Angolo registrato di una definizione del cerchio, teoremi, esempi

Lui Angolo registrato di un cerchio È quello che ha il suo vertice sulla circonferenza e la sua semi -stretta è asciutta o tangente allo stesso. Di conseguenza, l'angolo registrato sarà sempre convesso o piatto.

Nella Figura 1 sono rappresentati diversi angoli registrati nelle rispettive circonferenze. L'angolo ∠edf è registrato avendo il suo vertice d sulla circonferenza e i suoi due semi -rarenger [di) e [df) asciugando la circonferenza. 

Figura 1. Diversi angoli inscritti sulle loro rispettive circonferenze. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Allo stesso modo, l'angolo ∠hgi è registrato, per avere il suo vertice nella circonferenza e i suoi lati secchi allo stesso.

Gli angoli ∠kjr e ∠ust sono anche registrati con la circonferenza. Il primo ha un lato secante e l'altra tangente, mentre il secondo ha i suoi due lati tangenti alla circonferenza, formando un angolo piano piatto (180º).

Alcuni autori chiamano un angolo semi-iscritto a colui che ha una delle sue parti tangente alla circonferenza, ma in questo articolo è considerato registrato.

Qualsiasi angolo registrato definisce o sottende un arco associato allo stesso. Ad esempio nella Figura 2 l'angolo registrato ∠abc sotterrane l'arc a⌒c di lunghezza d.

La stessa figura mostra l'angolo ∠doe, che non è registrato nella circonferenza per non avere il suo vertice sulla sua circonferenza, ma al centro o.

figura 2. Angolo registrato ∠ABC e angolo centrale ∠doe. Fonte: f. Zapata con geogebra.

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Angolo centrale

Oltre all'angolo registrato, il Angolo centrale, che è quello il cui vertice è al centro della circonferenza e i cui lati tagliano alla circonferenza.

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La misura dei radianti di un angolo centrale è il quoziente tra l'arco che sottende, cioè l'arco della circonferenza tra i lati dell'angolo e il raggio della circonferenza.

Se la circonferenza è unitaria (raggio 1), allora la lunghezza dell'arco nelle stesse unità radio è la misura dell'angolo nei radianti.

E quando la misura dell'angolo è richiesta in gradi, la misura viene moltiplicata nei radianti per fattore 180º/π.

Gli strumenti di misurazione degli angoli usano sempre un angolo centrale e la lunghezza dell'arco sottesa da questo calibrato direttamente in gradi. Ciò significa che ogni volta che viene misurato un angolo, sullo sfondo ciò che viene misurato è la lunghezza dell'arco sottesa dall'angolo centrale.

Figura 3. Diversi angoli centrali della circonferenza. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Teoremi

- Teorema 1 (angolo registrato e angolo centrale)

La misura di un angolo registrato è la metà della misura dell'angolo centrale, se entrambi gli angoli subiscono lo stesso arco.

Figura 4. Angolo registrato ∠abc e angolo centrale ∠aoc che subite lo stesso arco a⌒c. Fonte: f. Zapata con geogebra.

La Figura 4 mostra due angoli ∠ABC e ∠AOC, che intersecano la stessa circonferenza arc a⌒c.

Se la misura dell'angolo registrato è α, allora la misura β dell'angolo centrale è il doppio della misura dell'angolo registrato (β = 2 α) perché entrambi sottraggono lo stesso arco misurato.

Dimostrazione 1

Per dimostrare il teorema 1, inizieranno diversi casi particolari, fino a raggiungere il caso generale.

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Supponiamo che un angolo registrato, in cui uno dei suoi lati passa attraverso il centro della circonferenza, come mostrato nella Figura 5.

Figura 5. Angolo registrato ∠ABC con il lato [BA) attraverso O e angolo centrale ∠AOC. Fonte: f. Zapata con geogebra.

In questo caso, si forma il triange isoscele di pannocchia, poiché [OC] = [OB].

In un triangolo isoscele, gli angoli adiacenti alla base sono gli stessi, quindi devono ∠bco = ∠abc = α. D'altra parte ∠Cob = 180º - β.

Considerando la somma degli angoli interni del triangolo di pannocchia che hai:

α + α + (180º - β) = 180º

Dove segue che 2 α = β o ciò che è equivalente: α = β/2. Ciò coincide con ciò che teorema 1 afferma: la misura dell'angolo registrato è la metà dell'angolo centrale, se entrambi gli angoli presentano la stessa corda [AC].

Dimostrazione 1B

Figura 6. Costruzione ausiliaria per dimostrare che α = β/2. Fonte: f. Zapata con geogebra.

In questo caso c'è un angolo inscritto ∠abc, in cui il centro o la circonferenza si trova all'interno dell'angolo.

Per dimostrare il teorema 1 in questo caso, viene disegnato il semi -diritto ausiliario [BO), in modo che ci siano due angoli registrati ∠abo e ∠obc adiacenti a detto semi -rareo.

Allo stesso modo hanno gli angoli centrali β₁ e β₂ adiacente a detto semi -increazione. In questo modo hai la stessa situazione della dimostrazione 1, quindi si può affermare che α₂ = β₂ /2 e α₁ = β₁ /2. Come α = α₁ + α₂ e β = β₁ + β₂ C'è quindi che α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

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In conclusione α = β / 2, che soddisfa il teorema 1.

- Teorema 2

Se due o più angoli registrati si sottopongono allo stesso arco, allora hanno la stessa misura.

Figura 7. Angoli registrati di uguale misura α, perché sottopongono lo stesso arco a⌒c. Fonte: f. Zapata con geogebra.

- Teorema 3

I sottotitoli angoli registrati ci sono stringhe della stessa misura sono le stesse.

Figura 8. Gli angoli inscritti che subuso le corde di uguale misura, hanno uguale misura β. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Esempi

- Esempio 1

Dimostrare che le sottotite angolo inscritte il diametro è un angolo retto.

Soluzione

L'angolo centrale ∠aob associato al diametro è un angolo piatto, la cui misura è 180º.

Secondo il Teorema 1, qualsiasi angolo registrato nella circonferenza che sottesta la stessa corda (in questo caso il diametro), ha come misura la metà dell'angolo centrale che subita la stessa corda, che per il nostro esempio è 180º/2 = 90º.

Figura 9. Qualsiasi angolo registrato che sotterraggio al diametro è un angolo retto. Fonte: f. Zapata con geogebra.

- Esempio 2

La tangente della linea (bc) in una a una circonferenza C, determina l'angolo inscritto ∠BAC (vedi Figura 10).

Verificare che il teorema 1 degli angoli registrati.

Figura 10. Angolo registrato BAC e il suo angolo centrale convesso AOA. Fonte: f. Zapata con geogebra.

Soluzione

L'angolo ∠BAC è registrato perché il suo vertice è sulla circonferenza e i suoi lati [AB) e [AC) sono tangenti alla circonferenza, quindi la definizione di angolo inscritto è soddisfatta.

D'altra parte, l'angolo inscritto ∠BAC sottende l'arco A⌒A, che è la circonferenza completa. L'angolo centrale che sotterisce l'arco A⌒a è un angolo convesso la cui misura è l'intero angolo (360º).

Le sottotite angoli registrate La piena arco misura la metà dell'angolo centrale associato, cioè ∠bac = 360º/2 = 180º.

Con tutto quanto sopra è dimostrato che questo caso particolare soddisfa il teorema 1.

Riferimenti

1. Baldor. (1973). Geometria e trigonometria. Editoriale culturale centroamericano.
2. E. A. (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
3. Geometria 1st. Angoli nella circonferenza. Recuperato da: edu.Xunta.È/
4. Tutta la scienza. Esercizi proposti di angoli nella circonferenza. Recuperato da: Francesphysics.Blogspot.com
5. Wikipedia. Angolo registrato. Recuperato da: è.Wikipedia.com