Numeri perfetti come identificarli ed esempi

UN Il numero perfetto è un numero naturale tale che La somma dei suoi divisori è uguale al numero. Ovviamente non può essere incluso tra i divisori al numero stesso.

Uno degli esempi più semplici di numero perfetto è 6, poiché i suoi divisori sono: 1, 2 e 3. Se aggiungiamo i divisori, si ottiene: 1 + 2 + 3 = 6.

Figura 1. Il numero 6 è perfetto, perché la somma dei suoi divisori, non includendo il numero stesso, dà il numero 6. Fonte: sé realizzato

La somma dei divisori di un numero intero, non includendo il numero stesso, è chiamata aliquota. Pertanto un numero perfetto è uguale alla sua aliquota.

Ma se nella somma dei divisori di un numero è incluso il numero stesso, allora un numero perfetto sarà quello che la somma di tutti i suoi divisori diviso per 2 è uguale al numero stesso.

[TOC]

Storia

I matematici dell'antichità, in particolare i greci, hanno dato grande importanza ai numeri perfetti e attribuivano qualità divine.

Ad esempio, Philo de Alejandría, intorno al 1 ° secolo, ha affermato che 6 e 28 sono numeri perfetti che coincidono con i sei giorni della creazione del mondo e i venti otto giorni che impiegano la luna per girare intorno alla terra.

I numeri perfetti sono presenti anche in natura, ad esempio nel polo settentrionale di Saturno, appare anche il numero perfetto 6, un vortice a forma di esagono trovato dalla sonda Cassini e che si è incuriosita dagli scienziati. 

Le api nido sono cellule in forma esagonale, vale a dire con 6 lati.  È dimostrato che il poligono con il numero perfetto 6 è quello che consente di massimizzare il numero di celle nell'alveare delle api, con la cera minima per la sua elaborazione.

figura 2. Il numero 6 perfetto è presente in api facili. È dimostrato che con questo numero di lati la quantità di cera da utilizzare per formare le cellule è minima. Fonte: Pixabay.

Proprietà dei numeri perfetti

La somma di tutti i divisori di un numero naturale n è indicata da σ (n). In un numero perfetto è vero che: σ (n) = 2n.

Formula euclide e criteri

Euclide ha scoperto una formula e un criterio che ti consente di trovare i numeri perfetti. Questa formula è:

2^(N-1) (2^N -1)

Tuttavia, il numero generato dalla formula sarà perfetto solo quando il fattore (2^N -1) Sii cugino.

Può servirti: componenti rettangolari di un vettore (con esercizi)

Vediamo come vengono generati i primi numeri perfetti:

Se n = 2 allora abbiamo 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6 che abbiamo già visto che è perfetto.

Quando n = 3 hai 2² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28 che è anche perfetto in quanto è verificato in dettaglio nell'esempio 1.

Vediamo cosa succede con n = 4. Sostituendo nella formula Euclide: abbiamo:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Si può verificare che questo numero non è perfetto, come mostrato in dettaglio nell'esempio 3. Ciò non contraddice i criteri euclidi, poiché 15 non è un cugino, un requisito necessario affinché il risultato sia un numero perfetto.

Vediamo cosa succede quando n = 5. Applicazione della formula che abbiamo:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Poiché 31 è un numero primo, quindi il numero 496 deve essere perfetto, secondo i criteri euclidi. Nell'esempio 4 è mostrato in dettaglio che è effettivamente.

I numeri primi che hanno il modulo 2^P - 1 Si chiamano cugini di Mersenne, in onore del monaco Marin Mersenne, che ha studiato i numeri primi e il numero perfetto nel diciassettesimo secolo.

Successivamente nel XVIII secolo Leonhard Euler mostrò che tutto il numero perfetto generato dalla formula euclide è coppia.

Ad oggi, è stato trovato un perfetto che è strano.

Il numero più grande perfetto noto

Alla data corrente 51 sono noti numeri perfetti, tutti generati dai criteri di formula ed euclide. Questo numero è stato ottenuto una volta trovato il cugino di Mersenne, che è: (2^82589933 - 1).

Il numero perfetto #51 è (2^82589933) X (2^82589933 - 1) e ha 49724095 digitos.

Un numero perfetto è amico di te stesso

Nella teoria dei numeri si dice che due numeri siano amici quando la somma dei divisori di uno, non includendo il numero stesso, è uguale all'altro numero e viceversa.

Può servirti: segmento di linea e semi -river

Il lettore può verificare che la somma dei divisori di 220, esclusi il 220, sia 284. D'altra parte, la somma dei divisori di 284, esclusi 284, è pari a 220. Pertanto i numeri coppie 220 e 284 sono amici.

Da questo punto di vista, un numero perfetto è amico di te stesso.

Esempi di numeri perfetti

Successivamente, sono elencati i primi otto numeri perfetti:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Esercizi

Nei seguenti esercizi sarà necessario calcolare i divisori di un numero, quindi farne la somma e verificare se il numero è un numero perfetto o no.

Pertanto, prima di affrontare gli esercizi, esamineremo il concetto e mostreremo come vengono calcolati.

Per cominciare, devi ricordare che i numeri possono essere cugini (quando possono essere suddivisi in esatto con se stessi e 1) o composti (quando possono decomporsi come prodotto dei numeri primi).

Per un numero composto n che hai:

N = a^N . B^M. C^P … R^K 

Dove a, b, c ... r sono numeri primi e n, m, p ... k sono esponenti appartenenti a numeri naturali, che possono valere da 1 in poi.

In termini di questi esponenti, c'è una formula per sapere quanti divisori ha il numero n, sebbene non ci dica cosa siano questi. Sia C questo importo, quindi:

C = (N +1) (M +1) (P +1) ... (K +1)

La decomposizione del numero N come prodotto dei numeri primi e la conoscenza di quanti divisori hanno, sia cugini che non cousini, ci aiuterà a determinare cosa sono questi divisori.

Una volta che tutti lo hanno fatto, tranne l'ultimo che non è richiesto nella somma, può essere verificato se si tratta di un numero perfetto o meno.

- Esercizio 1

Verificare che il numero 28 sia perfetto.

Soluzione

Il primo sarà decomporre il numero nei suoi principali fattori.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

I suoi divisori sono: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Se escludiamo il 28, la somma dei divisori dà:

Può servirti: metà di 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Pertanto il 28 è un numero perfetto.

Inoltre, la somma di tutti i suoi divisori è 28 + 28, quindi la regola σ (28) = 2 x 28.

- Esercizio 2

Decidere se il numero 38 è perfetto o meno.

Soluzione

Il numero è suddiviso nei suoi principali fattori:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

I divisori di 39 senza includere il numero stesso sono: 1, 3 e 13. Somma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 non è uguale a 39, quindi 39 è un numero imperfetto o non perfezione. 

- Esercizio 3

Scopri se il numero 120 è perfetto o imperfetto.

Soluzione

Il numero è suddiviso nei suoi principali fattori:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Dai principali fattori, si trovano i divisori:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120

Se 120 erano perfetti quando si aggiunge tutti i suoi divisori, doveva essere ottenuto 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Questo risultato è chiaramente diverso da 240, quindi si è concluso che il numero 120 non è un numero perfetto.

- Esercizio 4

Verificare che il numero 496, ottenuto dai criteri euclidi, sia un numero perfetto.

Soluzione

Il numero 496 è suddiviso nei suoi principali fattori:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Allora i loro divisori sono:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Ora vengono aggiunti tutti, tranne 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Confermando che è davvero un numero perfetto.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Tutto sui numeri primi. Numeri di amici. Recuperato da: infermiera.org.
3. Wolfram Mathworld. Regola di Eulero. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wolfram Mathworld. Numero perfetto. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.
5. Wikipedia. Numeri perfetti. Recuperato da: in.Wikipedia.org.
6. Wikipedia. Numeri di amici. Recuperato da: è.Wikipedia.org.