Metodo Eulero per quello che è l'uso della procedura ed esercizi

Lui Metodo Eulero È il più semplice e semplice delle procedure utilizzate per trovare soluzioni numeriche approssimative, a un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine, a condizione che la sua condizione iniziale sia nota.

Un'equazione differenziale ordinaria (EDO) è l'equazione che mette in relazione una funzione sconosciuta di una singola variabile indipendente con i suoi derivati.

Approcci successivi con il metodo di Euler. Fonte: Oleg Alexandrov [dominio pubblico]

Se il più grande derivato che appare nell'equazione è di grado uno, allora è un'equazione differenziale ordinaria di primo grado.

Il modo più generale di scrivere un'equazione di primo grado è:

Con la condizione iniziale:

x = x₀

y = y₀

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Qual è il metodo di Euler?

L'idea del metodo Eulero è quella di trovare una soluzione numerica all'equazione differenziale nell'intervallo tra x₀ e x_F .

Innanzitutto, l'intervallo nei punti N+1 non è d'accordo:

X₀, X₁, X₂, X₃…, X_N

Che sono ottenuti in questo modo:
X_Yo= x₀+Ih

Dove h è la larghezza o il passo dei sottointervalli:

Maggiore è il numero N Il risultato sarà più preciso, ma sarà necessario un numero maggiore di punti per coprire l'intervallo in cui stiamo cercando la soluzione e il tempo di calcolo cresce.

Con la condizione iniziale, è anche possibile conoscere il derivato all'inizio:

e '(x_O) = f (x_O, E_O)

Questo derivato rappresenta la pendenza della linea tangente alla curva della funzione y (x) proprio nel punto:

Ao = (x_O, E_O)

Quindi viene effettuata una previsione approssimativa del valore della funzione y (x):

e (x₁) ≈ e₁

E_1 = E_O +(X₁- X_O) f (x_O, E_O) = y_{O +} H f (x_O, E_O)

Il prossimo punto approssimativo della soluzione che corrisponderebbe a:

A₁ = (x₁, E₁)

La procedura viene ripetuta per ottenere i punti successivi

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A₂, A₃…, X_N

Nella figura mostrata all'inizio, la curva blu rappresenta la soluzione esatta dell'equazione differenziale e quella rossa rappresenta i punti approssimativi successivi ottenuti dalla procedura Euler.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Yo) Essere l'equazione differenziale:

Con la condizione iniziale x = a = 0; E_A= 1

Usando il metodo Euler, ottenere una soluzione approssimativa di E In coordinata x = b = 0.5, suddividendo l'intervallo [a, b] a n = 5 parti.

Soluzione

I risultati numerici sono riassunti come segue:

Dove si è concluso che la soluzione e per il valore 0.5 è 1.4851.

Nota: per la realizzazione dei calcoli è stato utilizzato Smath Studio, Programma di utilizzo gratuito gratuito.

Esercizio 2

Ii) Continuando con l'equazione differenziale dell'esercizio i), trova la soluzione esatta e confrontala con il risultato ottenuto con il metodo Euler. Trova l'errore o la differenza tra il risultato esatto e l'approssimazione.

Soluzione

Con la condizione iniziale x = a = 0; E_A= 1
La soluzione esatta non è molto difficile da trovare. È noto che il derivato della funzione sen (x) è la funzione cos (x). Pertanto la soluzione y (x) sarà:

e (x) = sin x + c

Per soddisfare la condizione iniziale e (0) = 1, la costante C deve valere 1. Successivamente, il risultato esatto viene confrontato con l'approssimazione:

Si è concluso che nell'intervallo calcolato, l'approccio ha tre cifre di precisione significative.

Esercizio 3

Iii) Considera l'equazione differenziale e le sue condizioni iniziali riportate di seguito:

e '(x) =- y²

Con la condizione iniziale x₀ = 0; E₀ = 1

Utilizzare il metodo Euler per trovare valori approssimativi della soluzione e (x) Nell'intervallo x = [0, 1.5]. Usa il passaggio H = 0.1.

Soluzione

Il metodo di Euler è molto indicato per essere utilizzato con un foglio di calcolo. In questo caso useremo il foglio di calcolo di Geogebra, Un programma di utilizzo gratuito e gratuito.

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Tre colonne (A, B, C) sono mostrate nel foglio di calcolo della figura X , La seconda colonna rappresenta la variabile E, e la terza colonna il derivato E'.

La riga 2 contiene i valori iniziali di X, E, E' .

Il valore del valore 0.1 È stato inserito nella cella di posizione assoluta ($ D $ 4).

Il valore iniziale Y0 è nella cella B2 e Y1 nella cella B3. Per calcolare e₁ La formula viene utilizzata:

E_1 = E_O +(X₁- X_O) f (x_O, E_O) = y_{O +} H f (x_O, E_O)

Questa formula del foglio di calcolo sarebbe il numero B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Allo stesso modo Y2 sarebbe nella cella B4 e la sua formula è mostrata nella figura seguente:

La figura mostra anche il grafico della soluzione esatta e i punti A, B, ..., P della soluzione approssimativa mediante il metodo Euler.

Newton Dynamics e Metodo di Euler

La dinamica classica è stata sviluppata da Isaac Newton (1643-1727). La motivazione originale di Leonard Euler (1707-1783) per sviluppare il suo metodo era proprio quello di risolvere l'equazione della seconda legge di Newton in varie situazioni fisiche.

La seconda legge di Newton è spesso espressa come un'equazione differenziale secondaria:

Dove X rappresenta la posizione di un oggetto al momento T. Questo oggetto ha una massa M ed è soggetto a una forza F. La funzione F È correlato alla forza e alla massa come segue:

 Sebbene il metodo Eulero in linea di principio sia stato progettato per risolvere equazioni differenziali di primo grado, è facilmente estensibile al secondo caso di grado, poiché è equivalente a un sistema di due equazioni di primo grado.

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Per applicare il metodo Euler, sono richiesti valori di tempo iniziale T, velocità v e posizione X.

La tabella seguente spiega come a partire dai valori iniziali T1, V1, X1 è possibile ottenere un'approssimazione della velocità V2 e la posizione X2, al momento T2 = T1+Δt, dove Δt rappresenta un piccolo aumento e corrisponde al passaggio Nel metodo di Eulero.

Esercizio 4

IV) Uno dei problemi fondamentali in meccanica è quello di un blocco di massa legata a una molla (o primavera) della costante elastica K.

La seconda legge di Newton per questo problema sarebbe così:

In questo esempio, per semplificarlo verrà preso m = 1 e k = 1. Trova soluzioni approssimative nella posizione X E la velocità v Con il metodo di Euler nell'intervallo di tempo [0, π/2] che suddige l'intervallo in 12 parti.

Prendi 0 come momento iniziale, velocità iniziale 0 e posizione iniziale 1.

Soluzione

I risultati numerici sono mostrati nella tabella seguente:

Sono anche mostrate la grafica della posizione e la velocità tra gli istanti 0 e 1.44.

Esercizi proposti per la casa

Esercizio 1

Utilizzare un foglio di calcolo per determinare una soluzione approssimativa usando il metodo Euler per l'equazione differenziale:

e '= -exp (-y) con le condizioni iniziali x = 0, y = -1 nell'intervallo x = [0, 1]

Inizia con un passaggio di 0,1. Graficiare il risultato.

Esercizio 2

Utilizzando un foglio di calcolo, trova soluzioni numeriche all'equazione di secondo grado seguente, dove ed è una funzione della variabile indipendente T.

e "= - 1/y² con la condizione iniziale t = 0; y (0) = 0,5; e '(0) = 0 0

Trova la soluzione nell'intervallo [0,5; 1.0] Utilizzando un passaggio di 0,05.

Grafico il risultato: e vs t; e 'vs t

Riferimenti

1. Metodo di Eurler.Tratto da Wikipedia.org
2. Solver Eulero. Preso da.Smath.com