Misurazione approssimativa di figure amorfe Esempio ed esercizio fisico

IL Misurazione approssimativa Delle figure amorfe è costituita da una serie di metodi utilizzati per determinare l'area o il perimetro delle figure geometriche che non sono triangoli, quadrati, cerchi, ecc. Alcuni sono estendibili a figure tre -dimensionali.

Fondamentalmente la misurazione consiste nel fare un reticolo regolarmente, come rettangoli, quadrati o trapezoidi, che coprono approssimativamente la superficie. L'accuratezza dell'approccio dell'area ottenuta con questi metodi aumenta con la finezza o la densità del reticolo.

Figura 1. Pietre a forma di figure amorfe. Fonte: pxfuel.

Le figure 1 e 2 mostrano varie figure amorfe. Per calcolare l'area, un reticolo, composto da 2 x 2 quadrati, che a loro volta sono suddivisi in venti quadrati di 2/5 x 2/5.

Aggiunta delle aree dei quadrati principali e dei quadrati secondari si ottengono l'area approssimativa della figura amorfa.

figura 2. Un reticolo per calcolare l'area di una delle figure amorfe in modo approssimativo. Fonte: f. Zapata

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Area sotto una curva

È spesso necessario calcolare l'area sotto una curva tra due valori limite. In questo caso, invece di un reticolato quadrato, le strisce rettangolari possono essere rintracciate approssimativamente l'area sotto la suddetta curva.

La somma di tutte le strisce rettangolari è chiamata La somma o la somma di Riemann. La Figura 3 mostra una partizione dell'intervallo [a, b] su cui si desidera determinare approssimativamente l'area sotto la curva.

Figura 3. Partizione dell'intervallo [a, b] in quattro sottointervalli, che di solito sono prelevati dalla stessa larghezza. L'altezza dei rettangoli è determinata dal valore della curva per un TK appartenente ai sottointervalli. Fonte: f. Zapata.

Supponiamo di voler calcolare l'area sotto la curva data dalla funzione y = f (x), dove x appartiene all'intervallo [a, b] all'interno della quale si desidera calcolare l'area. Per questo, viene effettuata una divisione di N elementi all'interno di questo intervallo:

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Partizione = x0 = a, x1, x2, ..., xn = b.

Quindi l'area approssimativa sotto la curva data da y = f (x) nell'intervallo [a, b] è raggiunta dalla seguente somma:

S = ∑_{K = 1}^N f (t_K) (X_K - X_K-1)

Dove_K è tra x_K-1 e x_K: X_K-1 ≤ t_K ≤ x_K .

La Figura 3 mostra la somma di Riemann della curva y = f (x) nell'intervallo [x0, x4]. In questo caso, è stata fatta una partizione di quattro sottointervalli e la somma rappresenta l'area totale dei rettangoli grigi. 

Questa somma rappresenta un approccio all'area sotto la curva F tra l'Ascissi X = X0 e X = X4.

L'approccio all'area sotto la curva migliora nella misura in cui il numero N delle partizioni è maggiore e tende ad essere esattamente l'area sotto la curva quando il numero N le partizioni tende all'infinito. 

Nel caso in cui la curva sia rappresentata da una funzione analitica, i valori f (t_K) Sono calcolati valutando tale funzione nei valori t_K. Ma se la curva non ha un'espressione analitica, rimangono le seguenti possibilità:

1. Avvicinati alla curva per una funzione, ad esempio un polinomio.
2. Prendi le coordinate cartesiane dei punti in cui la curva viene intercettata con le linee x = t_K.

Intervalli regolari

A seconda della scelta del valore TK nell'intervallo [x_K, X_K-1], la somma può sopravvalutare o sottovalutare il valore esatto dell'area sotto la curva della funzione y = f (x). La cosa più consigliabile è prendere il punto TK in cui l'area mancante è approssimativamente uguale all'area rimanente, sebbene non sia sempre possibile fare tale scelta.  

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Prendi TK alla fine

La cosa più pratica è quindi usare intervalli regolari di ampi Δx = (b - a)/n, dove a e b sono i valori minimi e massimi dell'ascissa, mentre n è il numero di suddivisioni.

In tal caso, l'area sotto la curva si avvicina da:

Area = f (a+Δx)+f (a+2Δx)+…+f [a+(n-1] Δx+f (b)*Δx

Nell'espressione precedente, TK era stato preso all'estremità destra del sottointervallo.

Prendi TK all'estremità sinistra

Un'altra possibilità pratica è quella di prendere il valore TK all'estremità sinistra, nel qual caso la somma che si avvicina all'area è espressa come:

Area = [f (a)+f (a+Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)*Δx

TK come valore centrale

Nel caso in cui TK sia scelto come valore centrale del normale sottointervallo della larghezza di Δx, la somma che si avvicina all'area sotto la curva è:

Area = [f (a+Δx/2)+f (a+3Δx/2)+…+f (b- Δx/2)]*Δx

Una di queste espressioni tende al valore esatto nella misura in cui il numero di suddivisioni è arbitrariamente grande, vale a dire che ΔX tende a zero, ma in questo caso il numero di termini della somma è immensamente grande con il conseguente costo computazionale. 

Esempio

La Figura 2 mostra una figura amorfa, il cui contorno è simile alle pietre dell'immagine 1. Per calcolare la sua area, viene posizionato su un reticolo con quadrati principali di 2 x 2 unità al quadrato (ad esempio possono essere 2 cm²).

E poiché ogni quadrato è suddiviso in suddivisioni 5 x 5, ogni suddivisione ha un'area di 0,4 x 0,4 unità quadrate (0,16 cm²).

La figura nella figura verrebbe calcolata come segue:

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Area = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²

Vale a dire:

Area = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².

Esercizio risolto

Calcola approssimativamente l'area sotto la curva data dalla funzione f (x) = x² Scommettono a = -2 fino a b = +2. Per fare ciò, scrivi la somma per n partizioni regolari dell'intervallo [a, b] e quindi prendi il limite matematico nel caso in cui il numero di partizioni tende all'infinito. 

Soluzione

Innanzitutto, l'intervallo di partizione è definito come 

Δx = (b - a)/n. 

Quindi la somma per la destra corrispondente alla funzione f (x) è così:

A = -2 e b =+2 viene sostituito in modo che l'intervallo o il passaggio siano Δx = 4/n. In questo caso la somma per la funzione f (x) = x² È:

 Viene sviluppato il binomiale quadrato: 

[-2 +(4i/n)]² = 4 - 16 I /N + (4 /N)² Yo²

E poi viene sostituito nella somma:

Separare le sommazioni e assumere gli importi costanti come fattore comune di ciascuna somma:

 Il primo della somma, il secondo è:

E il terzo è:

Sostituire nell'espressione della somma che hai:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²

Quando si sceglie un grande valore per n hai un buon approccio all'area sotto la curva. Tuttavia, in questo caso è possibile ottenere il valore esatto che assume il limite matematico quando N tende all'infinito:

Area = lim_{N-> ∞}[16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²"

Area = 16 - (64/2)+ (64/3) = 16/3 = 5.333.

Riferimenti

1. Casteleiro, J. M. 2002. Calcolo completo (Edizione illustrata). Madrid: editoriale ESIC.
2. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
3. Purcell, e. 2007. Calcolo con geometria analitica. 9na. Edizione. Pearson Education.
4. Unican. Storia del concetto di integrale. Recuperato da: repository.Unican.È
5. UIS. Riemann somme. Recuperato da: matematica.UIS.Edu.co
6. Wikipedia. La zona. Recuperato da: è.Wikipedia.com