Storia dei numeri irrazionali, proprietà, classificazione, esempi

IL numeri irrazionali Sono quelli la cui espressione decimale ha figure infinite senza un modello ripetitivo, quindi non possono essere ottenuti rendendo il quoziente tra due numeri interi.

Tra i numeri irrazionali più noti ci sono:

Figura 1. Dall'alto verso il basso i seguenti numeri irrazionali: pi, il numero di eulero, l'Aúrea e due radici quadrate. Fonte: Pixabay.

Tra questi, senza dubbio π (pi) è il più familiare, ma ce ne sono molti altri. Tutti appartengono all'insieme di numeri reali, che è l'insieme numerico che riunisce numeri razionali e irrazionali.

I punti sospesivi nella Figura 1 indicano che i decimali seguono indefinitamente, ciò che accade è che lo spazio degli attuali calcolatori consente solo di mostrare alcuni.

Se guardiamo attentamente, a condizione che creiamo il quoziente tra due numeri interi, si ottiene un decimale con figure limitate o in caso contrario, con figure infinite in cui una o più vengono ripetute. Bene, questo non accade con numeri irrazionali.

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Storia dei numeri irrazionali

Il grande matematico dell'antichità Pitagora, nato nel 582 a.C in Samos, in Grecia, ha fondato la scuola di pensiero pitagorica e ha scoperto il famoso teorema che porta il suo nome. Lo abbiamo a sinistra (i babilonesi potrebbero già conoscerlo molto prima).

figura 2. Teorema di Pitagora applicato a un triangolo di lati pari a 1. Fonte: Pixabay/Wikimedia Commons.

Bene, quando Pytagora (o probabilmente un suo discepolo) applicò il teorema a un triangolo destro di lati pari a 1, trovò il numero irrazionale √2.

Può servirti: linee di asciugatura

Lo ha fatto in questo modo:

C = √1² + 1² = √1+1 = √2

E si rese immediatamente conto che questo nuovo numero non proveniva dal quoziente tra altri due numeri naturali, che erano quelli che erano conosciuti in quel momento.

Quindi lo ha chiamato irrazionale, E la scoperta ha causato grande ansia e confusione tra i pitagorici.

Proprietà dei numeri irrazionali

-L'insieme di tutti i numeri irrazionali è indicato con la lettera I e talvolta come Q* o Q^C. L'unione tra i numeri irrazionali I o Q* e i numeri razionali Q, dà origine all'insieme di n numeri reali.

-Con numeri irrazionali, è possibile eseguire operazioni aritmetiche note: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento e altro ancora.

-La divisione tra 0 non è definita tra i numeri irrazionali.

-La somma e il prodotto tra i numeri irrazionali non sono necessariamente un altro numero irrazionale. Per esempio:

√2 x √8 = √16 = 4

E 4 non è un numero irrazionale.

-Tuttavia, la somma di un numero razionale più uno irrazionale provoca un'irrazionale. Da questa parte:

1 + √2 = 2.41421356237 ..

-Anche il prodotto di un numero razionale diverso da 0 per un numero irrazionale è irrazionale. Diamo un'occhiata a questo esempio:

2 x √2 = 2.828427125 ..

-L'inverso di un irrazionale si traduce in un altro numero irrazionale. Proviamo alcuni:

1 / √2 = 0.707106781 ..

1 / √3 = 0.577350269 ..

Questi numeri sono interessanti perché sono anche i valori di alcune ragioni trigonometriche degli angoli noti. Gran parte delle ragioni trigonometriche sono numeri irrazionali, ma ci sono eccezioni, come Sen 30º = 0.5 = ½, che è razionale.

-Nella somma, le proprietà commutative e associative sono soddisfatte. Se A e B sono due numeri irrazionali, questo significa che:

Può servirti: Funzione di overiezione: Definizione, Proprietà, Esempi

A + b = b + a.

E se C è un altro numero irrazionale, allora:

(A + B) + C = A + (B + C).

-La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma è un'altra proprietà nota che viene anche soddisfatta per numeri irrazionali. In questo caso:

A.(b+c) = a.B + A.C.

-Un irrazionale ha il suo contrario: -a. Quando viene aggiunto il risultato è 0:

A+(-a) = 0

-Tra due diversi razionali, c'è almeno un numero irrazionale.

Posizione di un numero irrazionale sulla linea reale

La linea reale è una linea orizzontale in cui si trovano i numeri reali, di cui l'irrazionale sono una parte importante.

Per trovare un numero irrazionale sulla linea reale, in forma geometrica, possiamo valere il teorema di Pitagora, una regola e una bussola.

Ad esempio, troveremo √5 sulla linea reale, per il quale disegniamo un triangolo rettangolare dei lati x = 2 E y = 1, Come mostra l'immagine:

Figura 3. Metodo per localizzare un numero irrazionale sulla linea reale. Fonte: f. Zapata.

Per il teorema di Pitagora, l'ipotenusa di un tale triangolo è:

C = √2² + 1² = √4+1 = √5

Ora il ritmo con la punta è posizionato in 0, dove c'è anche uno dei vertici del triangolo destro. La punta della matita della bussola deve essere al vertice.

Viene disegnato un arco di circonferenza che taglia la linea reale. Poiché la distanza tra il centro della circonferenza e qualsiasi punto dello stesso è il raggio, che vale √5, anche il punto di intersezione è √5 dal centro.

Del grafico si vede che √5 è tra 2 e 2.5. Un calcolatore ci offre il valore approssimativo di:

Può servirti: coefficiente di determinazione: formule, calcolo, interpretazione, esempi

√5 = 2.236068

E così, costruendo un triangolo con i lati appropriati, possono essere individuati altri irrazionali, come √7 e altri.

Classificazione dei numeri irrazionali

I numeri irrazionali sono classificati in due gruppi:

-Algebrico

-Trascendente o trascendentale

Numeri algebrici

I numeri algebrici, che possono essere irrazionali o no, sono soluzioni di equazioni polinomiali la cui forma generale è:

A_N X^N + A_N-1X^N-1 + A_N-2X^N-2 +.. . +A₁x + a_O = 0

Un esempio di equazione polinomiale è un'equazione di secondo grado come questa:

X³ - 2x = 0

È facile dimostrare che il numero irrazionale √2 è una delle soluzioni di questa equazione.

Numeri trascendenti

Invece, i numeri trascendenti, sebbene irrazionali, non sono mai sorti come soluzione di un'equazione polinomiale.

I numeri trascendenti trovati più frequentemente nella matematica applicata sono π, per la loro relazione con la circonferenza e il numero E, o il numero di eulero, che è la base dei logaritmi neperiani.

Esercizio

Su un quadrato nero un grigio viene posizionato nella posizione indicata nella figura. È noto che la superficie del quadrato nero è di 64 cm². Quanto sono le lunghezze di entrambi i quadrati?

Figura 4. Due quadrati, di cui si trova la lunghezza dei lati. Fonte: f. Zapata.

Risposta

La superficie di un quadrato di lato L è:

A = l²

Poiché il quadrato nero è di 64 cm² dell'area, il suo lato deve essere di 8 cm.

Questa misura è la stessa di La diagonale della piazza grigia. Applicando il teorema di Pitagora a questa diagonale e ricordando che i lati di un quadrato misurano lo stesso, avremo:

8² = L_G² + L_G²

Dove l_G È il lato del quadrato grigio.

Pertanto: 2l_G² = 8²

Applicazione della radice quadrata su entrambi i lati dell'uguaglianza:

L_G = (8/√2) cm

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 9 °. Grado. Edizioni co-bo.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Portale educativo. Numeri irrazionali e le loro proprietà. Estratto da: portaleeductive.netto.
5. Wikipedia. Numeri irrazionali. Recuperato da: è.Wikipedia.org.