Metodo assiomatico

Qual è il metodo assiomatico?

Lui Metodo assiomatico È una procedura formale utilizzata dalla scienza attraverso la quale sono formulate dichiarazioni o proposizioni chiamate assiomi, collegate tra loro da una relazione di deducibilità e che sono la base delle ipotesi o delle condizioni di un determinato sistema.

Questa definizione generale deve essere inquadrata nell'evoluzione che questa metodologia ha avuto nel corso della storia. Innanzitutto, esiste un metodo vecchio o contenuto, nato nell'antica Grecia da Euclide e poi sviluppato, da Aristotele.

In secondo luogo, già nel diciannovesimo secolo, la comparsa di una geometria con assiomi diversi da quelli dell'euclide. E infine, il metodo assiomatico formale o moderno, il cui esponente massimo era David Hilbert.

Oltre al suo sviluppo nel tempo, questa procedura è stata la base del metodo deduttivo usando la geometria e la logica in cui ha avuto origine. È stato anche usato in fisica, chimica e biologia.

E persino applicato nella scienza legale, sociologia ed economia politica. Tuttavia, attualmente la sua sfera di applicazione più importante è la matematica e la logica simbolica e alcuni rami della fisica come la termodinamica, la meccanica, tra le altre discipline.

Caratteristiche del metodo assiomatico

Mentre la caratteristica fondamentale di questo metodo è la formulazione degli assiomi, questi non sono sempre stati considerati allo stesso modo.

Ce ne sono alcuni che possono essere definiti e costruiscono arbitrari. E altri, secondo un modello in cui è considerata la sua verità intuitivamente garantita.

Al fine di comprendere specificamente in cosa consiste questa differenza e le sue conseguenze, è necessario percorrere l'evoluzione di questo metodo.

Metodo assiomatico vecchio o contenuto 

È stabilito nell'antica Grecia verso il V secolo.C. La sua sfera di applicazione è la geometria. Il lavoro fondamentale di questa fase è gli elementi di Euclide, sebbene si ritenga che davanti a lui, Pitagora, avesse già dato alla luce il metodo assiomatico.

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Quindi i Greci prendono alcuni fatti come assiomi, senza che siano necessarie prove logiche, cioè senza la necessità di dimostrazione, poiché per loro sono una verità evidente da sola.

Da parte sua, Euclide presenta cinque assiomi per la geometria:

1. Dadi due punti c'è una linea che li contiene o li unisce.
2. Qualsiasi segmento può essere esteso continuamente su una linea illimitata su entrambi i lati.
3. Puoi disegnare una circonferenza che ha un centro ovunque e qualsiasi raggio.
4. Gli angoli dritti sono tutti uguali.
5. Prendendo qualsiasi linea retta e qualsiasi punto che non è in esso, c'è una linea retta parallela a quella e che contiene a quel punto. Questo assioma è noto, in seguito, come assioma dei paralleli ed è stato anche dichiarato come: da un punto esterno a una linea puoi disegnare un singolo parallelo.

Tuttavia, sia euclidi che successivi matematici, concordano sul fatto che il quinto assioma non è chiaro intuitivamente come l'altro 4. Anche durante il Rinascimento cerca di dedurre il quinto degli altri 4, ma non è possibile.

Ciò ha causato che nel diciannovesimo secolo, che ha mantenuto i cinque sostenitori della geometria euclidea e quelli che hanno negato il quinto, erano quelli che hanno creato le geometrie non euclidi.

Assiomatico non euclido

Sono precisamente Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss che vedono la possibilità di costruire, senza contraddizione, una geometria che proviene da sistemi Axiom diversi da quelli di Euclidi. Questo distrugge la credenza nella verità assoluta o priori degli assiomi e le teorie che ne derivano.

Pertanto, gli assiomi iniziano ad essere concepiti come punti di partenza di una teoria specifica. Anche sia la tua scelta che il problema della sua validità in un modo o nell'altro, iniziano a relazionarsi con fatti al di fuori della teoria assiomatica.

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In questo modo, compaiono teorie geometriche, algebriche e aritmetiche costruite attraverso il metodo assiomatico.

Questa fase culmina con la creazione di sistemi assiomatici per aritmetica come Giuseppe Peano nel 1891; La geometria di David Hubert nel 1899; Le dichiarazioni predicate di Alfred North Whitehead e Bertrand Russell in Inghilterra nel 1910; La teoria assiomatica di Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo scende nel 1908.

Metodo assiomatico moderno o formale

È David Hubert che inizia la concezione di un metodo assiomatico formale e questo porta al suo culmine, David Hilbert.

È precisamente Hilbert che formalizza il linguaggio scientifico, considerando le loro dichiarazioni come formule o sequenze di segni che non hanno alcun significato in se stessi. Acquisiscono solo significato in una certa interpretazione.

In "Le basi della geometria"Spiega il primo esempio di questa metodologia. Da qui, la geometria diventa una scienza di pure conseguenze logiche, che vengono estratte da un sistema di ipotesi o assiomi, meglio articolata del sistema euclido.

Questo perché nell'antica teoria assiomatica del sistema si basa sull'evidenza degli assiomi. Nel frattempo, nella fondazione della teoria formale, è dato dalla dimostrazione della non contraddizione dei suoi assiomi.

Passi del metodo assiomatico

La procedura che svolge una struttura assiomatica all'interno delle teorie scientifiche riconosce:

• A-la scelta di una certa quantità di assiomi, cioè una serie di proposizioni di una certa teoria che sono accettate senza essere dimostrate.
• B-I concetti che fanno parte di queste proposizioni non sono determinati nel quadro della teoria data.
• C.
• D.

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Esempi

Questo metodo può essere verificato attraverso la dimostrazione dei due teoremi di euclidi più noti: il teorema della categoria e l'altezza.

Entrambi derivano dall'osservazione di questo geometro greco che quando viene disegnata l'altezza rispetto all'ipotenusa all'interno di un triangolo rettangolo, altri triangoli dell'originale appaiono. Questi triangoli sono simili tra loro e allo stesso tempo simili al triangolo di origine. Ciò significa che i loro rispettivi omologi sono proporzionali.

Si può vedere che gli angoli congruenti nei triangoli in questo modo verificano la somiglianza che esiste tra i tre triangoli coinvolti in accordo con i criteri di somiglianza AAA. Questo criterio sostiene che quando due triangoli hanno tutti i loro angoli uguali sono simili.

Una volta dimostrato che i triangoli sono simili, le proporzioni specificate nel primo teorema possono essere stabilite. Lo stesso afferma che in un triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è un proporzionale medio geometrico tra l'ipotenusa e la proiezione della cateto in essa.

Il secondo teorema è l'altezza. Specifica che qualsiasi triangolo rettangolare l'altezza che viene disegnata in base all'ipotenusa è un proporzionale geometrico medio tra i segmenti determinati da detta media geometrica rispetto all'ipotenusa.

Naturalmente, entrambi i teoremi hanno numerose applicazioni in tutto il mondo non solo nel campo dell'insegnamento, ma anche in ingegneria, fisica, chimica e astronomia.