Tipi di funzioni trascendenti, definizione, proprietà, esempi

IL funzioni trascendenti Gli elementali sono funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, trigonometriche inverse, iperboliche e iperboliche inverse. Cioè, sono quelli che non possono essere espressi da un rapporto di radici polinomiali, polinomiali o polinomiali. 

Le funzioni trascendenti non elementari sono anche conosciute come funzioni speciali e tra questi si può nominare la funzione di errore. IL funzioni algebriche (polinomi, quozienti polinomiali e radici polinomiali) accanto al funzioni trascendenti Gli elementali costituiscono ciò che in matematica è noto come funzioni elementari.

È inoltre considerato funzioni trascendenti che derivano da operazioni tra funzioni trascendenti o funzioni trascendenti e algebriche. Queste operazioni sono: la somma e la differenza di funzioni, prodotto e rapporto di funzioni, nonché la composizione di due o più funzioni.

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Definizione e proprietà

Funzione esponenziale

È una vera funzione della vera variabile indipendente della forma:

f (x) = a^x = a^X

Dove A È un numero reale positivo (A> 0) fisso chiamato la base. La circostanza o la supervisione vengono utilizzate per indicare l'operazione di potenziamento.

Mettiamo in ogni caso A = 2 Allora la funzione è così:

f (x) = 2^x = 2^X

Che verrà valutato per diversi valori della variabile indipendente x:

Di seguito è riportato un grafico in cui è rappresentata la funzione esponenziale per diversi valori di base, inclusa la base E (Numero neper E ≃ 2.72). Base E È così importante che, in generale, quando si parla di funzione esponenziale, ci pensi E^x, Questo è anche indicato exp (x).

Figura 1. Funzione esponenziale a^x, per diversi valori della base a. (Elaborazione proprie)

Proprietà della funzione esponenziale

Dalla Figura 1 si può vedere che il dominio delle funzioni esponenziali sono numeri reali (dom f = R) e l'intervallo o il percorso sono quelli reali positivi (Ran f = R⁺). 

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D'altra parte, indipendentemente dal valore della base A, tutte le funzioni esponenziali attraversano il punto (0, 1) e per punto (1, A). 

Quando la base A> 1, Quindi la funzione sta crescendo e quando 0 < a < 1 La funzione sta diminuendo. 

Le curve di y = a^x e di y = (1/a)^x  Sono simmetrici rispetto all'asse E. 

Ad eccezione del caso A = 1, La funzione esponenziale è iniettiva, cioè per ogni valore dell'immagine, uno corrisponde e solo un valore iniziale.

Funzione logaritmica

È una vera funzione effettiva della vera variabile indipendente in base alla definizione del logaritmo di un numero. Logaritmo basato A di un numero X, È il numero E a cui la base deve essere sollevata per ottenere l'argomento X:

tronco d'albero_A(x) = y ⇔ a^y = x

Questo è il funzione logaritmo in base A È la funzione inversa alla funzione esponenziale basata su A.

Per esempio:

tronco d'albero₂1 = 0, poiché 2^0 = 1

Un altro caso, registro₂4 = 2, perché 2^2 = 4

Il logaritmo di root di 2 è log₂√2 = ½, perché 2^½ = √2

tronco d'albero₂ ¼ = -2, in vista che 2^(-2) = ¼ 

Di seguito è riportato un grafico della funzione del logaritmo in varie basi.

figura 2. Funzione esponenziale per diversi valori di base. (Elaborazione proprie)

Proprietà della funzione logaritmo

Il dominio della funzione del logaritmo e (x) = logA(X)  Sono i numeri reali positivi R+. L'intervallo o il percorso sono i numeri reali R.

Indipendentemente dalla base, la funzione del logaritmo passa sempre attraverso il punto (1.0) e il punto (a, 1) appartiene al grafico di detta funzione.

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Nel caso in cui la base A sia maggiore dell'unità (A> 1) la funzione del logaritmo sta aumentando. Ma sì (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.

Seno, coseno e funzioni tangenti

La funzione sinusoidale assegna un numero reale e ad ogni valore x, dove x rappresenta la misura di un angolo in radianti. Per ottenere il valore di sen (x) da un angolo, l'angolo è rappresentato nel cerchio unitario e la proiezione di detto angolo sull'asse verticale è il seno corrispondente a quell'angolo.

Di seguito è (nella Figura 3) il cerchio trigonometrico e il seno per diversi valori angolari x1, x2, x3 e x4.

Figura 3. Cerchio trigonometrico e il seno di diversi angoli. (Elaborazione proprie)

Definito in questo modo il valore massimo che la funzione Sen (x) può avere è 1, che si verifica quando x = π/2 + 2π N, essendo n un numero intero (0, ± 1, ± 2,). Il valore minimo che la funzione Sen (x) può prendere quando x = 3π/2 + 2π n. 

La funzione coseno y = cos (x) è definita in modo simile, ma la proiezione delle posizioni angolari P1, P2, ecc. Viene eseguita sull'asse orizzontale del cerchio trigonometrico.

D'altra parte, la funzione y = tan (x) è il rapporto tra la funzione seno e la funzione del coseno.

Quindi viene mostrato un grafico delle funzioni trascendenti Sen (x), cos (x) e tan (x)

Figura 4. Grafico delle funzioni trascendenti, seno, coseno e tangente. (Elaborazione proprie)

Derivato e integrale

Derivato dalla funzione esponenziale

Il derivato E' della funzione esponenziale y = a^x È la funzione a^x moltiplicato da lui Logaritmo neperiano della base a:

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e '= (a^x)' = a^x ln a

Nel caso particolare della base E, Il derivato della funzione esponenziale è la stessa funzione esponenziale.

Parte integrante della funzione esponenziale

L'integrale indefinito di a^x È la funzione divisa tra il logaritmo neperiano della base. 

Nel caso particolare della base E, l'integrale della funzione esponenziale è la stessa funzione esponenziale.

Tabella derivata e integrale delle funzioni trascendenti

Di seguito è riportata una tabella di riepilogo delle principali funzioni trascendenti, i suoi derivati ​​e indefiniti (antidenevativi):

Tabella derivata e integrale indefinita per alcune funzioni trascendenti. (Elaborazione proprie)

Esempi

Esempio 1

Trova la funzione risultante della composizione della funzione f (x) = x^3 con la funzione g (x) = cos (x):

(f o g) (x) = f (g (x)) = cos³(X)

Il suo derivato e il suo integrale indefinito è:

Esempio 2

Trova la composizione della funzione G con la funzione F, essendo G e F le funzioni definite nell'esempio precedente:

(g o f) (x) = g (f (x)) = cos (x³)

Va notato che la composizione delle funzioni non è un'operazione commutativa.

Il derivato e l'integrale indefinito per questa funzione sono rispettivamente:

L'integrale è stato lasciato indicato perché non è possibile scrivere il risultato come combinazione di funzioni elementari in modo esatto.

Riferimenti

1. Calcolo di una singola variabile. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre. 2008
2. Il teorema della funzione implicita: storia, teoria e applicazioni. Steven G. Krantz, Harold R. Parchi. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
3. Analisi multivariabile. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 dicembre. 2010
4. Dinamica del sistema: modellazione, simulazione e controllo dei sistemi mechatronici. Dean c. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar. 2012
5. Calcolo: matematica e modellazione. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 gennaio. 1999
6. Wikipedia. Funzione trascendente. Recuperato da: è.Wikipedia.com