Geometria analitica

Spieghiamo cosa sono la geometria analitica, la sua storia, cosa sono studi e applicazioni

Cos'è la geometria analitica?

IL geometria analitica È il ramo della matematica in cui sono combinate geometria e algebra, per risolvere vari problemi geometrici attraverso tecniche algebriche.

Usa sistemi di coordinate, come il sistema di coordinate cartesiane, che deve il suo nome René Descartes. In questo modo, è possibile associare le curve nel piano e nello spazio, alle equazioni algebriche.

Diagramma di una superficie nello spazio e il suo derivato direzionale, una delle molte applicazioni più avanzate della geometria analitica. Fonte: Wikimedia Commons.

Un esempio di ciò è l'equazione ben nota del raggio R -Irone centrato sull'origine del sistema di coordinate:

Indubbiamente, in molti casi è più semplice funzionare con l'espressione algebrica di una curva, che con la sua rappresentazione geometrica stessa. Questo è il caso in cui si calcolano le intersezioni tra le curve o si trovano linee tangenti o essiccanti.

Allo stesso modo, attraverso la geometria analitica, è possibile mettere la grafica delle funzioni di layout. E come è noto, le funzioni consentono la modellizzazione dei problemi scientifici e ingegneristici. Pertanto, la geometria analitica è presente nei curricula delle carriere associate a queste aree di conoscenza.

Breve storia di geometria analitica

La geometria analitica ha la sua origine nella prima metà del 17 ° secolo, per mano di due notevoli matematici francesi: René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665).

Rene Descartes

Tuttavia, si può dire che il suo background risale al secolo, al matematico greco Apollonio di Pergamo (262-190 A.C.). Ha scritto un trattato sulla conica, a cui ha concesso i loro nomi: circonferenza, ellisse, parabola e iperbole.

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Pertanto, il lavoro di Apollonio era la base per, molto più tardi, il francese René Descartes e Pierre de Fermat gettavano le basi della geometria analitica, indipendentemente. Ma Descartes è considerato il padre di questa scienza, poiché è stato il primo a pubblicare le sue opere.

Descartes, Fermat ed Euler

Nel discorso del metodo del 1637, Descartes unificava due discipline che fino ad allora erano state separate: algebra e geometria. Nel suo lavoro, Descartes introduce il sistema di coordinate cartesiane, per individuare i punti nel piano e nello spazio.

Fa anche uso di equazioni algebriche di secondo grado con due variabili, per descrivere le sezioni coniche ed è dedicato alla risoluzione di problemi geometrici con loro. Anche per creare una buona parte della notazione matematica attualmente utilizzata.

Pierre de Fermat è più associato all'ottica che alla geometria analitica, tuttavia i loro contributi sono notevoli.

Nel 1629, Fermat riprese le coniche di Apollonius di Pergamo e creò le tecniche che costituiscono la geometria analitica, inventando il proprio sistema di coordinate e definendo chiaramente il concetto chiave di Posto geometrico, con cui inizia lo studio della geometria analitica.

Tuttavia, le opere di Fermat non vedono la luce fino al 1679, pubblicato da suo figlio, quando il matematico era già morto. Per questo motivo, la paternità della geometria analitica è attribuita a Descartes.

Successivamente ai matematici francesi, lo svizzero Leonardo Euler (1707-1783) istituì le basi formali della geometria analitica. Euler ha introdotto diversi sistemi di coordinate nel piano e nello spazio: coordinate rettangolari, polari e oblique, nonché trasformazioni da un sistema a un altro.

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Nelle sue opere sulla geometria analitica, Euler ha anche approfondito la classificazione di varie curve, in base al grado dell'equazione algebrica rappresentativa (terzo e quarto ordine) e ha studiato intensamente le sue proprietà, le equazioni dei tangenti, le curvature, le simmetrie e le simmetrie e molto Di più.

What Studies Geometry Analytical?

In generale, la geometria analitica si concentra sullo studio di elementi geometrici, come punti, segmenti, linee, curve, superfici e volumi. Per fare ciò, come detto sopra, stabilisce equazioni algebriche che descrivono e mettono in relazione questi elementi, consentendo la loro gestione attraverso tecniche algebriche.

Gli obiettivi principali della geometria analitica, in un modo molto sommario, sono i seguenti:

1. Stabilire il sistema di coordinate cartesiane e il sistema di coordinate polari, per individuare i punti sul piano, nonché la sua estensione ai punti nello spazio.
2. Disegna segmenti, dritti, curve e superfici sul piano e spazio cartesiano.
3. Dedurre le equazioni che descrivono analiticamente una curva e la sua costruzione sul piano e/o nello spazio, nonché lo studio di tutte le sue proprietà.
4. Classifica curve, superfici e volumi.
5. Deriva formule fondamentali per risolvere i problemi su punti notevoli, dritti, piani, angoli, parallelismo, perpendicolarità, distanze, incroci, aree e altro ancora.
6. Risolvi i problemi geometrici attraverso l'applicazione di metodi algebrici, per le quali formule si riferiscono a punti notevoli, equazioni per linea, piani, angoli, distanza tra punti, tra linee e punti, punti di tangenza, linee asciutte, aree e molto altro.
7. Lavora con spazi vettoriali e prodotti tra vettori.

Distanza tra due punti

Come esempio delle numerose applicazioni della geometria analitica, una delle più semplici è il calcolo della distanza tra due punti del piano. Sono due punti p₁ E p₂, di coordinate (x₁,E₁) e (x₂,E₂) rispettivamente, la distanza D tra loro è calcolata da:

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Coordinate polari

Un punto piano può essere specificato attraverso la sua distanza "R" dall'origine del sistema di coordinate, chiamato Polo, e l'angolo che forma la linea che contiene al punto e al polo, con l'asse orizzontale o l'asse polare.

L'immagine mostra le coordinate polari di un punto p, dove r = 2.65 e l'angolo in gradi rispetto all'asse polare è di 155º. Fonte: Wikimedia Commons.

Applicazioni di geometria analitica

Fondazione del calcolo infinitesimale

La geometria analitica è essenziale per lo sviluppo del calcolo infinitesimale, poiché facilita la rappresentazione grafica di curve e funzioni e lavorare con loro in modo analitico, per creare modelli che rappresentano fenomeni di natura.

Mappe

Il sistema di coordinate cartesiane aiuta a creare mappe e identificare i luoghi attraverso latitudine e lunghezza, equivalenti alle coordinate cartesiane di un punto sul piano.

Calcoli topografici

Diversi tipi di sistemi di coordinate vengono utilizzati nella topografia e costituiscono la base del loro studio e delle loro applicazioni. Tra questi c'è il sistema di coordinate polari sopra descritto.

Traiettorie di corpi celesti

Le sezioni coniche, descritte attraverso la geometria analitica, partecipano a importanti fenomeni della natura, come le traiettorie dei corpi celesti, soggetti alla forza di gravità. Ad esempio, i pianeti e alcune comete descrivono traiettorie ellittiche intorno al sole, con questo situato in uno dei riflettori.

Architettura civile e costruzioni

Numerose curve fanno parte delle costruzioni architettoniche, ad esempio, i cavi di un ponte sospeso possono assumere la forma di parabole.

Sistemi di posizionamento globale

Il sistema di posizionamento globale o il GPS rende possibili posizioni con precisione, nonché oggetti in movimento, come veicoli e barche. Aiuta anche le persone a raggiungere più facilmente le loro destinazioni, guidandole sui percorsi migliori.