Iperbole

Cos'è un'iperbole?

L'iperbole è l'insieme di punti del piano in modo tale che il valore assoluto della differenza tra le distanze a due punti fissi, chiamati riflettori, rimane costante. Questo insieme di punti forma la curva con due rami osservati nella Figura 1.

C'è un punto p (x, y), il focali f₁ e f₂ separato una distanza pari a 2c. Il modo matematico di esprimere questa relazione è attraverso:

Figura 1. Hyperbola con asse focale orizzontale. Fonte: f. Zapata.

Tutti i punti dell'iperbole soddisfano questa condizione, che porta all'equazione dell'iperbole, come si vedrà più avanti. Il punto medio tra i riflettori è chiamato centro C e nella figura coincide con il punto (0,0), ma l'iperbole può anche essere spostata e il suo centro corrisponde a un altro punto di coordinata C (h, k).

Nella figura superiore, l'asse X è l'asse focale dell'iperbole, poiché ci sono i riflettori, ma puoi anche costruirne uno il cui asse focale è l'asse e l'asse.

L'iperbole fa parte delle curve note come conico, Si chiamano perché possono essere derivati ​​dal taglio di un cono con una sezione piatta. Un'iperbole si ottiene quando si interseca il cono e il piano, a condizione che non passi attraverso il vertice del cono e l'angolo che forma il piano con l'asse del cono è inferiore a quello che si forma con l'asse di Generatrix del Stesso.

Insieme alla parabola, alla circonferenza e all'ellisse, le coniche sono conosciute fin dai tempi antichi. Il matematico greco Apollonius di Perga (262-190 a.C.) scrisse un trattato di geometria in cui dettagliava le sue proprietà e lui stesso diede loro i nomi con cui si conoscono fino ad oggi.

Caratteristiche dell'iperbole

Queste sono alcune delle caratteristiche più eccezionali di un'iperbole:

1. È una curva piatta, quindi è sufficiente dare le coordinate (x, y) di ogni punto che appartiene ad esso.
2. È anche una curva aperta, a differenza della circonferenza o dell'ellisse.
3. Ha due rami disposti simmetricamente.
4. Sia l'asse verticale che l'asse orizzontale possono essere considerati come assi di simmetria, ma l'asse in cui i riflettori sono chiamati Asse focale o asse principale.
5. È simmetrico rispetto al suo centro.
6. L'iperbole interseca l'asse focale in due punti chiamati Vertici, Ecco perché l'asse focale viene talvolta chiamato Asse reale, mentre l'altro asse viene chiamato Asse immaginario, Perché non ha punti in comune con l'iperbole.
7. Il centro dell'iperbole si trova a metà strada tra i punti chiamati focolai.
8. È associato a due linee molto particolari chiamate asintoti, che sono linee a cui si avvicina l'iperbole, ma senza attraversarli, quando i valori di x e y sono molto grandi. Gli asintoti si intersecano al centro dell'iperbole.

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Equazioni e formule

Equazione hiperbol con centro in (0,0)

A partire dalla definizione fornita all'inizio:

A questa costante positiva, di solito è chiamato 2a ed è la distanza che separa i vertici dell'iperbole, quindi:

D'altra parte, DP₁, Dp₂ e 2c sono i lati del triangolo mostrato nella Figura 1 e per geometria elementare, la sottrazione dei quadrati dei lati di qualsiasi triangolo è sempre inferiore al quadrato del lato rimanente. COSÌ:

4 °² < 4c²

E:

A < c

Questo risultato sarà utile a breve.

Come distanza tra due punti p₁(X₁,E₁) E p₂(X₂,E₂) È:

Sostituendo le coordinate P (x, y), f₁(-C, 0) e f₂(C, 0) Rimane:

Che è equivalente a:

Quadrato in entrambi i membri per eliminare le radici e riorganizzare i termini che raggiungi:

Alla quantità c² - A², che è sempre un importo positivo perché < c, se la denomina b², Pertanto quanto sopra è riscritto come:

B²X² - A²E² = a² B²

Dividendo tutti i termini per² B², È l'equazione dell'iperbole centrata su (0,0) con l'asse reale orizzontale:

Con a e b maggiore di 0. Questa equazione è chiamata Equazione canonica Hyerbola e il denominatore di² Corrisponde sempre alla frazione positiva.

L'iperbole incentrata su (0,0) e con l'asse reale verticale prende la forma:

Intersezioni dell'iperbole con gli assi delle coordinate

Le intersezioni dell'iperbole con gli assi delle coordinate vengono eseguite rispettivamente y = 0 e x = 0 nell'equazione:

Per y = 0

X² /A² = 1 ⇒ x² = a²

X = ± A

L'iperbole si taglia all'asse x in due punti chiamati vertici, le cui rispettive coordinate x sono: x = a y x = -a

Per x = 0

Si ottiene -e² /B² = 1, che non ha una soluzione reale e segue che l'iperbole non si taglia sull'asse verticale.

Equazione di Hyperbola con centro in (h, k)

Se il centro dell'iperbole è al punto C (h, k), allora la sua equazione canonica è:

Elementi hiperbola

figura 2. Elementi hiperbola. Fonte: f. Zapata.

Centro

È il punto medio del segmento f₁F₂ E le sue coordinate sono (h, k) o (x_O,E_O).

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FOCOS

Sono i due punti fissi f₁ e f₂ che sono sull'asse reale dell'iperbole, rispetto alla quale la differenza di distanze al punto P (x, y) rimane costante. La distanza tra i riflettori e il centro dell'iperbole è "C".

Radio vettoriale

Questa è chiamata la distanza tra un punto P e uno dei riflettori.

Distanza focale

È la distanza che separa entrambi i riflettori ed è equivalente a 2c.

Vertici

I vertici v₁ e v₂ Sono i punti in cui l'iperbole interseca l'asse reale. Un vertice e il centro dell'iperbole sono separati dalla distanza a, quindi, la distanza tra i vertici è 2a.

Asse focale, asse principale o asse reale

È l'asse in cui si trovano i riflettori e misura 2c. Può essere posizionato su uno dei due assi cartesiani e l'iperbole lo interseca nei punti chiamati vertici.

Asse trasversale, asse secondario o asse immaginario

È l'asse perpendicolare all'asse focale e misura 2b. L'iperbole non lo interseca, quindi è anche chiamato asse immaginario.

Asintoti

Sono due righe, le cui rispettivi in ​​attesa sono m₁ = (b/a) e m₂ = - (b/a), che sono destinati al centro dell'iperbole. La curva non interseca mai queste linee e il prodotto tra le distanze di qualsiasi punto dell'iperbole agli asintoti, è costante.

Per trovare le equazioni degli asintoti, basta abbinare il lato sinistro dell'equazione canonica di iperbola a 0. Ad esempio, per l'iperbole incentrata sull'origine:

Rettangolo di Hyberbola

È il rettangolo la cui larghezza è la distanza tra i vertici 2a e la distanza 2b ed è focalizzata sul centro dell'iperbole. La sua costruzione facilita il layout manuale dell'iperbole.

Lato dritto

Corda che passa attraverso uno dei riflettori, perpendicolare all'asse reale.

Eccentricità

È definito come il quoziente tra la distanza focale e l'asse reale:

E = c/a

È sempre maggiore di 1, poiché c è maggiore di a e inferiore a √2.

Il valore e indica se l'iperbole è piuttosto chiusa (rettangolo stretto, allungato nella direzione dell'asse principale) o aperto (ampio rettangolo, allungato nella direzione dell'asse immaginario).

Tangente dritto all'iperbole al punto P (x₁,E₁)

Una linea tangente all'iperbole in un punto p (x₁,E₁) È il bisettore dei due vettori di radio di quel punto.

Per un'iperbole con l'asse principale parallelo all'asse x, la pendenza della linea tangente all'iperbole in un punto p (x₁,E₁) è dato da:

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E se l'iperbole è l'asse principale parallelo all'asse Y, allora:

Esempi di iperbola

Dispersione di particelle alfa da un nucleo

Bombardando i nuclei atomici con particelle alfa, che non sono altro che nuclei di elio, questi sono respinti, poiché qualsiasi nucleo atomico ha una carica positiva. Questi nuclei di elio sono dispersi a seguito di traiettorie iperboliche.

Traiettorie dei corpi del sistema solare

Figura 3: pianeti del sistema solare

Nel sistema solare, gli oggetti si muovono sotto l'azione della forza di gravità. La descrizione del movimento deriva da un'equazione differenziale in cui la forza è conservativa e inversamente proporzionale alla piazza della distanza. E le soluzioni di questa equazione sono le possibili traiettorie che seguono gli oggetti.

Bene, queste traiettorie sono sempre coniche: circonferenze, ellissi, parabole o iperpolas. Le prime due sono curve chiuse, ed è così che i pianeti si muovono, ma alcune comete sono ancora traiettorie aperte, come parabole o iperbole, con il sole situato in uno dei riflettori.

Suono minimo

Quando ci sono due fonti sonore, come due altoparlanti che emettono suoni uniformemente in tutte le direzioni, situate lungo una linea retta, i minimi di intensità del suono (interferenza distruttiva) sono su un'iperbole il cui asse principale è detto linea e nei riflettori dei riflettori L'iperbole sono i diffusori.

Esercizio risolto

Trova gli elementi della seguente iperbola: vertici, focolai e asintoti dell'iperbole e costruisci il suo grafico:

Soluzione

Il centro di questa iperbola coincide con l'origine delle coordinate e il suo asse reale è orizzontale, poiché la frazione positiva corrisponde alla variabile x.

I semi -assi di Hyperbola sono:

A² = 16 ⇒ a = 4

B² = 4 ⇒ b = 2

In questo modo, il rettangolo centrale misura 4 unità larghe e 2 unità alte. Ricordando che è stato menzionato sopra che c² - A² = b² , COSÌ:

C² = a² + B² ⇒ c² = 16 + 4 = 20

Pertanto, il semi-servizio focale è:

C = √20 = 2√5

E i focolai sono nei punti coordinati f₁ (-2√5.0) e F₂ (2√5.0).

Le pendici degli asintoti sono:

m = ± (b/a) = ± (2/4) = ± 0.5

Pertanto le rispettive equazioni di ciascuno sono:

E₁ = 0.5x; E₂ = -0.5x

Hyperbola può facilmente rappresentare grafica attraverso software online come Geogebra:

Figura 4. Grafico per l'iperbole dell'esercizio risolto. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Fisicab. Equazione di Hyperbola. Recuperato da: Fisicab.com
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
3. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Formule universe. L'iperbole. Recuperato da: Universoformulas.com
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.