Limiti trigonometrici come risolverli, esercizi risolti

IL limiti trigonometrici Sono limiti di funzioni in modo tale che queste funzioni siano formate da funzioni trigonometriche.

Esistono due definizioni che devono essere note per capire come viene eseguito il calcolo di un limite trigonometrico. Queste definizioni sono:

- Limite di una funzione "f" quando "x" tende a "b": consiste nel calcolare il valore in cui f (x) si avvicina quando "x" si avvicina "b", senza affermare "b".

- Funzioni trigonometriche: le funzioni trigonometriche sono le funzioni seno, coseno e tangenti, indicate rispettivamente da sin (x), cos (x) e tan (x).

Le altre funzioni trigonometriche sono ottenute dalle tre funzioni sopra menzionate.

Limiti di funzioni

Per chiarire il concetto di limite di funzione, procederemo a mostrare alcuni esempi con funzioni semplici.

- Il limite di f (x) = 3 quando "x" tende a "8" è uguale a "3", poiché la funzione è sempre costante. Non importa quanto valga "x", il valore di f (x) sarà sempre "3".

- Il limite di f (x) = x-2 quando "x" tende a "6" è "4". Da quando "X" è vicino a "6", allora "x-2" si avvicina "6-2 = 4".

- Il limite di G (x) = x² quando "x" tende a "3" è uguale a 9, poiché quando "x" si avvicina a "3" quindi "x²" si avvicina a "3² = 9".

Come si può notare negli esempi precedenti, il calcolo di un limite consiste nella valutazione del valore a cui tende "x" nella funzione e il risultato sarà il valore del limite, sebbene ciò sia vero solo per le funzioni continue.

Ci sono limiti più complicati?

La risposta è si. Gli esempi precedenti sono gli esempi più semplici di limiti. Nei libri di calcolo, gli esercizi di limite principale sono quelli che generano un'indeterminatezza di tipo 0/0, ∞/∞, ∞ -∞, 0*∞, (1)^∞, (0)^0 e (∞)^0.

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Queste espressioni sono chiamate indeterminazioni poiché sono espressioni che hanno un senso matematicamente.

Oltre a ciò, a seconda delle funzioni coinvolte nel limite originale, il risultato ottenuto quando si risolve le indeterminazioni può essere diverso in ciascun caso.

Esempi di semplici limiti trigonometrici

Per risolvere i limiti, è sempre molto utile conoscere i grafici delle funzioni coinvolte. Di seguito sono riportati i grafici del seno, del coseno e delle funzioni tangenti.

Alcuni esempi di semplici limiti trigonometrici sono:

- Calcola il limite senza (x) quando "x" tende a "0".

Vedendo il grafico puoi vedere che se "X" si avvicina a "0" (sia a sinistra che a destra), allora anche il grafico del seno si avvicina a "0". Pertanto, il limite di sin (x) quando "x" tende a "0" è "0".

- Calcola il limite di cos (x) quando "x" tende a "0".

Osservando il grafico del coseno si può vedere che quando "x" è vicino a "0", il grafico del coseno è vicino a "1". Ciò implica che il confine di cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "1".

Può esistere un limite (essendo un numero), come nel caso degli esempi precedenti, ma può anche accadere che non esiste come mostrato nell'esempio seguente.

- Il limite dell'abbronzatura (x) quando "x" tende a "π/2" a sinistra è uguale a "+∞", come si può vedere nella grafica. D'altra parte, il limite dell'abbronzatura (x) quando "x" tende a "-π/2" a destra è uguale a "-∞".

Trigonometric Limits Identity

Due identità molto utili quando vengono calcolati i limiti trigonometrici sono:

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- Il limite di "sin (x)/x" quando "x" tende a "0" è uguale a "1".

- Il limite di "(1-Cos (x))/x" quando "x" tende a "0" è uguale a "0".

Queste identità sono usate molto spesso quando hai una sorta di indeterminatezza.

Esercizi risolti

Risolvi i seguenti limiti usando le identità sopra descritte.

- Esercizio 1

Calcola il limite di "f (x) = senza (3x)/x" quando "x" tende a "0".

Se la funzione "F" viene valutata in "0" verrà ottenuta un'indeterminatezza di tipo 0/0. Pertanto, dobbiamo provare a risolvere questa indeterminatezza usando le identità descritte.

L'unica differenza tra questo limite e l'identità è il numero 3 che appare all'interno della funzione sinusoidale. Per applicare l'identità, la funzione "F (x)" deve essere riscritta come segue "3*(senza (3x)/3x)". Ora, sia l'argomento mammario che il denominatore sono uguali.

Quindi quando "X" tende a "0", l'uso dell'identità è "3*1 = 3". Pertanto, il limite di f (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "3".

- Esercizio 2

Calcola il limite di "G (x) = 1/x - cos (x)/x" quando "x" tende a "0".

Quando "x = 0" viene sostituito in g (x) un'indeterminatezza del tipo ∞ -∞. Per risolverlo, le frazioni vengono sottratte, il che fornisce di conseguenza "(1-Cos (x))/X".

Ora, applicando la seconda identità trigonometrica, il limite di G (x) è che "x" tende a "0" è uguale a 0.

- Esercizio 3

Calcola il limite di "H (x) = 4tan (5x)/5x" quando "x" tende a "0".

Ancora una volta se H (x) viene valutato in "0" verrà ottenuta un'indeterminatezza di tipo 0/0.

Riscrittura come (5x) come senza (5x)/cos (5x) si scopre che H (x) = (senza (5x)/5x)*(4/cos (x))).

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Usando che il limite di 4/cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "4/1 = 4" e si ottiene la prima identità trigonometrica che tende il limite di h (x) quando "x" "0" è uguale a "1*4 = 4".

Osservazione

I limiti trigonometrici non sono sempre facili da risolvere. In questo articolo sono stati mostrati solo esempi di base.

Riferimenti

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