Funzione omografica come fare graficamente, esercizi risolti

IL funzioneÓn omografia o razionale È un tipo di funzione matematica composta dalla divisione di due componenti polinomiali. Obbedisce al modulo p (x)/q (x), dove q (x) non può assumere forma nulla.

Ad esempio l'espressione (2x - 1)/(x + 3) corrisponde a una funzione omografia con p (x) = 2x - 1 y Q (x) = x + 3.

Fonte: Pixabay.com

Le funzioni omografiche costituiscono una sezione di studio delle funzioni analitiche, trattata dall'approccio grafico e dallo studio del dominio e della gamma. Ciò è dovuto alle restrizioni e alle basi che devono essere applicate per le loro risoluzioni.

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Cos'è una funzione omografia?

Sono espressioni razionali di variabile unica, sebbene ciò non significa che non vi sia espressione simile per due o più variabili, in cui sarebbe già in presenza di corpi nello spazio che obbediscono agli stessi schemi della funzione omografia nel livello.

In alcuni casi hanno radici reali, ma l'esistenza di asintoti verticali e orizzontali viene sempre mantenuta, nonché anche la crescita e la riduzione degli intervalli. Comunemente è presente solo una di queste tendenze, ma ci sono espressioni in grado di mostrare entrambi nel loro sviluppo.

Il suo dominio è limitato dalle radici del denominatore, perché non esiste una divisione tra zero di numeri reali.

Funzione omografia mista

Sono molto frequenti nel calcolo, in particolare differenziale e completo, essendo necessari per derivare e anti -angelo in formule particolari. Alcuni dei più comuni sono classificati di seguito.

Nella coppia di funzionalità omografica

Esclude tutti gli elementi del dominio che rendono l'argomento negativo. Le radici presenti in ciascun polinomio mostrano valori zero quando valutati.

Questi valori sono accettati dal radicale, sebbene la restrizione fondamentale della funzione omografica. Dove q (x) non può ricevere valori null.

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Le soluzioni di intervalli devono essere intercettate:

Per ottenere incroci, il metodo del segno può essere utilizzato, tra gli altri.

Logaritmo delle funzioni omografiche

Esclude i valori del dominio che lanciano intervalli negativi e zeri. Poiché gli zeri sono già esclusi dal denominatore, le soluzioni di:

È anche comune trovare entrambe le espressioni in una, tra le altre possibili combinazioni.

Come graficamente una funzione omografica?

Le funzioni omografiche corrispondono graficamente alle iperboli nel piano. Che vengono trasportati orizzontalmente e verticalmente in base ai valori che definiscono i polinomi.

Esistono diversi elementi che dobbiamo definire per graficamente una funzione razionale o omografia.

Proprietà

Il primo saranno le radici o gli zeri delle funzioni p e q.

I valori raggiunti saranno indicati sull'asse x della grafica. Indicando le intersezioni del grafico con l'asse.

Asintoto verticale

Corrispondere alle linee verticali, che delimitano il grafico in base alle tendenze che presentano. Toccano l'asse X nei valori che rendono il denominatore zero e non verranno mai toccati dal grafico della funzione omografia.

Asintoto orizzontale

Rappresentato da una linea di punti orizzontali, ha delimitato un limite per il quale la funzione non sarà definita nel punto esatto. Le tendenze saranno osservate prima e dopo questa linea.

Per calcolarlo dobbiamo ricorrere a un metodo simile al metodo di Hopital, usato per risolvere i limiti di funzioni razionali che tendono all'infinito. Devono essere presi i coefficienti dei più alti poteri nel numeratore e il denominatore della funzione.

Ad esempio, la seguente espressione ha un asintoto orizzontale a y = 2/1 = 2.

Intervallo di crescita

I valori degli ordinati avranno tendenze contrassegnate nel grafico a causa degli asintoti. Nel caso della crescita, la funzione aumenterà dai valori poiché vengono valutati gli elementi del dominio da sinistra a destra.

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Intervallo decrescente

I valori ordinati diminuiranno quando vengono valutati gli elementi del dominio da sinistra a destra.

I salti trovati nei valori non saranno presi in considerazione come aumenti o diminuzioni. Ciò si verifica quando il grafico è vicino a un verticale o orizzonte.

Incrocio con y

Fare zero il valore di x, è l'intersezione con l'asse degli ordinati. Questo è un fatto molto utile per ottenere il grafico della funzione razionale.

Esempi

Definire il grafico delle seguenti espressioni, trova le sue radici, gli asintoti verticali e orizzontali, la crescita e la riduzione degli intervalli e l'intersezione con l'asse del ordinato.

Esercizio 1

L'espressione manca di radici, perché ha un valore costante nel numeratore. La restrizione da applicare sarà x Diversi da zero. Con asintoto orizzontale a y = 0 e verticale asintoto a x = 0. Non ci sono punti di intersezione con l'asse e.

Si osserva che non ci sono intervalli di crescita anche con il salto da meno a più infinito in x = 0.

L'intervallo di riduzione è

Id: (-∞; o) u (0, ∞)

Esercizio 1.2

2 polinomi sono osservati come nella definizione iniziale, quindi procediamo secondo le fasi stabilite.

La radice trovata è x = 7/2 che deriva dall'equalizzazione della funzione.

L'asintoto verticale è a x = - 4, che è il valore escluso dal dominio a causa della condizione di funzione razionale.

L'asintoto orizzontale è in y = 2, questo dopo aver diviso 2/1, i coefficienti delle variabili di grado 1.

Ha un incrocio con quelli ordinati a y = - 7/4. Valore trovato dopo aver equalizzato la x a zero.

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La funzione cresce costantemente, con un salto da più a meno infinito intorno alla radice x = -4.

Il suo intervallo di crescita è (-∞, - 4) u ( - 4, ∞).

Quando il valore di x è vicino a meno infinito, la funzione prende i valori vicini a 2. Lo stesso accade quando la X si avvicina più infinita.

L'espressione si avvicina più infinita se valutata in - 4 a sinistra e meno infinita se valutata in - 4 a destra.

Esercizio 2

Si osserva il grafico della seguente funzione omografia:

Descrivi il loro comportamento, le radici, gli asintoti verticali e orizzontali, la crescita e la riduzione degli intervalli e l'intersezione con l'asse ordinato.

L'espressione denominatore indica prendendo in considerazione la differenza di quadrati (x + 1) (x - 1) i valori delle radici. In questo modo entrambi gli asintoti verticali possono essere definiti come:

x = -1 e x = 1

L'asintoto orizzontale corrisponde all'asse dell'ascissa perché la potenza principale è nel denominatore.

La sua unica radice è definita da x = -1/3.

L'espressione diminuisce sempre da sinistra a destra. Si avvicina a zero quando tende all'infinito. Meno infinitamente quando ti avvicini -1 a sinistra. Più infinito quando ti avvicini a -1 a destra. Meno infinito quando si avvicina 1 a sinistra e più infinito quando si avvicinano 1 a destra.

Riferimenti

1. Approssimazione con funzioni razionali. Donald J. Uomo nuovo. American Mathematical Soc., 31 dicembre. 1979
2. Funzioni di valutazione ortogonale. Università di La Laguna Tenerife Adhemar Bultheel, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav NJStad. Cambridge University Press, 13 febbraio. 1999
3. Approssimazione di valutazione di funzioni reali. P. P. Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 marzo. 2011
4. Funzioni algebriche. Gilbert Ames Bliss. CoUer Corporation, 1 gennaio. 2004
5. Rivista spagnola della società matematica, 5-6 volumi. Società matematica spagnola, Madrid 1916