Misure di variabilità

Figura 1.- Le misure di variabilità più note. Fonte: f. Zapata.

Quali sono le misure di variabilità?

IL Misure di variabilità, Chiamati anche misure di dispersione, sono indicatori statistici che indicano quanto si trovano vicini o remoti i dati della loro media aritmetica. Se i dati sono vicini alla media, la distribuzione è concentrata e se sono lontani, è allora una distribuzione dispersa.

Ci sono molte misure di variabilità, tra le più note sono:

• Allineare
• Deviazione media
• Varianza
• Deviazione standard

Queste misure completano le misure di tendenza centrale e sono necessarie per comprendere la distribuzione dei dati ottenuti ed estrarre quante più informazioni possibili.

Allineare

L'intervallo o il percorso misurano l'ampiezza di un set di dati. Per determinare il suo valore, viene trovata la differenza tra il valore x più alto_max e il valore minimo x_min:

R = x_max - X_min

Se i dati non sono sciolti ma raggruppati per intervallo, allora l'intervallo viene calcolato dalla differenza tra il limite superiore dell'ultimo intervallo e il limite inferiore del primo intervallo.

Quando l'intervallo è un valore piccolo significa che tutti i dati sono abbastanza vicini tra loro, ma un ampio intervallo indica che c'è molta variabilità. È evidente che, a parte il limite superiore e il limite inferiore dei dati, l'intervallo non tiene conto dei valori tra loro, quindi non è consigliabile utilizzarlo quando il numero di dati è grande.

Tuttavia, è una misura immediata da calcolare e ha le stesse unità di dati, quindi è facile interpretarla.

Esempio di rango

Successivamente, l'elenco è disponibile con il numero di obiettivi segnati durante il fine settimana, nei campionati di calcio di nove paesi:

Può servirti: quali sono i divisori di 30? (Spiegazione)

40, 32, 35, 36, 37, 31, 37, 29, 39

È un set di dati senza raggrupparsi. Per trovare la gamma, procedono per ordinarli dal meno al massimo:

29, 31, 32, 35, 36, 37, 37, 39, 40

I dati con il valore più alto sono 40 obiettivi e quello con il valore più basso è di 29 obiettivi, quindi l'intervallo è:

R = 40−29 = 11 goal.

Si può considerare che l'intervallo è piccolo rispetto ai dati del valore minimo, che sono 29 obiettivi, quindi si può presumere che i dati non abbiano una grande variabilità.

Deviazione media

Questa misura di variabilità viene calcolata attraverso la media dei valori assoluti delle deviazioni rispetto alla media. Indicando la deviazione media come d_M, Per i dati non gruppi, la deviazione media viene calcolata dalla seguente formula:

Dove n è il numero di dati disponibili, x_Yo Rappresenta ogni dati e X̄ è la media, che viene determinata aggiungendo tutti i dati e dividendo tra n:

La deviazione media consente di sapere, in media, quante unità i dati si discostano dalla media aritmetica e hanno il vantaggio di avere le stesse unità dei dati con cui funziona.

Esempio di deviazione centrale

Secondo i dati dell'intervallo, il numero di obiettivi contrassegnati è:

40, 32, 35, 36, 37, 31, 37, 29, 39

Se vuoi trovare la deviazione media D_M Di questi dati, è necessario calcolare prima la media aritmetica X̄:

E ora che il valore di X̄ è noto, procediamo a trovare la deviazione media_M:

= 2.99 ≈ 3 goal

Pertanto si può dire che, in media, i dati si allontanano approssimativamente in 3 obiettivi medi che sono 35 goal e, come notato, è una misura molto più precisa della gamma.

Può servirti: iperbole

Varianza

La deviazione media è una misura di variabilità molto più sottile rispetto all'intervallo, ma come calcolata attraverso il valore assoluto delle differenze tra ciascun dati e la media, non offre una maggiore versatilità dal punto di vista algebrico.

Pertanto, è preferita la varianza, che corrisponde alla media della differenza quadratica di ciascun dati con la media e viene calcolata usando la formula:

In questa espressione, s² indica la varianza e come sempre x_Yo rappresenta ciascuno dei dati, x̄ è la media e n i dati totali.

Quando si lavora con un campione anziché con la popolazione, si preferisce calcolare la varianza come questa:

La differenza con la formula precedente è che nel denominatore ci sono n - 1 anziché n. Succede che dividendo per n, la varianza del campione sottovaluta la varianza della popolazione da cui è stata estratta, ma non quando è divisa per n - 1. In alcuni testi quell'espressione appare con il nome di Quasi-Variza.

In ogni caso, la varianza è caratterizzata dall'essere sempre una quantità positiva, ma essendo la media delle differenze quadratiche, è importante osservare che non ha le stesse unità di quelle dei dati.

Esempio di varianza

Per calcolare la varianza dei dati degli esempi di intervallo e deviazione media, i valori corrispondenti vengono sostituiti e la somma indicata. In questo caso viene scelto di dividere tra N-1:

= 13.86

Deviazione standard

La varianza non ha la stessa unità di quella della variabile in studio, ad esempio, se i dati sono disponibili in metri, la varianza si traduce in contatori quadrati. O nell'esempio degli obiettivi sarebbe negli obiettivi quadrati, il che non ha senso.

Può servirti: quali sono gli elementi della parabola? (Parti)

Pertanto, la deviazione standard è definita, chiamata anche deviazione tipica, Come la radice quadrata della varianza:

S = √s²

In questo modo una misura di variabilità dei dati è ottenuta nelle stesse unità di queste e più basso è il valore di s, più raggruppati i dati sono attorno alla media.

Sia la varianza che la deviazione standard sono le misure di variabilità da scegliere quando la media aritmetica è la misura della tendenza centrale che meglio descrive il comportamento dei dati.

Ed è che la deviazione standard ha una proprietà importante, nota come teorema di Chebyshev: almeno il 75% delle osservazioni è nell'intervallo definito da X ± 2s. In altre parole, il 75% dei dati è, al massimo, a una distanza pari a 2 secondi intorno alla media.

Allo stesso modo, almeno l'89% dei valori è a una distanza di 3 secondi dalla media, una percentuale che può essere ampliata, a condizione che siano disponibili molti dati e questi seguono una distribuzione normale.

figura 2.- Se i dati seguono una distribuzione normale, 95.4 di essi sono due deviazioni standard su entrambi i lati della media. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempio di deviazione standard

La deviazione standard dei dati presentati negli esempi precedenti è:

S = √s² = √13.86 = 3.7 ≈ 4 gol