Elementi di algebra a blocchi, esempi, esercizi risolti

Lui Algebra a blocchi Si riferisce all'insieme di operazioni che vengono eseguite attraverso i blocchi. Questi e alcuni altri elementi servono a rappresentare schematicamente un sistema e visualizzare facilmente la tua risposta a una voce specifica.

In generale, un sistema contiene vari elementi elettrici, elettronici ed elettromeccanici e ciascuno di essi, con la loro rispettiva funzione e posizione nel sistema, nonché il modo in cui sono correlati, è schematizzato attraverso blocchi funzionali.

Figura 1.

Nella figura sopra esiste un sistema molto semplice, che consiste in un segnale di ingresso X (S), che entra nel blocco con la funzione di trasferimento G (s) che lo modifica e produce i Y di uscita.

È conveniente rappresentare i segnali e il loro viaggio attraverso il sistema attraverso le frecce che entrano e lasciano ogni blocco. Di solito il flusso del segnale è diretto da sinistra a destra.

Il vantaggio di questo tipo di schema è l'aiuto visivo che fornisce per comprendere il sistema, sebbene non costituisca una rappresentazione fisica della stessa. In effetti, il diagramma a blocchi non è unico, perché secondo il punto di vista, anche diversi diagrammi dello stesso sistema.

Può anche succedere che lo stesso diagramma sia utilizzato per diversi sistemi che non sono necessariamente correlati tra loro, a condizione che il suo comportamento descriva correttamente. Esistono diversi sistemi la cui risposta è simile in molti aspetti, ad esempio un circuito LC (canale induttore) e un sistema di risort di massa.

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Cos'è un diagramma a blocchi?

I sistemi sono generalmente più complicati di quelli della Figura 1, ma l'algebra a blocchi fornisce una serie di semplici regole per manipolare lo schema di sistema e ridurlo alla sua versione più semplice.

Come spiegato all'inizio, il diagramma utilizza blocchi, frecce e cerchi per stabilire la relazione tra ciascun componente del sistema e il flusso dei segnali che lo attraversano.

L'algebra di blocco consente di confrontare due o più segnali tramite somma, sottrazione e moltiplicazione di essi, oltre ad analizzare il contributo che ciascun componente fornisce al sistema.

Grazie a ciò è possibile ridurre l'intero sistema a un singolo segnale di ingresso, una funzione di trasferimento unica che descrive completamente l'azione del sistema e l'uscita corrispondente.

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Elementi del diagramma a blocchi

Gli elementi del diagramma a blocchi sono i seguenti:

Il segnale

I segnali sono molto vari, ad esempio è comune che sia una corrente elettrica o una tensione, ma può essere luminoso, sano e altro ancora. L'importante è che contenga informazioni su un determinato sistema.

Il segnale è indicato con una lettera maiuscola se è una funzione della variabile S della trasformata di Laplace: x (s) (vedi Figura 1) o con minuscolo se si basa sul tempo T, come x (t).

Nel diagramma del blocco, il segnale di ingresso è rappresentato da una freccia diretta verso il blocco, mentre il segnale di uscita, indicato come Y (S) o (T), è indicato con una freccia in uscita.

Sia il segnale di ingresso che di uscita sono univoci e l'indirizzo in cui i flussi di informazioni sono determinati dalla direzione della freccia. E l'algebra è la stessa per una delle due variabili.

Il blocco

Il blocco è rappresentato da un quadrato o da un rettangolo (vedi Figura 1) e può essere utilizzato per eseguire operazioni o implementare la funzione di trasferimento, che di solito è indicata con la lettera maiuscola G. Questa funzione è un modello matematico attraverso il quale la risposta offerta dal sistema è descritta prima di un segnale di iscrizione.

La funzione di trasferimento può essere espressa in termini di tempo T come g (t) o la variabile S come g.

Quando il segnale di ingresso X (s) arriva al blocco, viene moltiplicato per la funzione di trasferimento e si trasforma nel segnale di uscita Y (S). Matematicamente è espresso come segue:

E (s) = x (s).G (s)

Altrettanto

G (s) = y (s) / x (s)

Somma Somma

La somma o l'estate, è simboleggiata da un cerchio con una croce all'interno. È usato per combinare, per somme e sottrazione, due o più segnali. Alla fine della freccia che simboleggia il segnale, un segno + viene posizionato direttamente se viene aggiunto quel segnale o un segno - se sottratto.

Nella figura seguente c'è un esempio di come funziona l'estate: hai il segnale di input x, a cui vengono aggiunti i segnali a e b, ottenendo di conseguenza l'uscita e, che algebricamente è uguale:

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Y = x+a+b

figura 2. Esempio di applicazione. Fonte: f. Zapata.

Punto di diramazione

È anche chiamato Punto di biforcazione. In esso il segnale che esce da un blocco viene distribuito ad altri blocchi o a un pennacchio. È rappresentato da un punto posizionato sulla freccia del segnale e un'altra freccia viene da essa che reindirizza il segnale verso un'altra parte.

Figura 3. Punto di diramazione. Fonte: f. Zapata.

Esempi di blocchi dell'algebra di blocchi

Come spiegato in precedenza, l'idea è di esprimere il sistema attraverso il diagramma a blocchi e ridurlo per trovare la funzione di trasferimento che lo descrive. Le seguenti sono le regole dell'algebra a blocchi per semplificare i diagrammi:

Blocchi a cascata

Quando hai un segnale che passa in successione attraverso i blocchi G₁, G₂, G₃..., è ridotto a un blocco unico la cui funzione di trasferimento è il prodotto di G₁, G₂, G₃..

Nell'esempio seguente, il segnale X (S) entra nel primo blocco e la sua uscita è:

E₁(s) = x (s).G₁(S)

Figura 4. Due blocchi in cascata. Fonte: f. Zapata.

A sua volta e₁(s) Immettere il blocco G₂(s), la cui partenza è:

E₂(s) = x (s).G₁(S). G₂(S)

La procedura è valida per n blocchi a cascata:

E_N (s) = x (s). G₁(S).G₂(S) ... G_N(S)

Blocchi in parallelo

Nel diagramma a sinistra, il segnale X (S) Bifurca per entrare nei blocchi G₁(S) e g₂(S):

Figura 5. Due blocchi in parallelo. Fonte: f. Zapata.

I rispettivi segnali di output sono:

E₁(s) = x (s).G₁(S)

E₂(s) = x (s).G₂(S)

Questi segnali vengono aggiunti per ottenere:

C (s) = y₁(s) +₂(s) = x (s).[G₁(s) + g₂(S)]

Come mostrato nel diagramma a destra.

Sposta un pretendente a sinistra

Un'estate può spostarsi a sinistra del blocco come segue:

Figura 6. Sposta l'addor a sinistra del blocco. Fonte: f. Zapata.

A sinistra il segnale di uscita è:

C (s) = r (s). G (s) - x (s)

Equivalentemente a destra:

C (s) = [r (s) - x (s)/g (s)].G (s)

Sposta a destra a destra

L'estate può spostarsi a destra del blocco in questo modo:

Figura 7. Sposta una trama a destra del blocco. Fonte: f. Zapata.

A sinistra che hai: [r (s) - x (s)].G (s) = c (s)

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E a destra:

R (S). G (s) - x (s).G (s) = c (s)

Sposta un punto di biforcazione da sinistra a destra

Per spostare il punto di biforcazione da sinistra a destra del blocco, è sufficiente osservare che le C (S) di uscita a destra sono il prodotto X).G (s). Quando vuoi diventare di nuovo X (S), viene moltiplicato per l'inverso di G (S).

Figura 8. Sposta un punto di ramo da sinistra a destra. Fonte: f. Zapata.

Sposta un punto di biforcazione da destra a sinistra

In alternativa, il punto di biforcazione può spostarsi da destra a sinistra come segue:

Figura 9. Sposta un punto di ramo da destra a sinistra. Fonte: f. Zapata.

Poiché l'output della biforcazione vuole ottenere C (s), un nuovo blocco G (s) è semplicemente intervallato in un punto di biforcazione a sinistra del blocco originale.

Sistema con feedback

Nel seguente sistema il segnale di uscita C (S) viene alimentato attraverso il sottomesso a sinistra:

Figura 10. Sistema con feedback. Fonte: f. Zapata.

C (s) = e (s).G (s)

Ma:

E (s) = r (s) -c (s)

Sostituire questa espressione nell'equazione precedente è: c (s) = [r (s) -c (s)]].G (s), da cui è possibile cancellare C (S):

C (s) + c (s).G (s) = r (s).G (s) → C (s). [1 + g (s)] = r (s).G (s)

C (s) = r (s).G (s) / [1 + g (s)]

O alternativamente:

C (s) / r (s) = g (s) / [1 + g (s)]]

Graficamente, dopo averlo semplificato è:

Figura 11. Semplificazione di un sistema con feedback. Fonte: f. Zapata.

Sistema con feedback e trasduttore

Il trasduttore è costituito dalla funzione di trasferimento H (s):

Figura 12. Sistema con feedback e trasduttore. Fonte: f. Zapata.

Nel diagramma giusto, il segnale di uscita C (S) è:

C (s) = e (s). G (s) con e (s) = r (s) - c (s).H (s)

COSÌ:

C (s) = [r (s) - c (s). H (s)]. G (s)

C (S) [1+ H (S).G (s)] = r (s).G (s)

Pertanto, C (s) possono essere cancellati da:

C (s) = g (s).R (s) / [1+ H (s).G (s)]

E la funzione di trasferimento sarà:

G (s) / [1+ H (s).G (s)]

Come mostrato nel diagramma destro semplificato.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Trova la funzione di trasferimento del seguente sistema:

Figura 13. Sistema a due blocchi in cascata. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Sono due blocchi a cascata, quindi la funzione di trasferimento è il prodotto delle funzioni g₁ e g₂.

Si deve:

G₁ = 2/s

G₂ = 2 /(s+1)

Pertanto la funzione di trasferimento ricercata è:

G (s) = 4 / [s (s+1)]

Esercizio 2

Ridurre il seguente sistema:

Figura 14. Semplificazione di un sistema. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Prima la cascata G è ridotta₂, G₃ e g_4, E il parallelo G è separato₅ e g₆:

Figura 15. Riduzione della cascata centrale. Fonte: f. Zapata.

Quindi, il pretendente a sinistra del blocco G₂ ⋅g₃ ⋅ g₄ Si muove a destra:

Figura 16. Trasferimento dell'amministratore. Fonte: f. Zapata.

Le estati di destra sono ridotte a una, così come i blocchi a cascata:

Figura 17. Riduzione della nuova cascata e delle estati a destra. Fonte: f. Zapata.

Infine, l'output del sistema è:

E (s) = x (s) ⋅g₁⋅ g₂ ⋅g₃ ⋅ g₄ + C (s) ⋅ [G₅ - G₆ ⋅ g₂ ⋅g₃ ⋅ g₄"

Riferimenti

1. Alaydi, j. Controllo del diagramma a blocchi di sistema. Recuperato da: sito.Iugaza.Edu.$.
2. Bolton, w. 2006. Ingegneria di controllo. 2 °. Edizione. Alfa Omega.
3. Cwalinsky, J. Introduzione all'algebra del blocco di sistema. Recuperato da: cedengineering.com.
4. Papà. Diagramma di blocchi. Recuperato da: Dademuch.com.
5. Ogata, k. 2010. Moderna ingegneria di controllo. 5 °. Edizione. Pearson.