Numero o numero di Eulero e quanto vale, proprietà, applicazioni

Lui Numero o numero Eulero E È una costante matematica ben nota che appare frequentemente in numerose applicazioni scientifiche ed economiche, insieme al numero π e ad altri numeri importanti in matematica.

Un calcolatore scientifico genera il seguente valore per il numero E:

Figura 1. Il numero di Euler appare spesso nella scienza. Fonte: f. Zapata.

E = 2.718281828 ..

Ma sono noti molti più decimali, per esempio:

E = 2.71828182845904523536…

E i computer moderni hanno permesso a decimale trilioni al numero E.

È un numero irrazionale, Ciò significa che ha una quantità infinita di decimali senza alcun modello ripetitivo (la sequenza 1828 appare due volte all'inizio e non si ripete più).

E significa anche che il numero E non può essere ottenuto come quoziente di due numeri interi.

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Storia

Il numero E Fu identificato dallo scienziato Jacques Bernoulli nel 1683 quando studiò il problema dell'interesse composto, ma in precedenza era apparso indirettamente nelle opere del matematico scozzese John Napier, che inventò i logaritmi per il 1618.

Tuttavia, fu Leonhard Euler nel 1727 a diede il nome del numero E e studiava intensamente le sue proprietà. Ecco perché è anche noto come il Numero Eulero e anche come base naturale per i logaritmi neperiani (un esponente) utilizzato.

Quanto vale il numero E?

Il numero e valle:

E = 2.71828182845904523536…

I punti sospesivi significano che esiste una quantità infinita di decimali e, in effetti, milioni di essi sono noti con i computer attuali.

Rappresentazioni del numero E

Esistono diversi modi per definire E che descriviamo di seguito:

Il numero E come limite

Uno dei vari modi in cui è espresso il numero E è quello che lo scienziato Bernoulli ha trovato nel suo lavoro sull'interesse composto:

In cui devi fare il valore N Un numero molto grande.

È facile da verificare, con l'aiuto di un calcolatore, che quando N È molto grande, l'espressione precedente tende al valore di E dato sopra.

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Ovviamente possiamo chiederci quanto sia grande N, Quindi ci proviamo con numeri rotondi, come questi, ad esempio:

n = 1000; 10.000 o 100.000

Nel primo caso si ottiene e = 2.7169239 .. . Nel secondo e = 2.7181459 ... e nel terzo è molto più vicino al valore di E: 2.7182682. Possiamo già apparire con n = 1.000.000 o più grandi, l'approccio sarà ancora migliore.

In lingua matematica, la procedura di realizzazione N Si avvicina e più a un valore molto grande, si chiama limite all'infinito Ed è indicato in questo modo:

Per indicare l'infinito, viene utilizzato il simbolo "∞".

Il numero E come somma

È anche possibile definire il numero E attraverso questa operazione:

Le cifre che compaiono nel denominatore: 1, 2, 6, 24, 120 ... corrispondono all'operazione N!, Dove:

N! = n. (N-1).(N-2). (N-3) ..

E per definizione 0! = 1.

È facile verificare che più aggiunte vengano aggiunte, maggiore è il numero raggiunto E.

Facciamo alcuni test con il calcolatore, aggiungendo sempre più aggiunte:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Più termini vengono aggiunti alla somma, più il risultato è simile a E.

I matematici hanno ideato una notazione compatta per queste somme che coinvolgono molti termini, usando il simbolo della somma σ:

Questa espressione viene letta come "somma di n = 0 all'infinito di 1 tra n fattoriale".

Il numero E dal punto di vista geometrico

Il numero E ha una rappresentazione grafica relativa all'area sotto il grafico della curva:

y = 1/x

Quando i valori di X sono compresi tra 1 ed E, quest'area vale 1, come illustrato nella figura seguente:

figura 2. Rappresentazione grafica del numero E: l'area sotto la curva 1/x, tra x = 1 e x = e o'lock. Fonte: f. Zapata.

Numero E Proprietà

Alcune delle proprietà del numero E sono:

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-È irrazionale, in altre parole, non può essere ottenuto semplicemente dividendo due numeri interi.

-Il numero E È anche un Numero trascendente, che significa che E Non è una soluzione di alcuna equazione polinomiale.

-È correlato ad altri quattro numeri famosi nel campo della matematica, vale a dire: π, i, 1 e 0, attraverso l'identità di Eulero:

E^πi + 1 = 0

-Le chiamate numeri complessi può essere espresso tramite E.

-Costituisce oggi la base dei logaritmi naturali o neperi (la definizione originale di John Napier differisce un po ').

-È l'unico numero tale che il suo logaritmo neperiano vale 1, cioè:

 ln e = 1

Applicazioni

Statistiche

Il numero E appare molto frequentemente nel campo della probabilità e delle statistiche, che appare in varie distribuzioni, come la normale o gaussiana, quella di Poisson e altri.

Ingegneria

In ingegneria è frequente, poiché la funzione esponenziale y = e^X È presente in meccanica e elettromagnetismo, per esempio. Tra le molte applicazioni che possiamo citare:

-Un cavo o una catena che pende soggetto alle estremità, adotta la forma della curva data da:

y = (e^X + E^-X) /2

-Un condensatore C inizialmente dimesso, che si collega in serie a una resistenza R e una sorgente di tensione V per il caricamento, acquisisce un determinato carico Q a seconda del tempo t indicato da:

Q (t) = cv (1-e^-T/rc)

biologia

La funzione esponenziale y = a.E^BX, Con costante A e B, viene utilizzato per modellare la crescita cellulare e la crescita batterica.

Fisico

Nella fisica nucleare, il decadimento radioattivo e la determinazione delle età sono modellati da radiocarbonio datato.

Economia

Nel calcolo dell'interesse composito, il numero E sorge in modo naturale.

Supponiamo di avere una certa somma di denaro P_O, per investirlo con un tasso di interesse annuale.

Se il denaro viene lasciato per 1 anno, dopo quel tempo avrai:

P (1 anno) = P_O + P_O.i = p_O (1+ i)

Dopo un altro anno senza toccarlo, avrai:

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P (2 anni) = P_O + P_O.I + (P_O + P_O .i) i = p_O +2 p_O.I + p_O.Yo²  = PO (1+i)²

E in questo modo da N anni:

P = p_O (1+i)^N

Ora ricorda una delle definizioni di E:

Sembra un po 'come l'espressione per p, quindi ci deve essere una relazione.

Distribuiremo il tasso di interesse nominale Yo In N Periodi di tempo, in questo modo il tasso di interesse composto sarà I/N:

P = p_O [1+ (I/N)]^N

Questa espressione sembra un po 'più sul nostro limite, ma non è ancora lo stesso.

Tuttavia, dopo alcune manipolazioni algebriche si può dimostrare che apportare questo cambio di variabile:

h = n/i → i = n/h

I nostri soldi P diventano:

P = p_O [1+ (1/H)]^CIAO = P_O [1+ (1/H)]^HYo

E ciò che è tra le chiavi, anche se è scritto con la lettera H, È uguale all'argomento del limite che definisce il numero E, mancando solo prendendo il limite.

Facciamo  H → ∞, e ciò che è tra le chiavi viene trasformato nel numero E. Ciò non significa che dobbiamo aspettare un momento infinitamente grande per ritirare i nostri soldi.

Se stiamo bene, quando facciamo H = n/i E tendendo a ∞, ciò che abbiamo realmente fatto è distribuire il tasso di interesse in periodi molto, molto piccoli: molto piccolo:

I = n/h

Questo è chiamato Capitalizzazione continua. In questo caso, la quantità di denaro viene facilmente calcolata come segue:

P = p_O .E^Yo

Dove sono il tasso di interesse annuale. Ad esempio, depositando da 12 al 9 % da € all'anno, attraverso una capitalizzazione continua, dopo un anno hai:

P = 12 x e^{0.09 × 1} € = 13.€ 13

Con un guadagno di 1.13 €.

Riferimenti

1. Goditi la matematica. Interesse composto: composizione periodica. Recuperato da: divertimento.com.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni co-bo.
3. Garcia, m. Il numero E nel calcolo elementare. Recuperato da: matematica.Ciens.Ucv.andare.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.