Homotecia negativa

Figura 1. Il triangolo a'b'c 'è la trasformazione omotetica del triangolo ABC rispetto al punto o con un motivo di omotecia negativa r = -1.5 (preparato da: f zapata).

Cos'è l'omotecia negativa?

La omotecia negativa è una trasformazione in cui un poligono contenuto in un piano ha come immagine un altro poligono su quello stesso piano, di angoli uguali e con i lati corrispondenti proporzionali a quelli dell'originale. Quando l'omotecia è negativa, l'immagine viene ruotata di mezzo turno rispetto alla figura iniziale.

La omotecia è caratterizzata da un centro di omotecia O e una costante di proporzionalità chiamata ragione R. Quando R È un numero negativo, quindi si parla di omotecia negativa.

Come viene fatta una trasformazione di omotecia?

Per spiegare come viene eseguita una omotecia negativa, prenderemo il caso della Figura 1 in cui è un triangolo ABC Chi vuole costruire il suo omotetico negativo.

1.- Inizia a scegliere un centro di omotecia, che è questo caso è il punto O.

2.- Da O I segmenti orientati sono costruiti (vettori) OA, Ob E Oc che vanno dal centro dell'omotecia a ciascuno dei vertici del triangolo.

3.- Viene scelta una ragione di omotecia R. Dato che vuoi una omotecia negativa, allora R Deve essere inferiore a zero. Nel caso della Figura 1 è stato preso R = -1.5.

4.- I vettori sono disegnati OA ', Ob ' E OC ', che sono rispettivamente Oa '= r ∙ OA, Ob '= r ∙ ob  E Oc '= r ∙ oc. COME R = -1.5, Questo è un numero negativo, quindi i vettori OA ', Ob ' E OC ' Hanno una direzione contraria alle loro controparti corrispondenti, cioè OA, Ob E Oc. Ma come valore assoluto della ragione R È | R | = 1.5 le dimensioni di OA ', Ob' E OC ' Sono una volta e mezzo più grandi di quelli delle loro controparti OA, Ob E Oc.

5.- Le punte dei vettori OA ', Ob ' E OC ' Definisci i vertici del triangolo A'b'c ' Qual è l'omotetico negativo del triangolo ABC.

Proprietà dell'omotecia negativa

IL Homotecia negativa, chiamato anche Omotecia inversa, Ha le seguenti proprietà:

Può servirti: multipli di 8: cosa sono e spiegazioni

1.- I lati corrispondenti tra il poligono dell'immagine e il poligono originale hanno lunghezze proporzionali, essendo la costante di proporzionalità il valore assoluto del rapporto di omotecia, vale a dire che l'immagine è amplificata in un fattore | r | fino a quando | r | è maggiore dell'unità, ma l'immagine è ridotta se | r | è inferiore all'unità.

2.- Gli angoli tra i lati corrispondenti dell'immagine e la figura originale hanno le stesse misure.

3.- I lati omologhi tra originale e immagine sono paralleli tra loro.

4.- I segmenti corrispondenti nel caso dell'omotecia negativa sono paralleli, ma con guida o direzione opposta. Ad esempio nella Figura 1, il segmento AB ha il suo omologa A'b 'parallelo al primo, ma con la direzione opposta.

Confronto con l'omotecia positiva

Si chiama omotecia positiva che in cui il rapporto omotecia sia un numero positivo. Per costruire una omotecia positiva, gli stessi passaggi sono seguiti come quelli dell'omotecia negativa:

1.- Scegli un centro di omotecia, nel nostro caso il punto O (Vedi Figura 2).

2.- Disegna i segmenti orientati (vettori), che vanno dal centro dell'omotecia ai vertici del poligono, nel caso della Figura 2 questi sono: OA, Ob E Oc.

3.- Scegli un rapporto di omotecia che è un numero positivo, ad esempio, nel caso della Figura 2 è stato scelto R = 0.5.

4.- I vettori sono disegnati OA ', Ob ' E OC ', che sono rispettivamente Oa '= r ∙ OA, Ob '= r ∙ ob E Oc '= r ∙ oc. COME R È un numero positivo, quindi i vettori OA ', Ob ' E OC ' Hanno lo stesso indirizzo di OA, Ob E Oc. Le lunghezze di OA ', Ob' E OC ' Sono la metà che le loro controparti OA, Ob E Oc, Poiché il motivo è R = 0.5.

5.- Finalmente i vertici A'b'c 'sono uniti per ottenere il triangolo omotetico ad ABC con la ragione 1/2.

Può servirti: quadrilatero: elementi, proprietà, classificazione, esempi figura 2. Homotecia positiva giustamente 0,5 dei risultati del triangolo ABC. In omotecia positiva l'orientamento viene mantenuto. (Preparato da: F. Zapata)

Esempi di omotecia

L'omotecia appare in varie situazioni:

Proiettori cinematografici

In un proiettore cinematografico l'immagine registrata in una cornice viene proiettata e si espande su uno schermo, e per la visione della proiezione a destra è necessario che il frame sia investito, poiché il centro di omotecia è al centro della lente della lente Lice della lente del proiettore, tra la cornice e lo schermo (Homotecia negativa, vedi Figura 3)

Figura 3. Homotecia negativa appare nel proiettore del film, tra l'immagine registrata su una cornice traslucida e l'immagine proiettata sullo schermo. Il centro di omotecia si trova sul centro ottico della lente, a sua volta situato tra il telaio e lo schermo. Fonte: f. Zapata.

Fotocamere fotografiche

Questo principio si applica anche alle telecamere: la luce dall'immagine situata a una certa distanza dall'obiettivo è proiettata sul sensore fotografico, che può essere un film chimico sensibile alla luce o un sensore CCD, se si tratta di una fotocamera digitale.

L'immagine registrata nel sensore viene invertita rispetto a quella reale ed è di solito proporzionalmente inferiore a lei.

Applicazione pratica

Il sole non dovrebbe guardare direttamente, perché provoca danni permanenti alla retina, ma ci sono due possibilità per studiarlo: utilizzare filtri che attenuano l'intensità della luce o proiettano la sua immagine su uno schermo.

Può servirti: variazione proporzionale

Un dispositivo di proiezione è costituito da un tubo di lunghezza D. Una delle estremità del tubo è coperta di foglio di alluminio e trapani al centro con un perno. L'altra estremità, che fungerà da schermo, è coperta da carta traslucida, che può essere carta cipolla o carta albanene (carta vegetale).

Esercizio

Determina il diametro del sole, sapendo che il raggio orbitale terrestre è dell'ordine di 150 milioni di chilometri, che il tubo di proiezione, come quello mostrato nella Figura 4, è lungo 2,2 metri e che l'immagine proiettata è 2, 1, 1 CM di diametro.

Figura 4. Nel tubo per proiettare il disco solare si verifica un rapporto omotecia negativo. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

I dati sono i seguenti:

• Lunghezza del tubo: d = 2,2 m
• Diametro dell'immagine proiettato di Sun: S = 2,1 cm
• Distanza dal tubo solare: r = 150 x 10^9 m
• Vero diametro del sole: s = ¿?

Per ottenere il diametro del sole, viene applicato un rapporto di proporzionalità in base alla proporzionalità dell'omotecia (vedi Figura 4):

La distanza dal sole è alla lunghezza del tubo poiché il diametro del sole è al diametro dell'immagine proiettata:

(R / d) = (s / s)

Clegare questa uguaglianza che il diametro reale del sole ha il diametro della proiezione moltiplicata per il quoziente tra la distanza dal sole e la lunghezza del tubo:

S = s (r / d)

Posizionare i valori numerici sono:

S = 2,1 x 10^-2 M (150 x 10⁹ m / 2,2 m)

S = 1,43 x 10⁹ M.

Questo risultato è interpretato come segue: il diametro reale del sole è di 1,43 milioni di chilometri.

Riferimenti

1. Álvaro Rendón, a. R. 2004. Disegno tecnico: taccuino da attività.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. 2002. Affinità, omologia e omotecia.
3. Baer, ​​r. 2012. Algebra lineare e geometria proiettiva. CoUER Corporation.
4. Hebert, e. 1980. Matematica generale, probabilità e statistiche.
5. Messerve, b. E. 2014. Concetti fondamentali della geometria. CoUER Corporation