Proprietà poligoni regolari, elementi, angoli, esempi

IL poligoni regolari Sono quelli che hanno tutti i loro lati e le loro uguali angoli interni. Nella figura seguente ci sono una serie di poligoni diversi, che sono figure pianeggiate limitate da una curva chiusa e solo quelle che sono evidenziate soddisfano le condizioni per essere regolari.

Ad esempio, il triangolo equilatero è un poligono regolare, poiché i suoi tre lati misurano lo stesso, così come i suoi angoli interni, che valgono 60 º ciascuno.

Figura 1. I poligoni regolari sono quelli i cui lati e angoli interni sono uguali, come il triangolo equilatero e il quadrato. Fonte: Wikimedia Commons.

Il quadrato è un quadrilatero con quattro lati di uguale misura e i cui angoli interni sono 90º. È seguito dal normale Pentagono, con cinque lati di uguale dimensione e cinque angoli interni di 108º ciascuno.

Quando un poligono è regolare, questa parola viene aggiunta al suo nome speciale, quindi abbiamo il normale esagono, l'eptagono normale e così via.

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Proprietà dei poligoni regolari

Le proprietà più importanti dei poligoni regolari possono essere riassunte come segue:

-I lati misurano lo stesso, quindi lo sono equilaterali.

-Sono Equagular, Bene, tutti i suoi angoli interni hanno la stessa misura.

-Possono sempre registrarsi in una circonferenza, il che significa che si adattano perfettamente a uno, che si chiama circonferenza circoscritta.

-Per un poligono regolare di n lati, la misura di un angolo interno α è:

α = [180 (N-2)]/N

-N-3)/2 Diagonali possono essere disegnati dai vertici di un poligono, regolari o no.

-La somma di angoli esterni È uguale a 360º.

figura 2. Circonferenza registrata e circonferenza circoscritta al poligono normale. Fonte: f. Zapata.

Elementi di un poligono normale

Quindi presentiamo gli elementi principali di un poligono normale, visualizzato nella figura inferiore.

Figura 3. Elementi del poligono normale. Fonte: f. Zapata.

Vertice

Punto comune che hanno due lati consecutivi, indicato come V nella figura.

Lato

È il segmento che si unisce a due vertici consecutivi del poligono ed è indicato come ℓ o l.

Diagonale

Segmento che unisce due vertici non cottivi del poligono, nella figura è indicato come D.

Centro

È il centro comune della circonferenza registrata e la circonferenza circoscritta, indicata dalla lettera o. Può anche essere visto come l'unico punto che equidista sia dei vertici che dei punti medi su ciascun lato.

Radio

È la radio R della circonferenza circoscritta e coincide con la distanza tra O e un vertice.

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Apotema

È chiamato apotema al raggio della circonferenza inscritta nel poligono, rappresentata nella figura con una lettera A. Apothem è perpendicolare al lato e unisce questo con il centro O (segmento rosso nella Figura 3).

Conoscendo il raggio R e la lunghezza del lato, l'apothem è calcolato da:

Poiché, in effetti, Apothem è una delle categorie di un triangolo rettangolare (vedi Figura 3), l'altro Cateto è il valore di ℓ/2 (metà di un lato) e l'ipotenusa la radio R del poligono.

Quando il teorema di Pitagora viene applicato a detto triangolo, questa equazione si ottiene, il che è valido non solo per l'esagono, ma per qualsiasi poligono normale.

Angolo centrale

È l'angolo il cui vertice coincide con il centro o i cui lati sono i segmenti che uniscono il centro con due vertici consecutivi. La sua misura in gradi di sexagesimale è 360º/n, dove N È il numero di lati del poligono.

Sagita

È la differenza tra il raggio del poligono e dell'Apothem (vedi Figura 3). Indicando sagita come s:

S = r - a

Perimetro e area

Perimetro

Viene facilmente calcolato aggiungendo le lunghezze dei lati. Poiché qualsiasi lato ha la stessa lunghezza L e ci sono n lati, il perimetro P è espresso come:

P = n.L

La zona

In un poligono regolare l'area A è data dal prodotto tra il semi-perimetro (metà del perimetro) e la lunghezza di apotema A.

A = p.A /2

Poiché il perimetro dipende dal numero di lati n, si scopre che:

A = (NL).A /2

Due poligoni regolari possono avere lo stesso perimetro anche se non hanno lo stesso numero di lati, poiché dipenderebbe quindi dalla lunghezza dei lati.

Nel libro V del tuo Collezione, Il pappus matematico di Alessandria (290-350), l'ultimo dei grandi matematici greci dell'antichità, ha dimostrato che tra tutti i poligoni regolari con lo stesso perimetro, quello con l'area più grande è quello con il maggior numero di lati.

Angoli

La Figura 4 mostra gli angoli rilevanti in un poligono normale, indicato con le lettere greche α, β e γ.

Angolo centrale

In precedenza menzioniamo l'angolo centrale, tra gli elementi del poligono normale, è l'angolo il cui vertice è al centro del poligono e i lati sono i segmenti che uniscono il centro con due vertici consecutivi.

Per calcolare la misura dell'angolo centrale α, 360º è diviso per n, il numero di lati. O radianti 2π tra n:

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α = 360º/n

Equivalente in radianti a:

α = 2π /n

Angolo interno o angolo interno

Nella Figura 4 l'angolo interno β è quello il cui vertice coincide con una delle figura e i suoi lati sono anche i lati della figura. È calcolato in gradi sessamage da:

β = [180 (n-2)]/n

O in radianti usando:

β = [π (n-2)]/n

Angoli esterni

Sono indicati dalla lettera greca γ. Nella figura si osserva che γ + β = 180º. Perciò:

γ = 180º - β

La somma di tutti gli angoli esterni a un poligono normale è 360º.

Figura 4. Gli angoli in un poligono normale, in questo esempio un normale Pentagono. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi di poligoni regolari

Di seguito abbiamo i primi 8 poligoni regolari. Osserviamo che all'aumentare del numero di lati, il poligono diventa sempre più alla circonferenza in cui sono registrati.

Possiamo immaginare che fare la lunghezza dei lati sempre più piccoli e aumentando il numero di questi, otteniamo la circonferenza.

Figura 5. I primi otto poligoni regolari. Fonte: Wikimedia Commons.

- Poligoni regolari nella vita e nella natura quotidiana

I poligoni regolari si trovano ovunque nella vita quotidiana e persino nella natura. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Segnali stradali

Nella segnaletica che vediamo sulle autostrade e le strade abbondano poligoni regolari come triangoli equilaterali, quadrati e rombo. Nella Figura 6 vediamo un segnale di segnale ad alta formazione.

Figura 5.- Segnale stradale con forma ottagonale. Fonte: Pixabay.

Mobilia

Gli innumerevoli mobili sono quadrati per esempio, come una caratteristica figura geometrica, così come molti tavoli, sedie e banche sono quadrati. Un parallelepiped è generalmente una scatola con lati a forma di rettangolo (che non è un poligono normale), ma possono anche fare quadrati.

Architettura e costruzione

Le piastrelle o le piastrelle dei pavimenti e delle pareti, sia nelle case che nelle strade, hanno spesso la forma di poligoni regolari.

Le tesel sono superfici coperte interamente da piastrelle che hanno diverse figure geometriche. Con il triangolo, il quadrato e l'esagono possono essere realizzati regolari, quelli che usano solo un singolo tipo di figura per il rivestimento perfettamente, senza spazi vuoti (vedi Figura 6).

Anche gli edifici utilizzano poligoni regolari in elementi come finestre e decorazioni.

Figura 6. Piastrelle quadrate. Fonte: Pixabay.

- Esagoni regolari in natura

Sorprendentemente, l'esagono regolare è un poligono che appare spesso in natura.

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Honeycombs realizzato dalle api per conservare il miele ha una forma molto approssimativa a un normale esagono. Come ha osservato il pappus di Alessandria, in questo modo le api ottimizzano lo spazio per salvare il più possibile.

E ci sono anche esagoni regolari nel guscio di tartarughe e fiocchi di neve, che adottano anche varie forme geometriche molto belle.

Esercizio risolto

Un esagono regolare fa parte di un semicerchio di raggio di 6 cm, come mostrato nella figura. Qual è il valore dell'area ombreggiata?

Figura 7. Un esagono regolare registrato in un semicerchio. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

L'area ombreggiata è la differenza tra l'area del semicerchio del raggio r = 6 cm e la zona esagonale completa, un normale poligono a 6 late. Quindi avremo bisogno di formule per l'area di ciascuna di queste figure.

Area del semicerchio

A₁ = π r² /2 = π (6 cm)² /2 = 18π cm²

Area esagonale regolare

La formula per il calcolo dell'area di un poligono normale è:

A = p.A /2

Dove P È il perimetro e A È Apothem. Poiché il perimetro è la somma dei lati, avremo bisogno del valore di questi. Per esagono regolare:

P = 6ℓ

Perciò:

A = 6ℓa /2

Per trovare il valore del lato ℓ è necessario costruire figure ausiliarie, che spiegheremo di seguito:

Cominciamo con il piccolo triangolo rettangolo a sinistra, la cui ipotenusa è ℓ. Vale un angolo interno dell'esagono:

α = [180 (n-2)]/n = α = [180 (6-2)]/6 = 120º

Il raggio che abbiamo disegnato in verde bisecta questo angolo, quindi l'angolo acuto del piccolo triangolo è di 60º. Con le informazioni fornite, questo triangolo viene risolto, trovando il lato blu chiaro, che misura lo stesso di Apothem:

Cateto opposto = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm

Questo valore è il doppio della gamba blu scuro del grande triangolo a destra, ma da quel triangolo sappiamo che l'ipotenusa misura 6 cm perché è il raggio del semicerchio. La cateto rimanente (sotto) vale ℓ/2 poiché il punto o è nel mezzo del lato.

Poiché gli angoli interni di questo triangolo non sono noti, possiamo sollevare il teorema di Pitagora per lui:

36 = 3 ℓ² + ℓ² / 4

(13/4) ℓ² = 36 → ℓ = √ (4 x36) /13 cm = 12 /√13 cm

Con questo valore viene calcolato Apothem:

a = ℓ√3 /2 cm = (12 /√13) x (√3 /2) cm = 6√3 /√13 cm

Chiamiamo un₂ alla normale area esagonale:

= 28. 8 cm²

Area di figura ombreggiata

A₁ - A₂ = 18π cm²  - 28.8 cm² = 27.7 cm²

Riferimenti

1. Baldor, a. 1973. Geometria e trigonometria. Editoriale culturale centroamericano.
2. Goditi la matematica. Tesel. Recuperato da: divertimento.com.
3. E. A. 2003. Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
4. Esagoni in natura. Recuperato da: Malvargamath.WordPress.com.
5. Jiménez, r. 2010. Matematica ii. Geometria e trigonometria. Seconda edizione. Prentice Hall.
6. Poligoni regolari. Recuperato da: amico.ingegneria.USAC.Edu.Gt.
7. Wikipedia. Apotema. Recuperato da: è.Wikipedia.org.