Amici o esempi amichevoli e come trovarli

IL Amici o numeri amichevoli Esistono due numeri naturali A e B la cui somma dei divisori di uno di essi (non include il numero) è uguale all'altro numero, e la somma dei divisori di questo altro (non include nemmeno) è uguale al primo problema.

Sono state trovate molte coppie di numeri che condividono questa proprietà curiosa. Non sono numeri troppo piccoli, i minori sono 220 e 284, scoperti diversi secoli fa. Quindi diamo loro come esempio di ciò che significa questa peculiare amicizia tra i numeri.

Figura 1. La coppia di amici 220 e 284 era già noto per secoli. Fonte: Pixabay.

I divisori di 220, esclusi 220, sono: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. D'altra parte, i divisori di 284, esclusi 284 sono: 1, 2, 4, 71 e 142.

Ora aggiungiamo i divisori del primo numero, che è 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Osserviamo che in effetti la somma è 284, il numero di numeri.

Quindi vengono aggiunti i divisori di 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

E si ottiene il primo membro della coppia.

Gli antichi matematici greci della scuola pitagorica, fondati da Pitagora (569-475 a.C.), L'autore del famoso teorema con lo stesso nome, è riuscito a scoprire questa particolare relazione tra questi due numeri, a cui sono state attribuite molte qualità mistiche.

Erano anche conosciuti dai matematici islamici del Medioevo, che sono riusciti a determinare una formula generale per trovare amici degli anni '80 della nostra era.

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Formula per trovare amici

Il matematico islamico Thabit Ibn Qurra (826-901) ha trovato un modo per generare alcuni numeri di amici. Sean P, Q E R Tre numeri primi, cioè numeri che ammettono solo a 1 e se stessi come divisori.

Dopo aver realizzato quanto segue:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2^N - 1

Può servirti: corollario (geometria)

R = 9.2^2n-1 - 1

Con N un numero maggiore di 1, quindi:

A = 2^NPQ e B = 2^NR 

Crea un paio di amici. Proveremo la formula per n = 2 e vedremo quali un paio di numeri di amici generano:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

COSÌ:

A = 2^NPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2^NR = 2². 71 = 284

La formula del matematico medievale.

Tuttavia, il teorema non funziona per tutti gli amici trovati finora, solo per n = 2, n = 4 e n = 7.

Secoli dopo, il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783) ha dedotto una nuova regola per trovare numeri amichevoli, basati su quello di Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Come sempre, i numeri P, Q e R sono cugini, ma ora ci sono due interi esponenti: M e N, di cui M deve soddisfare le seguenti condizioni:

1 ≤ m ≤ n-1

La coppia di amici è formata allo stesso modo:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

Se M = N-1 si ottiene di nuovo il teorema di Thabit, ma come nel caso del teorema del matematico islamico, non tutti i numeri amichevoli soddisfano la regola di Eulero. Tuttavia, con esso la quantità di numeri amichevoli noti fino ad allora è aumentata.

Ecco le prime coppie di esponenti (M, N) con cui trovare alcuni numeri amichevoli:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) e (29,40)

Più tardi, nella sezione dell'esercizio, troveremo il paio di numeri amichevoli che si forma grazie agli esponenti (3,4) della regola di Eulero.

Esempi di numeri di amici

-220 e 284

Può servirti: esperimento casuale: concetto, spazio campione, esempi

-1184 e 1210

-2620 e 2924

-5020 e 5564

-6232 e 6368

-10.744 e 10.856

-12.285 e 14.595

-17.296 e 18.416

Naturalmente, molte altre coppie di numeri amichevoli possono essere generate dal computer.

Come abbattere un numero e trovare i tuoi divisori

Vediamo ora come trovare i divisori di un numero, per confermare se sono amici. Secondo la definizione di numeri amichevoli, tutti i divisori di ciascun partecipante sono necessari per essere in grado di aggiungerli, tranne i numeri stessi.

Ora, i numeri naturali possono essere divisi in due gruppi: numeri primi e numeri composti.

I numeri Primo ammettono solo come divisori esatti a 1 e se stessi. E i numeri composti dalla loro parte, possono sempre essere espressi come il prodotto dei numeri primi e avere altri divisori, a parte 1 e di se stessi.

Un numero composto, come 220 o 284, può essere espresso in questo modo:

N = a^N . B^M. C^P… R^K

Dove a, b, c ... r sono numeri primi e n, m, p ... k sono esponenti appartenenti a numeri naturali, che possono valere da 1 in poi.

In termini di questi esponenti, c'è una formula per sapere quanti (ma non) i divisori hanno il numero n. Sia C questo importo:

C = (N +1) (M +1) (P +1) ... (K +1)

Una volta espresso il numero n in termini di prodotti per numeri primi e si sa quanti divisori hanno già gli strumenti per sapere quali sono i loro divisori, sia cugini che non cousin. Ed è necessario incontrarli tutti per verificare se sono amici, tranne l'ultimo, che è il numero stesso.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Trova tutti i divisori della coppia di amici 220 e 284.

Soluzione

Per prima cosa troveremo i divisori principali di 220, che è un numero composto:

Può servirti: stima puntuale

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

La decomposizione nei fattori primi di 220 è:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. undici

Pertanto n = 2, m = 1, p = 1 e possiede:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 Divisores

I primi divisori che sono avvertiti della decomposizione del numero sono: 1, 2, 4, 5 E undici. E lo sono anche loro 110 E 55.

5 di loro sarebbero scomparsi, che stanno realizzando prodotti tra cugini e le loro combinazioni: 2².5 = venti;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 e infine il 1 e il suo 220.

Viene seguita una procedura analoga per 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 divisori

Questi divisori sono: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, come affermato all'inizio.

figura 2. Con il metodo descritto queste coppie possono essere analizzate per verificare che siano numeri di amici. Fonte: f. Zapata.

- Esercizio 2

Controlla la formula Euler per n = 4 e m = 3 genera l'elenco dei numeri primi (p, q, r) = (23,47, 1151). Qual è il paio di amici formati con loro?

Soluzione

I numeri primi P, Q e R sono calcolati da:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Si ottiene la sostituzione dei valori di m = 3 e n = 4:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Ora la formula viene applicata per trovare il paio di numeri di amici A e B:

A = 2^NPQ 

B = 2^NR 

A = 2^NPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2^NR = 16. 1151 = 18.416

E in effetti, sono tra l'elenco delle prime coppie di numeri di amici che mostriamo in precedenza.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Tutto sui numeri primi. Numeri di amici. Recuperato da: infermiera.org.
3. Wolfram Mathworld. Regola di Eulero. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Numeri amichevoli. Recuperato da: in.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Numeri di amici. Recuperato da: è.Wikipedia.org.