Matematica

Funzioni vettoriali

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Ruth Cattaneo

Quali sono le funzioni vettoriali?

UN funzione vettoriale di un parametro T, È una funzione il cui dominio sono i valori reali di T, mentre il percorso è formato da vettori della forma R (T). Tale funzione può essere espressa come:

R (T) = f (T) Yo + G (T) J + H (T) K

Dove Yo, J E K Sono i vettori dell'unità nelle tre direzioni principali dello spazio e le funzioni f, g e h sono funzioni reali della variabile T. La notazione fa uso di grassetto, per distinguere le magnitudini vettoriali.

Una funzione vettoriale nello spazio può essere utilizzata per descrivere una curva C, unendo i punti estremi di ciascuno dei vettori determinati da detta funzione. Fonte: Wikidot.

Un altro modo di indicare una funzione vettoriale è attraverso parentesi quadrate:

R (T) = T), G (T), H (T)>

Le funzioni vettoriali possono essere utilizzate per studiare le curve nel piano e nello spazio, come la traiettoria che segue un oggetto in movimento. Un esempio è la parabola descritta da una palla proiettata con velocità iniziale, sotto gravità.

Se vuoi conoscere la posizione della palla in ogni momento T, La funzione vettoriale con due componenti, uno orizzontale e uno verticale:

R (T) = x (T) Yo + E(T) J

Entrambi x (T) come y (T) Sono funzioni temporali T. Pertanto, quando si uniscono i punti estremi di ciascuno dei vettori R(T) Possibile, forma la parabola descritta dalla palla nel piano XY.

Il concetto si estende facilmente a una curva C nello spazio, come quella mostrata nella figura sopra. I vettori appaiono in esso R (-1), R (0), R (1) R (2), le cui estremità disegnano la curva C, disegnate in verde.

Limiti, derivati e integrale delle funzioni vettoriali

Gli strumenti di calcolo che si applicano alle funzioni variabili reali possono anche essere applicati alle funzioni vettoriali.

Può servirti: fattorizzazione

Limite di una funzione vettoriale

Il limite della funzione vettoriale R (T) = f (T) Yo + G (T) J + H (T) K, Quando t → A, è definito come:

$\dpi110 \displaystyle \lim_t \to a\textbfr(t)=\left [ \displaystyle \lim_ t\to a f(t)\right ]\textbfi+\left [ \displaystyle \lim_ t\to a g(t)\right ]\textbfj+\left [ \displaystyle \lim_ t\to a h(t)\right ]\textbfk$

Supponendo che ci siano i rispettivi limiti di F (T), G (T) e H (T), Quando T → A.

Derivato da una funzione vettoriale

La definizione di derivata da una funzione vettoriale R (t) = f (T) Yo + G (T) J + H (T) K È analogo a quello del derivato di una vera funzione della vera variabile. Chiamata R'(t) a detto derivato, hai:

$\dpi110 \mathbfr'(t)=\displaystyle \lim_\Delta t \to 0\frac\mathbfr(t+\Delta t)-\mathbfr(t)\Delta t$

Il derivato esiste ogni volta che esiste il limite precedente e, in tal caso, la funzione R(T) è differenziabile in T.

Parte integrante di una funzione vettoriale

Essere R (t) = f (T) Yo + G (T) J + H (T) K una funzione vettoriale, tale che le funzioni f, g e h sono integrabili in T.

COSÌ:

$\dpi110 \int \mathbfr(t)dt =\left [ \int f(t)dt \right ]\mathbfi+\left [ \int g(t)dt \right ]\mathbfj+\left [ \int h(t)dt \right ]\mathbfk+\mathbfC$

Con:

C = c₁Yo + C₂J

Ciò significa che la costante di integrazione è anche un vettore, ma costante.

Esempi di funzioni vettoriali

Esempio 1

Hai la funzione vettoriale fornita da R (T) = 3sec T Yo + 2tan T J. È possibile valutarlo per diversi valori t, come t = π/4 e t = π, dando origine a vettori R (π/4) e R (π):

R (π/4) = 3sec (π/4) Yo + 2tan (π/4) J = 3√2 Yo + 2 J

R (π) = 3sec (π) Yo+2tan (π) J = - 3 Yo

Tuttavia, R (T) Non esiste per i valori di t = ∓π/2, ∓3π/2, ∓5π/2 ..., poiché la funzione SEC T = 1 /cos T Non è definito, neanche è così T = sen T / cos T.

Pertanto, il dominio della funzione r (t) è tutti i valori reali di T, ad eccezione di quelli della forma:

∓ (2n+1) π/2; Con n = 0, 1, 2, .. .

Il grafico della funzione è un'iperbole:

Grafico delle funzioni vettoriali R (t) = 3sec t Yo+2 tan t J. Fonte: f. Zapata attraverso Desmos.

Esempio 2

Nel lancio di proiettili inclinati, la posizione mobile è la funzione vettoriale R (T) = x (T) Yo + E(T) J . Supponendo che la resistenza all'aria non intervenga e che la gravità sia l'unica forza che agisce sul cellulare, il movimento orizzontale è rettilineo uniforme, mentre il verticale è uniformemente accelerato, essendo G = 9.8 m/s² Il valore di accelerazione. Questa accelerazione è verticale verso il terreno.

Può servirti: regole di derivazione (con esempi)

In questo caso, le funzioni x (T) E (T) Sono rispettivamente:

x (t) = x_O + v_bue∙ t
e (t) = y_O + v_Oy∙ t - ½ gt²

Gli importi v_bue e v_Oy Sono i componenti della funzione vettoriale che descrive la velocità mobile in ogni momento:

v (T) = v_X(T) Yo + v_E(T) J

Con:

v_bue = v_O∙ cos θ
v_Oy = v_O∙ sen θ

Essendo θ l'angolo che forma la velocità iniziale rispetto all'orizzontale.

Da parte sua, la posizione iniziale del cellulare è il punto di coordinate (x_O,E_O), o equivalentemente, il vettore di posizione dato da:

R_O (T) = x_O Yo + E_O J

Si noti che, nelle equazioni mostrate, il segno negativo è stato assegnato alla direzione verticale, quindi il terzo termine dell'equazione per y (t) lo prende. È anche possibile assegnare l'origine alla posizione iniziale del cellulare.

Velocità istantanea del proiettile

La velocità istantanea v (t) è la prima derivata dalla posizione, rispetto al tempo. Viene calcolato applicando le regole di derivazione note:

v(t) = R ' (T) = [x (T) Yo + E(T) J"'= X '(T) Yo + E'(T) J = v_bueYo + (v_Oy - GT) J

Il modulo di velocità è dato da:

$\dpi110 \left|\textbfv \right|=\sqrtv_ox^2+v_oy^2$

Accelerazione istantanea del proiettile

È noto che è g, nella direzione verticale e nella direzione verso il basso. Questo è verificato sapendo che l'accelerazione è la prima derivata della velocità rispetto al tempo (o la seconda derivata della posizione rispetto al tempo, se preferito):

A(t) = V ' (T) = [V_bueYo + (v_Oy - GT) J] '= [V_bueYo] '+ [(V_Oy - GT) J] '= = - g J

Questo è proprio il risultato atteso.

Esercizio risolto

Data la funzione vettoriale R (T) = 3t Yo + (T - 1) J, Trovare R '(t) e R "(T).

Soluzione

Applicando le regole di derivazione a ciascuno dei componenti, hai:

Può servirti: costante di integrazione: significato, calcolo ed esempi

R '(t) = = 3 Yo + J

E, poiché il derivato di una costante è 0:

R "(t) = 0

Cioè per dire, R "(t) è uguale al vettore nullo.

Riferimenti

Figueroa, d. 2005. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
Larson, r. Calcolo con geometria analitica. 2 °. Edizione. McGraw Hill.
Mathonline. Funzioni con valori vettoriali. Recuperato da: Mathonline.Wikidot.com.
Opentax. Volume di calcolo 3. Estratto da: OpenStax.org.
Purcell, e. J. 2007. Calcolo. Pearson Education.

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