Eptadecágono Properties, Diagonals, Perimeter, Area

Lui Heptadecágono È un poligono regolare di 17 lati e 17 vertici. La sua costruzione può essere fatta in stile euclido, cioè usando solo la regola e la bussola. Fu il grande genio della matematica Carl Friedrich Gauss (1777-1855), contando solo 18 anni, che trovò la procedura per la sua costruzione nel 1796. 

Apparentemente, Gauss si è sempre sentito molto incline a questa figura geometrica, al punto che dal giorno in cui ha scoperto la sua costruzione ha deciso di essere matematico. Si dice anche che volesse che l'Eptadecágono fosse registrato sulla sua lapide.

Figura 1. Heptadecágono è un poligono regolare di 17 lati e 17 vertici. Fonte: f. Zapata.

Gauss ha anche trovato la formula per determinare quali poligoni regolari hanno la possibilità di essere costruiti con regola e bussola, poiché alcuni non hanno una costruzione euclidea esatta.

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Caratteristiche di Heptadecágono

Per quanto riguarda le sue caratteristiche, come ogni poligono, la somma dei suoi angoli interni è importante. In un poligono regolare di N lati, la somma è data da:

Sa (n) = (n -2) *180º.

Per l'Eptadecágono il numero di lati N È 17, Ciò significa che la somma dei suoi angoli interni è:

SA (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.

Questa somma, espressa in Radias è così:

SA (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π

Dalle formule precedenti si può facilmente dedurre che ogni angolo interno di un eptadecágono ha una misura α esatta data da:

α = 2700º/17 = (15/17) π radianti

Ne consegue che l'angolo interno approssimativamente è:

α ≈ 158.824º

Diagonali e perimetro

Diagonali e perimetro sono altri aspetti importanti. In ogni poligono il numero di diagonali è: 

D = n (n - 3) / 2 e nel caso di Heptadecágono, come N = 17, Si deve D = 119 diagonali.

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D'altra parte, se è nota la lunghezza di ciascun lato dell'eptadecágono, allora il perimetro del normale eptadecágon sta semplicemente aggiungendo 17 volte quella lunghezza o ciò che è equivalente 17 volte la lunghezza D Su ciascun lato:

P = 17 d

Perimetro di Heptadecágono 

A volte è nota solo la radio R dell'Eptadecágono, quindi è necessario sviluppare una formula per questo caso.

A tal fine, il concetto di apotema. Apotheme è il segmento che va dal centro del normale poligono al punto medio su un lato. L'Apothem rispetto al lato è perpendicolare a quel lato (vedi Figura 2).

figura 2. Sono mostrate le parti di un normale poligono Radio R e il suo Apothem. (Elaborazione proprie)

Inoltre, Apothem è bisettore dell'angolo con vertice centrale e lati su due vertici consecutivi del poligono, ciò consente di trovare una relazione tra la radio R e il lato D.

Se viene chiamato β all'angolo centrale Doe E tenendo conto di quell'apothem OJ è bisettore che hai Ex = d/2 = r sen (β/2), dove hai una relazione per trovare la lunghezza D Sul lato di un poligono noto la sua radio R e il suo angolo centrale β:

D = 2 r sin (β/2)

Nel caso di Heptadecágon β = 360º/17 Per quello che hai:

D = 2 r sen (180º/17) ≈ 0,3675 R

Infine, la formula del perimetro dell'Eptadecágono noto il suo raggio è ottenuta:

P = 34 R SEN (180º/17) ≈ 6.2475 r

Il perimetro di un eptadecágonon PCIR = 2π r ≈ 6.2832 r.

La zona

Per determinare l'area di Heptadecágono, ci riferiremo alla Figura 2, che mostra i lati e l'apothem di un normale poligono di N lati. In quella figura il triangolo EOD Ha un'area pari alla base D (lato poligono) per altezza A (Polygon Apothem) diviso per 2:

Può servirti: serie di potere: esempi ed esercizi

EOD = (d x a) / 2

Così quel noto apotheme A dell'Eptadecágono e del lato D dello stesso è:

Area di Heptadecágono = (17/2) (d x a)

Area data il lato

Per ottenere una formula per l'area di Heptadecágono conosce la lunghezza dei suoi diciassette lati, è necessario ottenere una relazione tra la lunghezza del apoteme A e il lato D.

In riferimento alla Figura 2 hai la seguente relazione trigonometrica:

Tan (β/ 2) = eg/ oj = (d/ 2)/ a, essendo β all'angolo centrale Doe. In modo che Apothem A può essere calcolato se la lunghezza è nota D Dal lato poligono e dall'angolo centrale β:

A = (d/2) cotan (β/2)

Se questa espressione per Apothem è ora sostituita, nella formula dell'area di Eptadecágono ottenuta nella sezione precedente, hai:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) Cotan (β/2)

Essendo β = 360º/17 Per l'Eptadecágono, quindi hai finalmente la formula desiderata:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) Cotan (180º/17)

Area data la radio

Nelle sezioni precedenti, era stata trovata una relazione tra il lato D di un poligono normale e la sua radio R, quanto segue è: quanto segue: quanto segue è:

D = 2 r sin (β/2)

Questa espressione per D Viene introdotto nell'espressione ottenuta nella sezione precedente per l'area. Se vengono effettuate le sostituzioni e le semplificazioni pertinenti, si ottiene la formula che consente di calcolare l'area di Eptadecágono:

Area Heptadecágono = (17/2) (R²) Sin (β) = (17/2) (R²) Sen (360º/17)

Un'espressione approssimativa per l'area è:

Area di Heptadecágono = 3.0706 (R²) 

Come previsto, quest'area è un po 'inferiore all'area del cerchio che circoscrive l'Eptadecágon A_Circ = π r² ≈ 3.1416 r². Per essere precisi, è inferiore del 2% a quello del suo cerchio circoscritto.

Può servirti: area di un pentagono normale e irregolare: come viene preso, esercizi

Esempi

Esempio 1

Per un eptadecágono per avere 2 cm lati, quale valore dovrebbe avere il raggio e il diametro della circonferenza circoscritta? Trova anche il valore perimetrale.

Per rispondere alla domanda è necessario ricordare la relazione tra il lato e il raggio di un normale poligono di N lati:

 D = 2 r sen (180º / n)

Per Heptadecágono N = 17, quindi D = 0,3675 r, In altre parole

10.8844 cm di diametro.

Il perimetro di un laterale di 2 cm Heptadecágon è p = 17* 2 cm = 34 cm.

Esempio 2

Quanto costa l'area di un normale eptadecágono de 2 cm?

È necessario fare riferimento alla formula dimostrata nella sezione precedente, che consente di trovare l'area di un eptadecágono quando la lunghezza è D Dalla sua parte:

Area Heptadecágono = (17/4) (D²) / Tan (180º / 17) 

Quando si sostituisce D = Si ottiene 2 cm nella formula anteriore:

La zona = 90,94 cm

Riferimenti

1. C. E. A. (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematica 2. Gruppo editoriale di Patria.
3. Liberato, k. (2007). Scopri i poligoni. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, v. (2013). Poligoni generalizzati. Birkhäuser.
5. Iger. (S.F.). Matematica Primo semestre Tacaná. Iger.
6. Jr. Geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
8. Patiño, m. (2006). Matematica 5. PROGRESO EDITORIALE.
9. Sada, m. 17 lati regolari con regola e bussola. Recuperato da: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecágono. Recuperato da: è.Wikipedia.com