Perimetro del cerchio come tirarlo fuori e formule, risolti esercizi

Lui perimetro del cerchio È l'insieme di punti che formano il contorno di un cerchio ed è anche noto come lunghezza della circonferenza. Dipende dal raggio, poiché una circonferenza più grande avrà ovviamente un contorno maggiore.

Essere P Il perimetro di un cerchio e R il raggio dello stesso, quindi possiamo calcolare P Con la seguente equazione:

P = 2π.R

Il perimetro del cerchio (in questo caso una pizza) dipende dalla sua radio. Fonte: Pixabay.

Dove π è un numero reale (legge "pi") che vale circa 3.1416 ... i punti sospensivi sono dovuti al fatto che π ha infiniti decimali. Pertanto, quando si effettuano i calcoli, è necessario arrotondare il suo valore.

Tuttavia, per la maggior parte delle applicazioni, è sufficiente assumere la quantità indicata qui o utilizzare tutti i decimali che funziona con cui funziona.

Se invece di avere il raggio, si preferisce usare il diametro D, che sappiamo è il doppio del raggio, il perimetro è espresso come segue:

P = π.2r = π.D

Poiché il perimetro è una lunghezza, deve sempre essere espresso in unità come metri, centimetri, piedi, pollici e altro, a seconda del sistema che è preferito.

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Circonferenze e cerchi

Sono spesso termini usati in modo intercambiabile, cioè come sinonimi. Ma succede che ci siano differenze tra loro.

La parola "perimetro" proviene dal "periodo" greco "che significa contorno e" metropolitana "o misura. La circonferenza è il contorno o il perimetro del cerchio. Formalmente è definito:

Una circonferenza è l'insieme di punti con uguale distanza da un punto chiamato centro, questa distanza è il raggio della circonferenza.

Da parte sua, il cerchio è definito come segue:

Un cerchio è l'insieme di punti la cui distanza da un punto chiamato centro è inferiore o uguale a una distanza fissa chiamata radio.

Il lettore può avvertire la sottile differenza tra i due concetti. La circonferenza si riferisce solo all'insieme di punti Edge, mentre il cerchio è l'insieme di punti dal bordo verso l'interno, di cui la circonferenza è il bordo.

Può servirti: esercizi di autorizzazione della formula

Esercizi di DEmostrazione del calcolo del perimetro del cerchio

Attraverso i seguenti esercizi, i concetti descritti saranno messi in pratica, così come alcuni altri che verranno spiegati mentre appaiono. Inizieremo dal più semplice e il grado di difficoltà sarà aumentato progressivamente.

- Esercizio 1

Trova il perimetro e l'area del cerchio radio da 5 cm.

Soluzione

L'equazione fornita all'inizio viene applicata direttamente:

P = 2π.R= 2π.5 cm = 10 π cm = 31.416 cm

Per calcolare l'area A Viene utilizzata la seguente formula:

A = π.R² = π. (5 cm)²= 25π cm²= 78.534 cm²

- Esercizio 2

a) Trova il perimetro e l'area della regione vuota della figura seguente. Il centro del cerchio ombreggiato è nel punto rosso, mentre il centro della circonferenza bianca è il punto verde.

b) Ripetere la sezione precedente per la regione ombreggiata.

Cerchi per l'esercizio 2. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

a) Il raggio della circonferenza bianca è di 3 cm, quindi applichiamo le stesse equazioni dell'esercizio 1:

P = 2π.R= 2π.3 cm = 6 π cm = 18.85 cm

A = π.R² = π. (3 cm)²= 9π cm²= 28.27 cm²

b) Per il cerchio ombreggiato, il raggio è di 6 cm, il suo perimetro è due volte quello calcolato nella sezione A):

P = 2π.R= 2π.6 cm = 12 π cm = 37.70 cm

E infine l'area della regione ombreggiata viene calcolata come segue:

- Il primo è l'area del cerchio ombreggiato come se fosse completo, che chiameremo ', come questo:

A' = π.R²= π.(6 cm)² = 36π cm²= 113.10 cm²

- Quindi nell'area A' L'area del cerchio bianco viene sottratta, precedentemente calcolata nella sezione A), in questo modo si ottiene l'area richiesta, che sarà indicata semplicemente come:

A = a ' - 28.27 cm² = 113.10-28.27 cm² = 84.83 cm²

- Esercizio 3

Trova l'area e il perimetro della regione ombreggiata nella figura seguente:

Può servirti: angoli supplementari: cosa sono, calcoli, esempi, eserciziFigura per l'esercizio 3. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Calcolo dell'area della regione ombreggiata

Calcoliamo prima l'area del Settore circolare o cuneo, tra i segmenti dritti OA e OB e il segmento circolare AB, come mostrato nella figura seguente:

Per questo, viene utilizzata la seguente equazione, che ci dà l'area di un settore circolare, conoscendo il raggio R e l'angolo centrale tra i segmenti OA e OB, cioè due delle radio della circonferenza:

A _{Settore circolare} = Π.R². (αº/360º)

Dove αº è l'angolo centrale - è centrale perché il suo vertice è il centro della circonferenza - tra due radio.

Passaggio 1: calcolo dell'area del settore circolare

In questo modo, l'area del settore mostrato nella figura è:

A _{Settore circolare} = Π.R². (αº/360º) = π. (8 cm)². (60º/360º) = (64/6) π cm²= 33.51 cm²

Passaggio 2: calcolo dell'area del triangolo

Quindi calcoleremo l'area del triangolo bianco della Figura 3. Questo triangolo è equilatero e la sua area è:

A _triangolo = (1/2) base x altezza

L'altezza è la linea rossa tratteggiata vista nella Figura 4. Per trovarlo puoi usare il teorema di Pitagora, ad esempio. Ma non è l'unico modo.

Il lettore di Observer avrà notato che il triangolo equilatero è diviso in due rettangoli identici, la cui base è 4 cm:

In un triangolo di destra il teorema di Pitagora è realizzato, quindi:

Dato che hai l'altezza del triangolo, sia del rettangolo che dell'equilaterale, la sua area viene calcolata:

A _triangolo = (1/2) base x altezza = (1/2) 8 cm x 6.93 cm = 27.71 cm².

Passaggio 3: calcolo dell'area ombreggiata

È sufficiente sottrarre la principale area (quella del settore circolare) dell'area minore (quella del triangolo equilatero): a _{regione ombreggiata} = 33.51 cm² - 27.71 cm² = 5.80 cm².

Calcolo del perimetro della regione ombreggiata

Il perimetro cercato è la somma del lato rettilineo da 8 cm e l'arco della circonferenza AB.  Tuttavia, la circonferenza completa sottende 360 ​​º, quindi un arco che sottopone 60 º è una sesta parte dell'intera lunghezza, che sappiamo è 2.π.UN:

Può servirti: funzione in crescita: come identificarla, esempi, esercizi

AB = 2.π.R / 6 = 2.π.8 cm / 6 = 8.38 cm

Sostituzione, il perimetro della regione ombreggiata è:

P = 8 cm + 8.38 cm = 16.38 cm.

Applicazioni

Il perimetro, come l'area, è un concetto molto importante in geometria e con molte applicazioni nella vita quotidiana.

Artisti, designer, architetti, ingegneri e molte altre persone fanno uso del perimetro mentre sviluppano il loro lavoro, in particolare quello di un cerchio, poiché la forma rotonda è ovunque: dalla pubblicità, attraverso il cibo ai macchinari.

La circonferenza e il cerchio sono tra le geometrie più utilizzate. Fonte: Pixabay.

Per conoscere direttamente la lunghezza di un cerchio, è sufficiente avvolgerlo con una filo o una stringa, quindi estendere questo filo e misurarlo con un nastro. L'altra alternativa è misurare il raggio o il diametro del cerchio e utilizzare alcune delle formule sopra descritte.

Nel lavoro quotidiano, il concetto perimetrale viene utilizzato quando:

-Lo stampo appropriato viene scelto per una certa pizza o dimensione della torta.

-Verrà progettata una strada urbana, calcolando le dimensioni di un Redoma in cui le auto possono cambiare significato.

-Sappiamo che la Terra ruota attorno al sole in un'orbita approssimativamente circolare -nella realtà le orbite planetarie sono ellittiche, secondo le leggi di Kepler, ma la circonferenza è un ottimo approccio alla maggior parte dei pianeti.

-Vengono scelte le dimensioni appropriate di un anello o di un anello che verrà acquistato in un negozio online.

-Scegliamo una chiave per le giuste dimensioni per allentare un dado.

E molti altri.

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Riferimenti

1. Tutorial di matematica gratuite. Area e perimetro di un cerchio - calcolatore della geometria. Recuperato da: Analyzemath.com.
2. Matematica aperta riferimento. Circonferenza, perimetro di un cerchio. Recuperato da: Mathpenref.com.
3. Monterey Institute. Perimetro e area. Recuperato da: Montereyinstitute.org.
4. Scientifico. Come trovare il perimetro di un cerchio. Recuperato da: scientifici.com.
5. Wikipedia. Circonferenza. Recuperato da: in.Wikipedia.org.