Formule di inerzia del momento, equazioni ed esempi di calcolo

Lui momento d'inerzia Da un corpo rigido rispetto a un certo asse di rotazione, rappresenta la sua resistenza al cambiamento della sua velocità angolare attorno a quell'asse. È proporzionale alla massa e anche alla posizione dell'asse di rotazione, poiché il corpo, secondo la sua geometria, può ruotare più facilmente attorno a alcuni assi che in altri.

Supponiamo che un oggetto esteso (costituito da molte particelle) che può ruotare attorno a un asse. Supponiamo che una forza agisca F, Tangialmente applicato all'elemento di massa ΔM_Yo, che produce una coppia o un momento, dato da τ_netto = ∑R_Yo X F_Yo. Il vettore R_Yo È la posizione di ΔM_Yo (Vedi Figura 2).

Figura 1. Momenti di inerzia di diverse figure. Fonte: Wikimedia Commons.

Questo momento è perpendicolare al piano di rotazione (indirizzo +K = Lasciando la carta). Poiché la resistenza e la posizione radiale sono sempre perpendicolari, il prodotto incrociato rimane:

τ_netto = ∑ f_Yo R_Yo K = ∑ (ΔM_Yo A_Yo) R_Yo  K = ∑ Δm_Yo (A_Yo R_Yo ) K

figura 2. Una particella appartenente a un solido rigido in rotazione. Fonte: Serway, R. 2018. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Apprendimento del Cengage.

Accelerazione a_Yo rappresenta la componente tangenziale dell'accelerazione, poiché l'accelerazione radiale non contribuisce alla coppia. A seconda dell'accelerazione angolare α, possiamo indicare che:

A_Yo = α r_Yo

Pertanto la coppia netta è così:

τ_netto = ∑ Δm_Yo (α r_Yo²) K = (∑ R_Yo² ΔM_Yo) α K

L'accelerazione angolare α è la stessa per l'intero oggetto, quindi non è influenzato dal pedice "i" e può lasciare la somma, che è proprio il momento di inerzia dell'oggetto simboleggiato con la lettera I:

I = ∑ r_Yo² ΔM_Yo

Questo è il momento di inerzia di una distribuzione di massa discreta. Quando la distribuzione è continua, la somma viene sostituita con un integrale e ΔM diventa un differenziale di massa DM. L'integrale è realizzato sopra tutto l'oggetto:

I = ∫_M(R²) Dm

Le unità del momento dell'inerzia nel sistema internazionale se sono kg x m². È una quantità scalare e positiva, poiché è il prodotto di un impasto per il quadrato di una distanza.

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Esempi di calcolo

Un oggetto esteso, come una barra, disco, sfera o altro, la cui densità ρ È costante e sapendo che la densità è il quoziente di massa, il differenziale di massa DM È scritto come:

ρ = dm/dv → dm = ρDv

Sostituire in integrale per il momento dell'inerzia, abbiamo:

I = ∫r² ρdv = ρ ∫r²Dv

Questa è un'espressione generale, valida per un oggetto tridimensionale, il cui volume V e posizione R Sono funzioni di coordinate spaziali X, E E z. Si noti che essendo costante, la densità è fuori dall'integrale.

La densità ρ È anche noto come densità volumetrica, ma se l'oggetto è molto piatto, come un foglio o molto sottile e stretto come un'asta, si possono usare altre forme di densità, vediamo:

Può servirti: movimento di rotazione della terra

- Per un foglio molto fine, la densità da utilizzare è σ, la densità superficiale (massa per unità di area) dà è il differenziale dell'area.

- E se si tratta di una barra sottile, in cui solo la lunghezza è rilevante, viene utilizzata la densità di massa lineare λ e un differenziale di lunghezza, secondo l'asse usato come riferimento.

Nei seguenti esempi, tutti gli oggetti sono considerati rigidi (non deformabili) e hanno una densità uniforme.

Momento di inerzia di una barra sottile rispetto a un asse che passa attraverso il suo centro

Qui calcoleremo il momento di inerzia di una barra sottile, rigida e omogenea, di lunghezza L e massa M, rispetto a un asse che passa attraverso i mezzi.

In primo luogo è necessario stabilire un sistema di coordinate e costruire una figura con una geometria adeguata, come questa:

Figura 3. Geometria per calcolare il momento di inerzia di una bordo sottile rispetto a un asse verticale che passa attraverso il suo centro. Fonte: f. Zapata.

È stato scelto Asse x lungo il bar e il Asse y come asse di rotazione. La procedura per stabilire l'integrale richiede anche la scelta di un differenziale di massa sulla barra, chiamato DM, che ha una lunghezza differenziale Dx e si trova nella posizione X arbitrario, rispetto al centro x = 0.

Secondo la definizione di densità di massa lineare λ:

λ = m/l

Quando la densità è uniforme, valida per m e l, è anche per DM e DX:

λ = dm/dx → dm = λdx.

D'altra parte, l'elemento di massa è in posizione X, Quindi sostituendo questa geometria nella definizione, abbiamo un integrale definito, i cui limiti sono gli estremi della barra secondo il sistema di coordinate:

Sostituzione della densità lineare λ = m/l:

Per trovare il momento di inerzia della barra rispetto a un altro asse di rotazione, ad esempio uno che passa attraverso una delle sue estremità, è possibile utilizzare il teorema di Steiner (vedere l'esercizio risolto alla fine) o eseguire un calcolo diretto simile a quello mostrato qui, ma modificando correttamente la geometria.

Momento di inerzia di un album rispetto a un asse che passa attraverso il suo centro

Un album molto sottile, di spessore spregevole è una figura piatta. Se l'impasto è distribuito uniformemente in tutta l'area A, la densità di massa σ è:

σ = M/A

Tanto DM COME dà corrispondere alla massa e all'area dell'anello differenziale mostrato nella figura. Supponiamo che l'intero set ruoti attorno all'asse e.

Puoi immaginare che l'album sia composto che molti anelli concentrici radiofonici R, Ognuno con il rispettivo momento di inerzia. Aggiungendo i contributi di tutti gli anelli fino a raggiungere la radio R, Avrai l'inerzia totale dell'album.

σ = DM/DA → DM = σdà

Figura 4. Geometria per calcolare il momento dell'inerzia di un album, rispetto all'asse assiale. Fonte: f. Zapata.

Dove m rappresenta l'intero impasto dell'album. L'area di un album dipende dal suo raggio R come:

Può servirti: velocità di propagazione di un'onda

A = π.R²

Derivando per R:

Da /dr = 2 = 2π.R → Da = 2π.rdr

Sostituzione di quanto sopra nella definizione di i:

Dopo aver valutato i risultati integrali:

Sostituzione σ = m/(π.R² ) è rimasto:

Momento di inerzia di una sfera solida rispetto a un diametro

Una sfera RADIUS R può essere considerata come una serie di dischi impilati uno sopra l'altro, dove ogni album di massa infinitesimale DM, Radio R e spessore Dz, Ha un momento di inerzia dato da:

ha dato_disco = (½) r²DM

Per trovare questo differenziale, la formula della sezione precedente è stata semplicemente presa e sostituita M E R di DM E R, rispettivamente. Un album come questo può essere visto nella geometria della Figura 5.

Figura 5. Geometria per calcolare il momento di inerzia di una sfera di raggio solido rispetto a un asse che passa attraverso un diametro. Fonte: f. Zapata.

Aggiungendo tutti i momenti di inerzia infinitesimale di dischi impilati, si ottiene il momento di inerzia totale della sfera:

Yo_sfera = ∫di_disco

Che è equivalente a:

I = ∫_sfera (½) r²DM

Per risolvere l'integrale, è necessario esprimere DM correttamente. Come sempre, si ottiene dalla densità:

ρ = m/v = dm/dv → dm = ρ.Dv

Il volume di un disco differenziale è:

Dv = area base x altezza

L'altezza dell'album è lo spessore Dz, Mentre l'area di base è πr², Perciò:

Dv = πr²Dz

E sostituire in quello integrato sarebbe così:

I = ∫_sfera(½) r²Dm = ∫ (½) r²(ρπr²DZ)

Ma prima di integrare, deve. Attraverso il teorema di Pitagora:

R² = r² + z² → R² = R² - z²

 Questo ci porta a:

I = ∫_sfera(½) ρ r²(πr²dz) = ∫_sfera(½) ρ π r⁴Dz= ∫_sfera(½) ρ π (r² - z²)² Dz

Per integrare l'intera sfera, notiamo che Z varia tra -r e r, quindi:

Sapendo che ρ = m/v = m/[(4/3) πr³" Infine, si ottiene, dopo aver semplificato:

Momento di inerzia di un cilindro solido rispetto all'asse assiale

Per questo oggetto viene utilizzato un metodo simile a quello usato per la sfera, solo questa volta è più facile se il cilindro è immaginato per i conchiglie radio cilindriche R, spessore Dottore e altezza H, Come se fossero gli strati di una cipolla.

Figura 6. Geometria per calcolare il momento di inerzia di un cilindro di raggio solido R rispetto dell'asse assiale. Fonte: Serway, R. 2018. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Cengage.

Il volume Dv di uno strato cilindrico è:

Dv = 2π.Rl.Dottore

Pertanto la massa di Cascaron è:

Può servirti: scala microscopica: proprietà, particelle di conteggio, esempi

Dm = ρ.Dv = ρ. 2π.R.L.Dottore

Questa espressione è sostituita nella definizione di momento di inerzia:

 Dato che ρ = m / (π.R²L) è rimasto:

L'equazione precedente indica che il momento di inerzia del cilindro non dipende dalla sua lunghezza, ma solo dalla sua massa e dal suo raggio. Sì L cambiato, il momento di inerzia rispetto all'asse assiale continuerebbe ad essere lo stesso. Per questa ragione, Yo del cilindro coincide con quello dell'album sottile precedentemente calcolato.

Momento di inerzia di un foglio rettangolare rispetto a un asse che passa attraverso il suo centro

IL Asse y Orizzontale come asse di rotazione. La figura seguente mostra la geometria necessaria per eseguire l'integrazione:

Figura 7. Geometria per il calcolo del momento di inerzia di una piastra rettangolare rispetto a un asse parallelo al foglio e che passa attraverso il suo centro. Fonte: f. Zapata.

L'elemento area indicato in rosso è rettangolare. La sua area è l'altezza di base x, quindi:

da = a.Dz

Pertanto il differenziale di massa è:

Dm = σ.da = σ.(A.DZ)

Per quanto riguarda la distanza dell'elemento area rispetto all'asse di rotazione, è sempre z. Sostituiamo tutto questo nell'integrale del momento dell'inerzia:

Ora la densità di massa superficiale σ è sostituita da:

σ = m/ab

Ed è sicuramente così:

Nota che è come quello della barra sottile.

Momento di inerzia di un foglio quadrato rispetto a un asse che passa attraverso il suo centro

Per un quadrato sul lato L, Nell'espressione precedente valida per un rettangolo, il valore di B da quello L:

Teoremi del momento di inerzia

Esistono due teoremi particolarmente utili per semplificare il calcolo dei momenti di inerzia rispetto ad altri assi, che altrimenti potrebbero essere complicati da trovare per la mancanza di simmetria. Questi teoremi sono:

Il teorema di Steiner

Chiamato anche Teorema dell'asse parallelo, racconta il momento dell'inerzia riguardo a un asse con un altro che passa attraverso il centro della massa dell'oggetto, purché gli assi siano paralleli. Per applicarlo, la distanza D deve essere conosciuta tra i due assi e ovviamente la massa M dell'oggetto.

Essere Yo_z il momento di inerzia di un oggetto esteso rispetto a Z, I Asse_Cm Il momento di inerzia rispetto a un asse che passa attraverso il centro di massa (cm) di detto oggetto, quindi è soddisfatto che:

Yo_z = I_Cm + MD²

O nella notazione della seguente figura: Yo_{Z '} = I_z + MD²

Figura 8. Teorema di Steiner o assi paralleli. Fonte: Wikimedia Commons. Jack See [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0)]

Teorema dell'asse perpendicolare

Questo teorema si applica alle superfici piatte e dice: il momento di inerzia di un oggetto piatto attorno a un asse perpendicolare ad esso è la somma dei momenti di inerzia attorno a due assi perpendicolari al primo asse:

Yo_z = I_X + Yo_E

Figura 9. Teorema dell'asse perpendicolare. Fonte: f. Zapata.

Se l'oggetto ha una simmetria tale Yo_X E Yo_E Sono gli stessi, quindi è soddisfatto che:

Yo_z = 2i_X

Esercizio risolto

Trova il momento di inerzia della barra rispetto a un asse che passa attraverso una delle sue estremità, come quella mostrata nella Figura 1 (sotto e a destra) e Figura 10.

Figura 10. Momento di inerzia di una barra omogenea attorno a un asse che attraversa un'estremità. Fonte: f. Zapata.

Soluzione:

Abbiamo già il momento di inerzia della barra attorno a un asse che passa attraverso il suo centro geometrico. Poiché il bar è omogeneo, il suo centro di massa è a quel punto, quindi questo sarà nostro Yo_Cm Per applicare il teorema di Steiner.

Se la lunghezza della barra è L, L'asse z è a una distanza d = l/2, quindi:

Yo_z = I_Cm + MD²= (1/12) ml²+M (l/2)²= (1/3) ml²

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 190-200.
3. Teorema dell'asse parallelo. Recuperato da: iperfisica.Phy-Astr.GSU.Edu.
4. Serway, r. 2018. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. Cengage.
5. Siviglia University. Momento di inerzia dei solidi sferici. Recuperato da: Laplace.noi.È.
6. Siviglia University. Momento di inerzia di un sistema di particelle. Recuperato da: Laplace.noi.È.
7. Wikipedia. Teorema dell'asse parallelo. Recuperato da: in.Wikipedia.org