Concetto di numeri negativi, esempi, operazioni

IL Numeri negativi Sono quelli a sinistra della linea numerica, sempre preceduti da un segno -. Attraverso negativi è possibile rappresentare quantità che sono al di sotto oa sinistra di 0.

Questi numeri partecipano attivamente alla vita di tutti i giorni: ad esempio se qualcuno ha un debito di $ 5, ma possono pagare solo $ 3, deve $ 2. Il debito è indicato con un segno negativo per distinguerlo dalla somma pagata.

Figura 1. Schema di numeri negativi e positivi

Posizioni a basso livello del mare, temperature al di sotto del punto di congelamento dell'acqua e dei pavimenti inferiori al livello della strada possono essere indicate da numeri negativi.

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Per cosa sono numeri negativi?

L'esistenza dei negativi estende le possibili operazioni numeriche. Mettiamo l'esempio della sottrazione di due numeri. Se questi numeri appartengono agli indigeni 1, 2, 3, 4, 5 ... la sottrazione ha senso solo se viene fatto sottraendo un altro numero in meno di lui.

Il risultato dell'operazione 10 - 7 = 3 è ragionevole, poiché in linea di principio non possiamo togliere una quantità in più di quanto rappresenti.

Tuttavia, con i negativi quest'altra situazione sarebbe descritta bene: vogliamo acquistare qualcosa che vale $ 20, ma abbiamo solo $ 15 e abbiamo richiesto $ 5 ad un amico. Il debito, come abbiamo detto, è contrassegnato da un segno negativo e quindi 15 - 20 = -5, che viene letto come "meno 5".

L'insieme di numeri interi negativi collegati a quello degli indigeni e 0, costituisce il set più ampio di numeri interi z.

Ma i negativi possono anche essere frazionari o decimali e appartenere a un set ancora più ampio: quello dei numeri R reali, che include razionali e irrazionali.

Con tutti loro, vengono eseguite operazioni aritmetiche note, prendendosi cura del funzionamento a seguito di semplici regole di segni che sono spiegate di seguito.

Operazioni con numeri negativi

Prima di eseguire operazioni con numeri negativi, è necessario stabilire alcune semplici regole per gestire il segno (-) che devono essere sempre messe prima e l'ordine dei numeri.

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Considera la riga numerica mostrata nella figura, con i negativi a sinistra di 0 e quelli positivi a destra.

figura 2. La linea numerica con gli aspetti negativi in ​​rosso. Fonte: Wikimedia Commons.

Le frecce della linea numerica in entrambe le direzioni indicano che ci sono numeri infiniti. Osservare anche che l'insieme numerico di numeri interi è un set ordinato e qualsiasi numero negativo è inferiore a 0 e che qualsiasi positivo.

Pertanto, -4 è inferiore a 1 e -540 è inferiore a 84, per esempio.

Valore assoluto

La distanza tra qualsiasi numero e 0 è chiamata valore assoluto. Questa distanza è sempre positiva e indica le barre verticali, in questo modo:

│-5│ = 5

│+√6│ = √6

│-3/4│ = 3/4

│-10.2│ = 10.2

Cioè, il valore assoluto di qualsiasi numero, positivo o negativo è il numero positivo del numero. Questo concetto ci servirà più tardi quando operemo con numeri negativi.

Cartello

Un altro dettaglio molto importante è la distinzione tra il segno del numero e il segno dell'operazione.

Quando un numero è positivo, il numero del numero viene generalmente omesso e si capisce che è comunque positivo, ma con gli aspetti negativi che non è possibile, quindi è necessario usare tra parentesi, vediamo:

-Corretto: 17 - (-6) o anche +17 - (-6)

-Errato: 17 - -6

-Errato: -5 + +7

-Corretto: - 5 + (+7) o anche -5 + 7

Una volta che i concetti di valore assoluto, ordine e importanza del segno negativo sono chiari, possiamo passare alle operazioni elementari.

Aggiunta

Distinguiamo i seguenti casi, a partire dalla somma di due positivi, la cui procedura è già molto familiare:

-Aggiungi due numeri positivi: ( + a) + ( + b) = a + b

Ciò significa che aggiungiamo come al solito, vediamo:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

-Aggiungi due numeri negativi: (-a) + (-b) =-(a + b)

In questo caso aggiungiamo i valori assoluti dei numeri e al risultato viene messo un segno negativo in precedenza, in questo modo:

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(-7) + (-11) = - (7+ 11) = - 18

-Aggiungi un negativo e un positivo: ( + a) + (-b)

Per questa operazione, i valori assoluti vengono sottratti e il risultato trasporta il segno del numero con il valore assoluto più alto. Facciamo alcuni casi:

a) (-16) + (+3)

I rispettivi valori assoluti sono 16 e 3, il numero con il valore assoluto più alto è 16, il cui segno è negativo, quindi:

(-16) + (+3) = - (16 - 3) = -13

B) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

Anche la somma degli aspetti negativi è commutativa, il che significa che l'ordine negli annunci non è importante per il risultato.

Le regole precedenti si applicano se si desidera aggiungere più di due numeri, che possono essere fatti con la proprietà associativa: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C).

Prima di vedere un esempio in questo caso, vediamo prima la sottrazione di due numeri interi.

Sottrazione

La sottrazione è definita come la somma del contrario. L'opposto di un numero A è -a, come questo:

-4 è l'opposto di + 4

½ è l'opposto di --½

Se ci chiedono di eseguire la sottrazione di due numeri, indipendentemente dal segno, aggiungiamo semplicemente l'opposto del secondo:

a) (-53) -(+8) = (-53)+( -8) = -(53+8) = -61

B) (+7) - (-12) = (+7)+(+12) = 7+12 = 19

c) (+2) - (+π) = (+2)+( - π) = 2 - π

Esempio

Eseguire la seguente operazione (+4) + (-7) + (+19)

Lo riscriviamo in questo modo con l'aiuto di parentesi quadrate per indicare prima l'operazione da eseguire:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [-(4 -7)] + 19 = [-(-3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22

Moltiplicazione

La regola dei segni per la moltiplicazione è riassunta nella figura seguente:

Figura 3. I segni regolano la moltiplicazione. Fonte: f. Zapata.

Proprietà di moltiplicazione

-Commutività: L'ordine dei fattori non altera il prodotto, quindi ≠ = b.Dove a e b sono numeri negativi, interi o frazionari.

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-Associatività: Lascia che A, B e C numeri interi, è soddisfatto (a.B). C = a. (B.C)

-Distributività per quanto riguarda la somma: Lascia che A, B e C numeri interi, è valido. (b+c) = a.B +A.C

Esempio

(-3/2) x [(-5) + (+4)-( + 2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6)/2 = 9/2

Anche l'operazione tra parentesi quadrate avrebbe potuto essere risolta e il risultato moltiplicato per (-3/2), come questo:

(-3/2) x [-5 + 4-2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Divisione

La regola dei segni per la divisione è esposta nella seguente figura:

Figura 4. I segni regolano la divisione. Fonte: f. Zapata.

La divisione non è commutativa e di solito a ÷ b ≠ B ÷ a, non consentito la divisione tra 0. Diamo un'occhiata a un esempio:

(-54) ÷ (+3) = -18

Per ottenere questo risultato, il quoziente viene semplicemente eseguito e il segno viene scelto secondo la tabella mostrata nella figura, che corrisponde alla terza opzione verso il basso.

Potenziamento

Il potenziamento è il funzionamento della forma a^N, Dov'è la base e n è l'esponente. La base e l'esponente possono avere qualsiasi segno.

-Se la base è negativa o positiva e l'esponente è intero, il risultato dell'operazione è sempre positivo.

-Quando la base è positiva e l'esponente è interamente il risultato è positivo.

-E se la base è negativa e l'esponente è dispari, il risultato è negativo.

Gli esponenti frazionari saranno espressi alternativamente come radice, ad esempio una radice quadrata equivalente all'esponente frazionario ½, una radice cubica è uguale all'esponente 1/3 e così via.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

a) (-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 ^-1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) ^1/3 = radice cubica di 8 = 2

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 7 °. Grado. Edizioni co-bo.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. La matematica è divertente. Come aggiungere e sottrarre positiv e numeri negativi. Recuperato da: Mathisfun.com
5. Wikipedia. Numeri negativi. Recuperato da: è.Wikipedia.org.