Proprietà della funzione esponenziale, esempi, esercizi

IL funzione esponenziale È una funzione matematica di grande importanza per le molte applicazioni che ha. È definito come segue:

f (x) = b^X, Con b> 0 e b ≠ 1

Dove b è una vera costante sempre positiva e diversa da 1, che è noto come base. Si noti che la vera variabile X si trova in esponente, In questo modo f (x) è sempre un numero reale.

Figura 1. Funzioni esponenziali con basi 2 e 1/2

Esempi di funzioni esponenziali sono i seguenti:

-f (x) = 2^X

-g (x) = 5⋅e^-3x

-H (x) = 4⋅ (10^2x)

Queste sono funzioni che crescono - o diminuiscono, secondo il segno dell'esponente - molto rapidamente, quindi si parla della "crescita esponenziale" quando una certa grandezza aumenta molto rapidamente. Questo è il motivo per cui sono appropriati per modellare la crescita degli esseri viventi, come i batteri.

Un'altra applicazione molto interessante è quella dell'interesse composto. Più soldi hai in un conto, più interessi e possono calcolare ogni determinato intervallo di tempo, piccolo come desideri.

Con l'aiuto della funzione logaritmica, che è la funzione inversa dell'esonenziale, può essere noto dopo quanto tempo un determinato capitale aumenta a un certo valore.

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Proprietà della funzione esponenziale

figura 2. Esempi di funzioni esponenziali. Fonte: f. Zapata.

Le seguenti sono le proprietà generali di qualsiasi funzione esponenziale:

-Il grafico di qualsiasi funzione esponenziale interseca sempre l'asse verticale nel punto (0,1), come si può vedere nella Figura 2. Questo perché B⁰ = 1 per qualsiasi valore b.

-La funzione esponenziale non si interseca sull'asse x, in effetti questo asse è un asintoto orizzontale per la funzione.

-Da b¹ = b, punto (1, b) appartiene sempre alla grafica della funzione.

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-Il dominio della funzione esponenziale è l'insieme di numeri reali e f (x) = b^X È continuo in tutto il suo dominio.

-La gamma di funzione esponenziale è tutto numero reale maggiore di 0, che si notano anche con la grafica.

-La funzione esponenziale è una per una, cioè ogni valore x appartenente al dominio della funzione, ha un'immagine unica nel set di arrivo.

-L'inverso dell'esponenziale è la funzione logaritmica.

Proprietà particolari della funzione esponenziale

Come abbiamo detto prima, la funzione esponenziale può aumentare o diminuire.

Se il grafico della Figura 2 è attentamente studiato, si nota che se B> 1, la funzione sta crescendo, ad esempio y = 3^X, Ma nel caso di y = (1/3)^X, con b < 1, la función decrece.

Abbiamo due tipi di funzioni esponenziali con le seguenti proprietà particolari:

Per b> 1

-La funzione è sempre in crescita.

-Quando il valore di B aumenta, la funzione cresce più velocemente, ad esempio y = 10^X cresce più velocemente di y = 2^X.

-Quando la variabile è maggiore di 0, la funzione acquisisce valori superiori a 1, cioè:

Per x> 0: y> 1

-E se x<0, entonces f(x) < 1.

Per b < 1

-La funzione diminuisce sempre.

-Diminendo il valore di B, la funzione diminuisce ancora più velocemente. Ad esempio y = (1/5)^X diminuisce più velocemente di y = (1/3)^X.

-Per valori di x inferiore a 0, la funzione prende valori superiori a 1, cioè:

Per x 1

-Finalmente, quando x> 0, quindi e < 1.

Esempi di funzioni esponenziali

La funzione esponenziale è molto utile per modellare i fenomeni nella scienza e nell'economia, come vedremo di seguito:

Funzione esponenziale naturale

Figura 3: grafico della funzione esponenziale naturale

È la funzione la cui base è il numero E o Eulero, un numero irrazionale il cui valore è:

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E = 2.718181828 ..

Questa base, anche se non è un numero rotondo, funziona molto bene per numerose applicazioni. Pertanto è considerata la base più importante di tutte le funzioni esponenziali. La funzione esponenziale naturale è espressa in modo matematico come:

f (x) = e^X

La funzione esponenziale appare spesso in probabilità e statistiche, poiché varie distribuzioni di probabilità, come la distribuzione normale, Poisson e altri, possono essere espresse attraverso funzioni esponenziali.

Interesse composto continuo

Figura 4: confronto tra interesse semplice e composto

È anche chiamato Capitalizzazione continua. Per conoscere la quantità di denaro A Hai dopo T anni, viene utilizzata un'espressione esponenziale:

A (t) = p ⋅ e^Rt

Dove p è la quantità di denaro originariamente depositata, r è il tasso di interesse all'anno e infine T è il numero di anni.

Crescita dei batteri

Figura 5: curva di crescita batterica in cui si osservano la latenza, le fasi esponenziali, stazionarie e di morte

I batteri crescono esponenzialmente, quindi la crescita può essere modellata da:

N (t) = n_O ⋅ e ^Kt

Dove n (t) è la popolazione esistente dopo il tempo t (quasi sempre in ore), n_O È la popolazione iniziale e K è una costante che dipende dal tipo batterico e dalle condizioni in cui i nutrienti sono disponibili.

Decadimento radioattivo

Alcuni nuclei in natura sono instabili, quindi rifiutano di trasformarsi in quelli più stabili, un processo che può essere molto breve o richiedere migliaia di anni, a seconda dell'isotopo. Durante le particelle di decadimento radioattivo vengono emesse e talvolta anche fotoni.

Alcuni isotopi radioattivi hanno applicazioni mediche, ad esempio la iodio radioattivo I-131, che i medici usano nella diagnosi e nel trattamento di determinate condizioni tiroidee.

Il decadimento radioattivo è modellato da una funzione esponenziale.

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Esercizi risolti

Le equazioni in cui l'ignoto appare come esponente sono chiamate equazioni esponenziali. Per cancellare il valore dell'ignoto, vengono utilizzate diverse manipolazioni algebriche e l'uso della funzione del logaritmo, che è la funzione inversa dell'esponenziale.

Diamo un'occhiata ad alcuni esercizi risolti che illustrano il punto.

- Esercizio 1

Risolvi le seguenti equazioni esponenziali:

a 5^X = 625

b) 5^X = 2^X-1

Soluzione a

Il numero 625 è un multiplo di 5, in effetti, quando lo decomponiamo, troviamo che:

625 = 5⁴

Quindi possiamo scrivere:

5^X = 5⁴

Poiché le basi sono uguali sia a sinistra che a destra, possiamo abbinare gli esponenti e ottenere:

x = 4

Soluzione b

Per questo esercizio non possiamo ricorrere alla tecnica precedentemente utilizzata, poiché le basi non sono le stesse. Ma possiamo applicare il logaritmo su entrambi i lati dell'uguaglianza, in questo modo:

5^X = 2^X-1

Registro (5^X) = log (2^X-1)

Ora viene applicata la seguente proprietà dei logaritmi:

Log m^N = n⋅log m

E rimane:

x⋅log 5 = (x-1) ⋅log 2

x⋅ (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Esercizio 2

Indicare a quale funzione ciascuno dei grafici mostrati di seguito corrisponde:

Figura 6. Grafica parast le funzioni esponenziali dell'esercizio risolto 2. Fonte: Stewart. J. Precalcolazione.

Soluzione a

Poiché è un grafico in crescita, B è maggiore di 1 e sappiamo che il punto (2.9) appartiene al grafico, quindi:

y = b^X → 9 = b²

Lo sappiamo 3² = 9, quindi b = 3 e la funzione è y = 3^X

Soluzione b

Ancora una volta sostituiamo il punto dato (-1, 1/5) a y = b^X ottenere:

1/5 = b^-1 = 1/b

Quindi b = 5 e la funzione ricercata è:

y = 5^X

Riferimenti

1. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni co-bo.
2. Gid Hoffmann, J. Selezione di problemi di matematica per il 4 °. Anno. Ed. Sphinx.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.