Leggi degli esponenti

Quali sono le leggi degli esponenti?

IL Leggi degli esponenti Sono quelli che si applicano a quel numero che indica quante volte un numero di base deve essere moltiplicato da solo. Gli esponenti sono anche noti come poteri. Il potenziamento è un'operazione matematica formata da una base (a), l'esponente (m) e la potenza (b), che è il risultato dell'operazione.

Gli esponenti vengono generalmente utilizzati quando vengono utilizzate quantità molto grandi, perché non sono altro che le abbreviazioni che rappresentano la moltiplicazione dello stesso numero un certo numero di volte. Gli esponenti possono essere sia positivi che negativi.

Cosa sono gli esponenti nelle operazioni matematiche?

Come indicato sopra, gli esponenti sono una forma abbreviata che rappresenta la moltiplicazione dei numeri per se stessi, in cui l'esponente si riferisce solo al numero di sinistra. Per esempio:

2³ = 2*2*2 = 8

In tal caso il numero 2 è la base della potenza, che verrà moltiplicata 3 volte come indicato dall'esponente, situato nell'angolo in alto a destra della base. Esistono diversi modi di leggere l'espressione: 2 elevati a 3 o 2 sollevati al cubo.

Gli esponenti indicano anche il numero di volte che possono essere divisi e per differenziare questa operazione dalla moltiplicazione l'esponente trasporta il segno meno (-) da solo (è negativo), il che significa che l'esponente è nel denominatore di una frazione. Per esempio:

2^{- 4} = 1/2*2*2*2 = 1/16

Questo non dovrebbe essere confuso con il caso in cui la base è negativa, poiché dipenderà dal fatto che l'esponente sia uniforme o strano per determinare se la potenza sarà positiva o negativa. Quindi devi:

- Se l'esponente è pari, il potere sarà positivo. Per esempio:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Se l'esponente è dispari, il potere sarà negativo. Per esempio:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2) = -32.

C'è un caso speciale in cui se l'esponente è uguale a 0, la potenza è uguale a 1. C'è anche la possibilità che la base sia 0; In tal caso, a seconda dell'esponente, il potere sarà indeterminato o no.

Per eseguire operazioni matematiche con esponenti è necessario.

Quali sono le leggi degli esponenti?

Prima legge: potere esponente uguale a 1

Quando l'esponente è 1, il risultato sarà lo stesso valore della base: a¹ = a.

Esempi

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Seconda legge: potere esponente uguale a 0

Quando l'esponente è 0, se la base è diversa da zero, il risultato sarà: a⁰ = 1.

Esempi

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Terza legge: esponente negativo

Poiché l'esponente è negativo, il risultato sarà una frazione, in cui il potere sarà il denominatore. Ad esempio, se M è positivo, allora^-M = 1/A^M.

Esempi

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Quarta legge: moltiplicazione di pari poteri con lo stesso

Per moltiplicare i poteri in cui le basi sono uguali e diverse da 0, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono aggiunti: a^M _* A^N = a^m+n.    

Esempi

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2^undici

Quinta legge: Power Division con la stessa base

Per dividere i poteri in cui le basi sono uguali e diverse da 0, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono sottratti come segue: a^M / A^N = a^M-n.    

Esempi

- 9² / 9¹ = 9 ^(ventuno) = 9¹.

- 6^quindici / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Sesta legge: moltiplicazione di poteri diversi con una base diversa

In questa legge c'è il contrario di ciò che viene espresso nel quarto; Cioè, se hai basi diverse ma con gli stessi esponenti, le basi vengono moltiplicate e l'esponente viene mantenuta: a^M _* B^M = (a_*B) ^M.

Esempi

- 10² _* venti² = (10 _* venti)² = 200².

- Quattro cinque^undici _* 9^undici = (45*9)^{11 =} 405^undici.

Un altro modo per rappresentare questa legge è quando una moltiplicazione è alta per un potere. Pertanto, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (a_*B)^M= a^M_* B^M.

Esempi

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

Settima legge: diversa divisione di potere

Se hai basi diverse ma con gli stessi esponenti le basi sono divise e l'esponente viene mantenuta:^M / B^M = (A / B)^M.

Esempi

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Allo stesso modo, quando una divisione è alta per un potere, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (A / B) ^M = a^M /B^M.

Esempi

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

C'è il caso in cui l'esponente è negativo. Quindi, per essere positivi, il valore del numeratore è investito con quello del denominatore, come segue:

- (A / B)^-N = (b / a)^N = b^N / A^N.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Ottava legge: potere di un potere

Quando hai un potere che viene sollevato ad un altro potere, cioè due esponenti allo stesso tempo, la base viene mantenuta e gli esponenti si moltiplicano: (a^M)^N= a^M*N.

Esempi

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Nona legge: esponente frazionario

Se il potere ha come esponente una frazione, questo viene risolto trasformandola in una radice N-esima, in cui il numeratore rimane come esponente e il denominatore rappresenta l'indice di radice:

Esempio

Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcola le operazioni tra i poteri che hanno basi diverse:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

Soluzione

Applicando le regole degli esponenti, le basi vengono moltiplicate nel numeratore e l'esponente viene mantenuta, in questo modo:

2⁴ _* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Ora, poiché ci sono basi uguali, ma con esponenti diversi, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono sottratti:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Esercizio 2

Calcola le operazioni tra alte potenze ad un'altra potenza:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

Soluzione

Applicando le leggi, devi:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

= 3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46.656

Riferimenti

1. APonte, g. (1998). Fondamenti di matematica di base. Pearson Education.
2. Corbalán, f. (1997). Matematica applicata alla vita di tutti i giorni.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematica 1 settembre.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra e trigonometria.
5. Rees, p. K. (1986). Reverte.