Angoli nei tipi di circonferenza, proprietà, esercizi risolti

Chiamato Angoli di circonferenza a quelli in cui uno dei suoi elementi è o si interseca in una determinata circonferenza. Tra questi ci sono i seguenti:

1.- Lui Angolo centrale, il cui vertice è al centro della circonferenza e i suoi lati si asciugano, come vediamo nella seguente immagine:

Figura 1. I tipi di angoli nella circonferenza sono: centrale, iscrizione, esterno e interno. Fonte: f. Zapata.

2.- Lui Angolo registrato, il cui vertice è sulla circonferenza e i suoi lati sono asciutti o tangenti alla circonferenza.

3.- Angolo esterno, il cui vertice è fuori dalla circonferenza ma i suoi lati sono asciutti o tangenti alla circonferenza.

4.- Lui Angolo interno, con il vertice all'interno della circonferenza e i suoi lati asciutti allo stesso.

Tutti questi angoli mantengono alcune relazioni reciproche e questo ci porta a importanti proprietà tra gli angoli appartenenti a una determinata circonferenza.

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Proprietà

- Angolo centrale

L'angolo centrale è definito come quello il cui vertice è al centro della circonferenza e i suoi lati tagliati nella circonferenza.

La misura dei radianti di un angolo centrale è il quoziente tra l'arco che sottende, cioè l'arco della circonferenza tra i lati dell'angolo e il raggio della circonferenza. 

Se la circonferenza è unitaria, cioè il raggio 1, allora la misura dell'angolo centrale è la lunghezza dell'arco, che corrisponde al numero di radianti.

Se si desidera la misura dell'angolo centrale in gradi, la misura viene moltiplicata nei radianti per fattore 180º/π.

Gli strumenti di misurazione degli angoli, come il trasportatore e il goniometro, usano sempre un angolo centrale e la lunghezza dell'arco sotteso.

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Sono calibrati in gradi sessamesimale, il che significa che ogni volta che viene misurato un angolo, nella parte posteriore ciò che viene misurato è la lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo centrale.

Proprietà

La misura di un angolo centrale nei radianti è uguale alla lunghezza dell'arco che sottolinea o intercetta divise per la lunghezza del raggio.

figura 2. Sono mostrati tre angoli centrali. Un acuto, l'altro ottuso e un appartamento. Fonte: f. Zapata.

- Angolo registrato

L'angolo registrato di una circonferenza è quello che ha il suo vertice sulla circonferenza e la sua semi -stretta è asciutta o tangente allo stesso. 

Le sue proprietà sono:

Proprietà

-L'angolo registrato è convesso o piatto.

-Quando un angolo inscritto intercetta lo stesso arco dell'angolo centrale, la misura del primo sarà la metà di quella del secondo.

Figura 3. Angolo registrato ∠abc e angolo centrale ∠aoc che subite lo stesso arco a⌒c. Fonte: f. Zapata.

La Figura 3 mostra due angoli ∠ABC e ∠AOC che intercettano la stessa circonferenza arc a⌒c.

Se la misura dell'angolo registrato è α, allora la misura β dell'angolo centrale è il doppio della misura dell'angolo registrato (β = 2 α) perché entrambi sottraggono lo stesso arco misurato.

- Angolo esterno

È l'angolo il cui vertice si trova fuori dalla circonferenza e ciascuno dei suoi lati si taglia alla circonferenza in uno o più punti.

Proprietà

-La sua misura è uguale al semi -espresso (o differenza divisa per 2) degli angoli centrali che intercettano gli archi stessi.

Per garantire che la misura sia positiva, il semi -espresso dovrebbe essere sempre l'angolo centrale della più grande misura meno la misura dell'angolo centrale inferiore, come illustrato nella figura seguente.

Figura 4. L'angolo esterno α è uguale alla semi -referenza dei centrali che sottopongono gli stessi archi. Fonte: f. Zapata.

- Angolo interno

L'angolo interno è quello il cui vertice è all'interno della circonferenza e i suoi lati tagliati alla circonferenza.

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Proprietà 

La sua misura è uguale al semi -cotta dell'angolo centrale che sottovaluta lo stesso arco, più l'angolo centrale che sottolinea lo stesso arco dell'angolo di estensione (questo è l'angolo interno formato dal semi -Straight complementare a quelli dell'originale angolo interno).

La figura seguente illustra e chiarisce la proprietà dell'angolo interno.

Figura 5. L'angolo interno α è uguale al semi -seismo degli angoli centrali che sottopongono gli stessi archi di lui stesso. Fonte: f. Zapata.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Supponiamo che un angolo inscritto in cui uno dei suoi lati passa attraverso il centro della circonferenza, come mostrato nella Figura 6. Il raggio della circonferenza è OA = 3 cm e l'arco d ha una lunghezza di π/2 cm. Determinare il valore degli angoli α e β.

Figura 6. Angolo registrato ∠ABC con il lato [BA) attraverso O e angolo centrale ∠AOC.Fonte: f. Zapata.

Soluzione

In questo caso, si forma il triange isoscele di pannocchia, poiché [OC] = [OB]. In un triangolo isoscele gli angoli adiacenti alla base sono gli stessi, quindi devono ∠bco = ∠abc = α. D'altra parte ∠Cob = 180º - β. Considerando la somma degli angoli interni del triangolo di pannocchia che hai:

α + α + (180º - β) = 180º

Da dove segue che 2 α = β o ciò che è equivalente α = β/2, che conferma la proprietà (3) della sezione precedente, che la misura dell'angolo registrato è la metà dell'angolo centrale, quando entrambi gli angoli si sottraggono la stessa corda [AC].

Ora continuiamo a determinare i valori numerici: l'angolo β è centrale e la sua misura nei radianti è il rapporto tra l'arco d e il raggio r = oa, quindi la sua misura è:

β = d / r = (π / 2 cm) / (3 cm) = π / 6 rad = 30º.

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D'altra parte era già stato affermato che α = β / 2 = (π / 6 rad) / 2 = π / 12 rad = 15º. 

- Esercizio 2

Nella Figura 7 gli angoli α₁ e β₂ avere la stessa misura. Inoltre l'angolo β₁ Misura 60º. Determina gli angoli β e α.

Figura 7. In Figura α₁ = β₂ e β₁ = 60º. Determinare i valori di β e α. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

In questo caso c'è un angolo inscritto ∠abc in cui il centro o la circonferenza si trovano all'interno dell'angolo.

A causa della proprietà (3) hai α₂ = β₂ /2 e α₁ = β₁ /2. COME:

α = α₁ + α₂ e β = β₁ + β₂

Hai quindi:

α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

Cioè, secondo le proprietà:

α = β / 2

Come ci viene detto che β₁ = 60º quindi:

α₁ = β₁ / 2 = 60º / 2 = 30º.

Ci dicono anche che α₁ = β₂ Quindi ne consegue:

β₂ = 30º.

L'angolo β è:

β₁ + β₂ = 60º + 30º = 90º.

E come α = β / 2, quindi:

α = 90º / 2 = 45º. 

Insomma:

β = 90º e α = 45º.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1973. Geometria e trigonometria. Editoriale culturale centroamericano.
2. E. A. 2003. Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
3. Geometria 1st. Angoli nella circonferenza. Recuperato da: edu.Xunta.È.
4. Tutta la scienza. Esercizi risolti di angoli nella circonferenza. Recuperato da: Francesphysics.Blogspot.com
5. Wikipedia. Angolo registrato. Recuperato da: è.Wikipedia.com