma dei termini che non sono comuni (3 e 8) e quindi moltiplicarli per il termine comune, oltre alla somma della moltiplicazione dei termini che non sono comuni.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

Riferimenti

1. Angela. R. (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, L. H. ( millenovecentonovantasei). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
3. Das, s. (S.F.). Matematica più 8. Regno Unito: Sagar Ratna.
4. Jerome e. Kaufmann, k. L. (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Education.