Dimostrazione delle identità pitagoriche, esempio, esercizi

Sono Identità pitagoriche Tutte le equazioni trigonometriche soddisfatte per qualsiasi valore dell'angolo e si basano sul teorema di Pitagora. La più famosa delle identità pitagoriche è l'identità trigonometrica fondamentale:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

Figura 1. Identità trigonometriche pitagoriche.

È ancora più importante e usa l'identità pitagorica della tangente e del Secant:

COS̲(α) + 1 = sec²(α)

E l'identità trigonometrica pitagorica che coinvolge Cotangent e la mietitrice:

1 + ctg²(α) = CSC²(α)

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Dimostrazione

Le ragioni trigonometriche seno E coseno Sono rappresentati in una circonferenza del raggio uno (1) noto come cerchio trigonometrico. Questo cerchio ha un centro all'origine delle coordinate o.

Gli angoli sono misurati dal semi -asse positivo di X, ad esempio l'angolo α nella Figura 2 (vedi più avanti). Contrariamente alle mani dell'orologio se l'angolo è positivo e nella direzione delle mani se è un angolo negativo.

Viene disegnato il semi -giusto con origine o angolo α, che intercetta il cerchio unitario al punto P. Il punto P è proiettato ortogonalmente sull'asse orizzontale X dando origine al punto C. Allo stesso modo P è proiettato perpendicolarmente sull'asse verticale e dando origine al punto s.

Hai il triangolo OCP giusto in C. 

Il seno e il coseno

Va ricordato quella ragione trigonometrica seno È definito su un triangolo di destra come segue:

Il seno di un angolo del triangolo è il rapporto o il rapporto tra la cateto contrario all'angolo e all'ipotenusa del triangolo.

Applicato al triangolo OCP della Figura 2 sarebbe così:

Sin (α) = cp / op

Ma cp = OS e OP = 1, così:

Sin (α) = OS

Il che significa che la proiezione sull'asse y ha un valore pari al seno dell'angolo mostrato. Va notato che il valore massimo del seno di un angolo (+1) si verifica quando α = 90º e il minimo (-1) quando α = -90º o α = 270º.

Può servirti: spazio vettoriale: base e dimensione, assiomi, proprietàfigura 2. Cerchio trigonometrico che mostra la relazione tra il teorema di Pitagora e l'identità trigonometrica fondamentale. (Elaborazione proprie)

Allo stesso modo, il coseno di un angolo è il rapporto tra la categoria adiacente all'angolo e l'ipotenusa del triangolo.

Applicato al triangolo OCP della Figura 2 sarebbe così:

Cos (α) = oc / op

Ma op = 1, così:

Cos (α) = oc

Ciò significa che la proiezione OC sull'asse x ha un valore pari a quello del seno dell'angolo mostrato. Va notato che il valore massimo del coseno (+1) si verifica quando α = 0º o α = 360º, mentre il valore minimo del coseno è (-1) quando α = 180º.

L'identità fondamentale

Per il rettangolo del triangolo OCP, viene applicato il teorema di Pitagora, che afferma che la somma del quadrato delle categorie è uguale al quadrato dell'ipotenusa:

Cp² + Oc² = Op²

Ma è già stato detto che cp = OS = sin (α), che OC = cos (α) e che op = 1, quindi l'espressione precedente può essere riscritta a seconda del seno e del coseno dell'angolo:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

L'asse tangente

Proprio come l'asse X nel cerchio trigonometrico è l'asse del coseno e l'asse e l'asse del seno, allo stesso modo c'è l'asse della tangente (vedi Figura 3) che è precisamente la linea tangente all'unità Cerchia nel punto nella coordinata del punto B (1, 0). 

Se si desidera conoscere il valore della tangente di un angolo, l'angolo viene tratto dal semi -asse positivo della X, l'intersezione dell'angolo con l'asse della tangente definisce un punto Q, la lunghezza del segmento OQ è la tangente dell'angolo.

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Questo perché per definizione, la tangente dell'angolo α è il QB di Cateto opposto tra il Cateto OB adiacente. Vale a dire così (α) = qb / ob = qb / 1 = qb.

Figura 3. Il cerchio trigonometrico che mostra l'asse della tangente e l'identità pitagorica della tangente. (Elaborazione proprie)

L'identità pitagorica della tangente

L'identità pitagorica della tangente può essere dimostrata se viene considerato il triangolo rettangolo in B (Figura 3) (Figura 3). Applicando il teorema di Pitagora a detto triangolo devi bq² + Ob² = Oq². Ma è già stato detto che bq = tan (α), che ob = 1 e che oq = sec (α), in modo che sostituisca l'uguaglianza di Pitagora per il giusto triangolo OBQ ha:

COS̲(α) + 1 = sec²(α).

Esempio

Verificare se le identità pitagoriche sono soddisfatte o meno nel triangolo rettangolo di Catetos AB = 4 e BC = 3.

Soluzione: le categorie sono note, è necessario determinare l'ipotenusa, che è:

Ac = √ (AB^2 + bc^2) = √ (4^2 + 3^2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

L'angolo ∡bac sarà chiamato α, ∡Bac = α. Ora sono determinate le ragioni trigonometriche:

Sin α = bc / ac = 3/5 

Cos α = ab / ac = 4/5 

Tan α = BC / AB = 3/4 

Cotan α = AB / BC = 4/3 

Sec α = AC / AB = 5/4 

CSC α = AC / BC = 5/3

Inizia con l'identità trigonometrica fondamentale:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16)/25 = 25/25 = 1

Si è concluso che è soddisfatto.

- La prossima identità pitagorica è quella della tangente:

COS̲(α) + 1 = sec²(α)

(3/4)^2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16)/16 = 25/16 = (5/4)^2

E si è concluso che l'identità della tangente viene verificata.

- Allo stesso modo quello del cotangent:

Può servirti: selezioni casuali con o senza sostituzione

1 + ctg²(α) = CSC²(α)

1+ (4/3)^2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3)^2

Si è concluso che è anche adempiuto, il che ha completato il compito di verificare le identità pitagoriche per il triangolo dato.

Esercizi risolti

Testare le seguenti identità, in base alle definizioni di ragioni trigonometriche e identità pitagoriche.

Esercizio 1

Dimostra ciò che cos² x = (1 + sen x) (1 - sin x).

Soluzione: Il membro giusto riconosce il notevole prodotto della moltiplicazione di un binomiale con il suo coniugato che, come è noto, è una differenza di quadrati:

Cos² x = 1² - Sen² X

Quindi il termine con il seno sul lato destro passa sul lato sinistro con il segno cambiato:

Cos² X + Sen² x = 1

Notando che è stata raggiunta l'identità trigonometrica fondamentale, quindi si è concluso che l'espressione data è un'identità, cioè è soddisfatta per qualsiasi valore di x.

Esercizio 2

A partire dall'identità trigonometrica fondamentale e utilizzando le definizioni di ragioni trigonometriche per dimostrare l'identità pitagorica del mietitore.

Soluzione: l'identità fondamentale è:

Sen²(x) + cos²(x) = 1

Entrambi i membri sono divisi tra SEN²(x) e il denominatore è distribuito nel primo membro:

Sen²(x)/sin²(x) + cos²(x)/sin²(x) = 1/sen²(X)

È semplificato:

1 + (cos (x)/sen (x))^2 = (1/sin (x))^2

Cos (x)/sin (x) = cotan (x) è un'identità (non -pythagorean) che viene verificata dalla definizione di ragioni trigonometriche. Allo stesso modo si verifica con la seguente identità: 1/sin (x) = CSC (x).

Finalmente devi:

1 + ctg²(x) = CSC²(X)

Riferimenti

1. Baldor J. (1973). Geometria piatta e spazio con un'introduzione alla trigonometria. Culturale centroamericano. C.A.
2. C. E. A. (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
3. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematica 2. Gruppo editoriale di Patria.
4. Iger. (S.F.). Matematica Primo semestre Tacaná. Iger.
5. Jr. Geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
7. Patiño, m. (2006). Matematica 5. PROGRESO EDITORIALE.
8. Wikipedia. Identità e formule di trigonometria. Recuperato da: è.Wikipedia.com