Funzionano iniettivo ciò di cui consiste, a cosa serve ed esempi

UN Funzione iniettiva È qualsiasi relazione di elementi di dominio con un singolo elemento di Codominium. Noto anche come funzione uno per uno ( undici ), fanno parte della classificazione delle funzioni per quanto riguarda il modo in cui i loro elementi sono correlati.

Un elemento di Codominium può essere solo un'immagine di un singolo elemento del dominio, in questo modo i valori della variabile dipendente non possono essere ripetuti.

Fonte: autore.

Un chiaro esempio sarebbe quello di raggruppare uomini con lavoro in un gruppo A e in un gruppo B a tutti i boss. La funzione F Sarà quello che associa ogni lavoratore al proprio capo. Se ogni lavoratore è associato a un boss diverso attraverso F, COSÌ F  Sarà uno Funzione iniettiva.

Considerare Iniettivo Quanto segue deve essere adempiuto a una funzione:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Questo è il modo algebrico di dire Per tutto x₁ diverso da x₂ Hai una f (x₁ ) Diverso da f (x₂ ).

[TOC]

A cosa sono funzioni iniettivi?

L'iniezione è una proprietà di funzioni continue, poiché assicurano l'assegnazione delle immagini per ciascun elemento di dominio, l'aspetto essenziale nella continuità di una funzione.

Quando si traccia una linea parallela all'asse X Sul grafico di una funzione iniettiva, solo il grafico dovrebbe essere toccato in un singolo punto, indipendentemente da quale altezza o grandezza di E La linea è disegnata. Questo è il modo grafico per dimostrare l'iniezione di una funzione.

Un altro modo per testare se una funzione è Iniettivo, sta cancellando la variabile indipendente X In termini di variabile dipendente E. Allora dovrebbe essere verificato se il dominio di questa nuova espressione contiene i numeri reali, allo stesso tempo di ogni valore di E C'è un unico valore di X.

Le funzioni o le relazioni dell'ordine obbediscono, tra le altre forme, la notazione F: d_F→C_F

Questo si legge F che va da D_F a c_F

Dove la funzione F Mettere in relazione i set Dominio E Codominium. Noto anche come set di avviamento e set di arrivo.

Può servirti: campionamento casuale: metodologia, vantaggi, svantaggi, esempi

Il dominio D_F  Contiene i valori consentiti per la variabile indipendente. Il Codominium C_F  È formato da tutti i valori disponibili per la variabile dipendente. Gli elementi di C_F correlato a D_F  Sanno come Gamma di funzioni (r_F ).

Condizionamento delle funzioni

A volte una funzione che non è iniettiva, può subire un certo condizionamento. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in a Funzione iniettiva. Tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione sono validi, dove l'obiettivo è soddisfare le proprietà di iniettività nella relazione corrispondente.

Esempi di funzioni iniettivi con esercizi risolti

Esempio 1

Essere la funzione Fr → R definito dalla linea F (x) = 2x - 3

A: [Tutti i numeri reali]

Fonte: autore.

Si osserva che per qualsiasi valore di dominio c'è un'immagine nel Codominium. Questa immagine è unica, il che rende una funzione iniettiva. Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui maggiore grado di variabile è uno).

Fonte: autore.

Esempio 2

Essere la funzione Fr → R definito da F (x) = x² +1

Fonte: autore

Quando si disegna una linea orizzontale, si osserva che il grafico si trova in più di un'occasione. Per questo motivo la funzione F non è iniettivo mentre è definito  R → R

Il dominio della funzione è condizionato:

                                               Fr⁺ O 0 → R

Fonte: autore

Ora la variabile indipendente non prende valori negativi, in questo modo si evita di ripetere i risultati e la funzione Fr⁺ O 0 → R definito da F (x) = x² + 1 è iniettivo.

Un'altra soluzione omologa sarebbe quella di limitare il dominio a sinistra, cioè limitare la funzione per prendere solo valori negativi e zero.

Il dominio della funzione è condizionato

                                               Fr^- O 0 → R

Fonte: autore

Ora la variabile indipendente non prende valori negativi, in questo modo si evita di ripetere i risultati e la funzione Fr^- O 0 → R definito da F (x) = x² + 1 è iniettivo.

Le funzioni trigonometriche hanno comportamenti simili alle onde, dove è molto comune trovare ripetizioni di valori nella variabile dipendente. Attraverso un condizionamento specifico, in base alla conoscenza preliminare di queste funzioni, possiamo limitare il dominio per soddisfare le condizioni di iniettività.

Può servirti: punti Coplanares: equazione, esempio ed esercizi risolti

Esempio 3

Essere la funzione F: [ -π/2, π/2 ] → R definito da F (x) = cos (x)

Nell'intervallo [ -π/2 → π/2 " La funzione del coseno varia i suoi risultati tra zero e uno.

Fonte: autore.

Come si può vedere nella grafica. Inizia da zero x = -π/2 quindi raggiungendo un massimo di zero. È dopo x = 0 che i valori iniziano a ripetere, fino a tornare a zero in x = π/2. In questo modo si sa F (x) = cos (x) non è iniettivo Per l'intervallo [ -π/2, π/2 " .

Quando si studia la grafica della funzione F (x) = cos (x) Si osservano intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come l'intervallo

[0 , π "

Laddove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.

In questo modo la funzione funzione F: [0 , π ] → R definito da F (x) = cos (x). È iniettivo

Esistono funzioni non lineari in cui vengono presentati casi simili. Per le espressioni razionali, in cui il denominatore ospita almeno una variabile, ci sono restrizioni che impediscono l'iniezione della relazione.

Esempio 4

Essere la funzione Fr → R definito da F (x) = 10/x

La funzione è definita per tutti i numeri reali tranne 0 chi presenta un'indeterminatezza (non può essere diviso tra zero).

Quando si avvicinano zero a sinistra, la variabile dipendente richiede valori negativi molto grandi e immediatamente dopo lo zero, i valori della variabile dipendente prendono figure positive di grandi dimensioni.

Questa interruzione fa l'espressione Fr → R definito da F (x) = 10/x

Non essere iniettivo.

Come visto negli esempi precedenti, l'esclusione dei valori nel dominio serve a "riparare" queste indeterminazioni. Zero è escluso dal dominio, lasciando i set di set e arrivo definiti come segue:

R - 0 → R

Dove R - 0 simboleggia il reale tranne un set il cui unico elemento è zero.

In questo modo l'espressione F: r - 0 → R definito da F (x) = 10/x è iniettivo.

 Esempio 5

Essere la funzione F: [0 , π ] → R definito da F (x) = sin (x)

Nell'intervallo [0 , π " La funzione Sinus varia i suoi risultati tra zero e uno.

Può servirti: variabile casuale: concetto, tipi, esempiFonte: autore.

Come si può vedere nella grafica. Inizia da zero x = 0 quindi raggiungendo un massimo in x = π/2. È dopo x = π/2 che i valori iniziano a essere ripetuti, fino a tornare a zero in x = π. In questo modo si sa F (x) = sin (x) non è iniettivo Per l'intervallo [0 , π " .

Quando si studia la grafica della funzione F (x) = sin (x) Si osservano intervalli in cui il comportamento della curva si adatta ai criteri di iniettività. Come l'intervallo  [  π/2,3π/2  "

Laddove la funzione varia i risultati da 1 a -1, senza ripetere alcun valore nella variabile dipendente.

In questo modo la funzione F: [  π/2,3π/2  ] → R definito da F (x) = sin (x). È iniettivo

Esempio 6

Verifica se la funzione F: [0, ∞) → R definito da F (x) = 3x² È iniettivo.

In questa occasione il dominio dell'espressione è già limitato. Si osserva anche che i valori variabili dipendenti non vengono ripetuti in questo intervallo.

Pertanto si può concludere F: [0, ∞) → R definito da F (x) = 3x²   È iniettivo

Esempio 7

Identificare quale delle seguenti funzioni è

Fonte: autore

1. È iniettivo. Gli elementi associati del Codominium sono univoci per ogni valore della variabile indipendente.
2. Non è iniettivo. Ci sono elementi del co -oominium associati a più di un elemento del set di avvio.
3. È iniettivo
4. Non è iniettivo

Esercizi proposti per classe/casa

Verifica se le seguenti funzioni sono iniettivi:

F: [0, ∞) → R definito da F (x) = (x + 3)²  

F: [ π/2,3π/2  ] → R definito da F (x) = tan (x)

F: [ -π,π  ] → R definito da F (x) = cos (x + 1)

Fr → R definito dalla linea F (x) = 7x + 2

Riferimenti

1. Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee h. Salmone. Università di Pittsburgh
2. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Palo.
3. Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di Matematica. University College Dublino, Beldfield, Dublind 4.
4. Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. la stampa dell'università di Oxford.
5. Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Revoca editoriale s. Al 1991. Barcellona, ​​Spagna.