Legge di Gauss

Spieghiamo cosa è la legge di Gauss, le sue applicazioni e mettiamo gli esercizi risolti

Figura 1. Cariche elettriche all'interno e all'esterno delle superfici gaussiane arbitrariamente. Solo i carichi bloccati all'interno di ciascuna superficie contribuiscono al flusso elettrico netto attraverso di essi

Qual è la legge di Gauss?

IL Legge di Gauss afferma che il flusso di campo elettrico, attraverso una superficie chiusa immaginaria, è proporzionale al valore di carico netto delle particelle trovate all'interno di detto superficie.

Indicando il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa come Φ_E e al carico netto bloccato dalla superficie da Q_enf, Quindi viene stabilita la seguente relazione matematica:

Φ_E = C ∙ Q_enf

Dove C È la costante di proporzionalità.

Spiegazione della legge di Gauss

Per comprendere il significato della legge di Gauss, è necessario spiegare i concetti coinvolti nella sua dichiarazione: carica elettrica, campo elettrico e flusso di campo elettrico attraverso una superficie.

Carica elettrica

La carica elettrica è una delle proprietà fondamentali della materia. Un oggetto caricato può avere uno dei due tipi di carico: positivo o negativo, sebbene normalmente gli oggetti siano neutri, cioè hanno la stessa quantità di carico negativo come positivo.

Due oggetti caricati con caricamento dello stesso tipo vengono respinti anche quando non c'è contatto tra loro e sono al vuoto. Al contrario, quando ciascuno dei corpi ha un sacco di segni diversi, quindi attirano. Questo tipo di interazione a distanza è noto come interazione elettrica.

Nel sistema internazionale di unità se la carica elettrica viene misurata in Culombios (C). Il portatore cargo elementare negativo è il elettrone Con carico di -1,6 x 10^-19C E il portatore di carico elementare positivo è il protone con un valore di carico +1,6 x 10^-19C. I corpi tipicamente caricati hanno tra 10^-9C E 10^-3C.

campo elettrico

Un corpo caricato elettricamente altera lo spazio nei suoi dintorni, riempiendolo di qualcosa di invisibile chiamato campo elettrico. Per sapere che questo campo è presente, è richiesto un carico di test specifico.

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Se il carico di prova viene posizionato in un luogo in cui esiste un campo elettrico, appare una forza su una determinata direzione, che è la stessa di quella del campo elettrico. L'intensità del campo è la forza sul carico di prova divisa per la quantità di carico dello stesso. Quindi, le unità di campo elettrico E Nel sistema internazionale delle unità lo sono Newton fra Coulomb: [E] = N/C.

Carichi specifici positivi producono un campo radiale all'esterno, mentre i carichi negativi producono un campo diretto radialmente verso l'interno. Inoltre, il campo prodotto da un carico puntuale decade con l'inverso del quadrato della distanza da detto carico.

Linee di campo elettrico

Michael Faraday (1791-1867) fu il primo ad avere un'immagine mentale del campo elettrico, immaginandola come linee che seguono la direzione del campo. Nel caso di un carico puntuale positivo queste linee sono radiali a partire dal centro fuori. Dove le linee sono più insieme, il campo è più intenso e meno intenso dove sono più separate.

figura 2. Sulle linee di campo sinistro di due cariche uguali e positive. A destra le linee di campo di carico di uguale magnitudo, ma segni contrari. Le frecce blu rappresentano il vettore del campo elettrico in diverse posizioni. Fonte: Wikimedia Commons.

I carichi positivi sono le fonti da cui emergono le linee di campo elettrico, mentre i carichi negativi sono i lavandini delle linee.

Le linee di campo elettrico non si chiudono su se stesse. In una serie di carichi le linee lasciano le cariche positive ed entrano in quelle positive, ma possono anche arrivare o venire dall'infinito.

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Né si intersecano e in ogni punto nello spazio il vettore di campo elettrico è tangente alla linea di campo e proporzionale alla densità di linea lì.

Figura 3. La ragazza è carica elettricamente per essere in contatto con la cupola di un generatore di van der Graaf. I tuoi capelli seguono le linee di campo elettrico. Fonte: Wikimedia Commons.

Flusso di campo elettrico

Le linee di campo elettrico assomigliano alle linee attuali di un fiume che scorre delicatamente, da qui nasce il concetto di flusso di campo elettrico.

Figura 4. Il flusso di campo elettrico attraverso una superficie di area A dipende dall'angolo formato tra detta superficie e campo e. Il flusso massimo si ottiene quando la superficie è perpendicolare al campo e il flusso è zero quando la superficie è parallela al campo. Fonte: f. Zapata.

In una regione in cui il campo elettrico è uniforme, il flusso φ attraverso una superficie piana è il prodotto del componente normale di E_N a detta superficie, moltiplicati per l'area A Dello stesso:

Φ = e_N ∙ a

Componente e_N Si ottiene moltiplicando l'entità del campo elettrico per il coseno dell'angolo formato tra il campo e il normale vettore dell'unità alla superficie dell'area A. (Vedi Figura 4).

Gauss Law Applications

La legge di Gauss può essere applicata per determinare il campo elettrico prodotto dalle distribuzioni di carico con un alto grado di simmetria.

Campo elettrico di un carico puntuale

Un carico puntuale produce un campo elettrico radiale in uscita se il carico è positivo e in arrivo altrimenti.

Scegliere come una superficie gaussiana una sfera immaginaria di radio R e concentrica al carico Q, in tutti i punti della superficie di detto sfera Il campo elettrico è di uguale magnitudine e la sua direzione è sempre normale alla superficie. Quindi, in questo caso il flusso di campo elettrico è il prodotto dell'entità del campo per l'area totale della superficie sferica:

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Φ = e ∙ a = e ∙ 4πr²

D'altra parte, la legge di Gauss stabilisce che: φ = C ∙ Q, essendo la costante di proporzionalità C. Quando si lavora in unità del sistema di misure internazionali, la costante C È l'inverso dell'indennità del vuoto e la legge di Gauss è formulata come segue:

Φ = (1/ε_O) ∙ Q

Incorporare il risultato ottenuto per il flusso alla legge di Gauss è:

E ∙ 4πr² = (1/ε_O) ∙ Q

E per l'entità di E risultato:

E = (1/4πε_O) ∙ (Q/ R²)

Coincide completamente con la legge di Coulomb del campo elettrico di un carico puntuale.

Esercizi

Esercizio 1

Due cariche specifiche si trovano all'interno di una superficie gaussiana arbitraria. È noto che uno di loro ha un valore di +3 nc (3 nano-coulomb). Se il flusso di campo elettrico netto attraverso la superficie gaussiana è 113 (n/c) m², Quale sarà il valore dell'altro carico?

Soluzione

La legge di Gauss lo stabilisce

Φ_E = (1/ε_O) ∙ Q_enf

Da lì il carico netto bloccato è:

Q_enf = Φ_E ∙ ε_O

Sostituzione dei risultati dei dati:

Q_enf = 113 (N/C) M² ∙ 8,85 x 10^-12 (C² M^-2 N^-1) = 1 x 10^-9 C = 1 NC.

Ma Q_enf = +Q - Q, Laddove il carico positivo ha un valore noto di +3 nc, pertanto, il carico sarà necessariamente -2 NC.

Esercizio 2

Nella Figura 2 c'è una disposizione (a sinistra) di due cariche positive, ognuna con valore +Q e un'altra disposizione (a destra) con un carico +Q e l'altro -q. Ogni disposizione è bloccata in una scatola immaginaria con tutti i suoi bordi da 10 cm. Sì | Q | = 3 μC, trova il flusso di campo elettrico netto attraverso la casella per ogni disposizione.

Soluzione

Nella prima disposizione il flusso netto è:

Φ_E = (1/ε_O) ∙ ( + q + q) = 678000 (n/c) m²

Nella disposizione giusta il flusso di rete attraverso la scatola immaginaria contenente la coppia dei carichi è zero.

Riferimenti

1. Cosenza, m. Elettromagnetismo. Università delle Ande.
2. Díaz, r. Elettrodinamica: note di classe. Università nazionale della Colombia.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 6. Elettromagnetismo. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. Jackson, J. D. Elettodinamica classica. 3 °. Ed. Wiley.
5. Tarazona, c. Introduzione all'elettrodinamica. Università editoriale Manuela Beltrán.