Esempi ed esercizi di fattorizzazione comuni

IL Fattorizzazione comune di un'espressione algebrica consiste nel determinare due o più fattori il cui prodotto è uguale all'espressione proposta. In questo modo, alla ricerca del fattore comune, inizia sempre il processo di fattorizzazione.

Per questo si osserva se esiste una presenza di un termine comune, che può essere sia lettere che numeri. Nel caso delle lettere, i letterali comuni sono presi come un fattore comune per tutti i termini che hanno il minimo esponente e, per i numeri, viene calcolato il massimo divisore comune (MCD) di tutti i coefficienti.

Figura 1. Nella fattorizzazione comune, vengono ricercati letterali e coefficienti comuni a ciascun termine. Fonte: Pixabay/F. Zapata.

Il prodotto di entrambi i fattori comuni, a condizione che sia diverso da 1, sarà il fattore comune dell'espressione. Una volta trovata, per divisione di ciascun termine tra detto fattore, viene stabilita la fattorizzazione finale.

Ecco un esempio di come farlo, considerando questo trinomiale:

4x⁵-12x³+8x²

Si vede che tutti i termini contengono la "x" letterale, il cui minimo potere è x². Per quanto riguarda i coefficienti numerici: 4, -12 e 8 sono tutti multipli di 4. Pertanto il fattore comune è 4x².

Una volta trovato il fattore, ogni termine dell'espressione originale è diviso tra esso:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Infine, l'espressione viene riscritta come prodotto del fattore comune e la somma dei risultati delle operazioni precedenti, in questo modo:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

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Come fare in modo che non esiste un fattore comune

Se il fattore comune non è evidente come nell'esempio precedente, è ancora possibile tenerlo, osservando attentamente l'espressione, per vedere se è possibile implementare uno dei seguenti metodi:

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Differenza di due quadrati perfetti

È un'espressione binomiale della forma:

A² - B²

Questo può essere fattore attraverso l'applicazione del prodotto notevole:

A² - B² = (A+B) ⋅ (A-B)

La procedura è la prossima:

-Prima estrarre la radice quadrata di ciascuno dei quadrati perfetti.

-Quindi forma il prodotto tra la somma di queste radici e la sua differenza, come indicato.

Trinomiale quadrato perfetto

I trinomiali della forma:

X² ± 2a⋅x + a²

Stanno prendendo in considerazione il prodotto notevole:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Per applicare questa fattorizzazione, si deve confermare che il trinomio in effetti ha due quadrati perfetti e che il termine rimanente è il doppio prodotto delle radici quadrate di questi valori.

Trinomiale della forma x² + Mx + n

Se il trinomiale a fattore non ha due quadrati perfetti, viene tentato di scriverlo come prodotto di due termini:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Dove dovrebbe essere realizzato ogni volta:

N = a⋅b

M = A+B

Fattorizzazione raggruppando i termini

A volte l'espressione da essere fattore non ha un fattore comune, né corrisponde a nessuno dei casi sopra descritti. Ma se il numero dei suoi termini è pari, questa procedura può essere provata:

-Coppie di gruppo che hanno un fattore comune.

-Incarico ogni coppia per fattore comune, in modo che i termini tra parentesi siano uguali, cioè, in modo che a sua volta la parentesi sia un fattore comune. Se con il gruppo prescelto non lo è, devi provare con un'altra combinazione per trovarlo.

-La fattorizzazione ricercata è il prodotto dei termini all'interno della parentesi per i fattori comuni di ciascuna coppia.

Gli esempi che aiuteranno a chiarire i casi discussi.

Esempi

Fattori le seguenti espressioni algebriche:

a) 6ab² - 18²B³

Questo è un esempio di un fattore comune. A partire dalla parte letterale, le lettere A e B sono presenti nei due termini. Per la variabile "A", l'esponente minore è 1 ed è nel termine 6ab², mentre per la lettera "b" l'esponente minore è b².

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Quindi, ab² È un fattore comune nell'espressione originale.

Per quanto riguarda i numeri, ci sono 6 e -18, quest'ultimo è un multiplo di 6, poiché -18 = -(6 × 3). Pertanto il 6 è un coefficiente numerico del fattore comune, che moltiplicato con la parte letterale è:

6ab²

Ora ogni termine originale è diviso per questo fattore comune:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²B³) ÷ 6ab² = -3ab

Infine, l'espressione originale viene riscritta come prodotto tra il fattore comune e la somma algebrica dei termini trovati nella fase precedente:

6ab² - 18²B³ = 6ab² ⋅ (1-3ab)

b) 16x² - 9

Questa espressione è una differenza rispetto ai quadrati perfetti, quindi si ottiene rispettivamente l'estrazione di radici quadrate in entrambi i termini:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

L'espressione originale è scritta come il prodotto della somma di queste radici quadrate con la sua differenza:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6Z + 8

È un trinomiale della forma x² + MX + N, poiché 8 non è un quadrato perfetto di un altro numero intero, quindi devi trovare due numeri a e b in modo tale da rispettare contemporaneamente:

• A.B = 8
• A + b = 6

Di Tanteo, cioè test, i numeri richiesti sono 4 e 2, poiché:

4 × 2 = 8 e 4 + 2 = 6

COSÌ:

z² + 6Z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Il lettore può verificare, applicando la proprietà distributiva sul lato destro dell'uguaglianza, che entrambe le espressioni siano equivalenti.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Questa espressione è un candidato per la fattorizzazione raggruppando i termini, poiché non esiste un fattore comune ovvio a occhio nudo e ha anche un paio di termini.

È raggruppato come segue, sapendo che l'ordine delle aggiunte non modifica la somma:

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2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Ogni parentesi ha il suo fattore comune:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Il fattore comune definitivo è già stato rivelato: è la parentesi che viene ripetuta in entrambi i termini (2x -3y).

Ora può essere di nuovo fattore:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Perciò:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Ancora una volta, il lettore può applicare la proprietà distributiva a destra dell'uguaglianza, per confermare l'uguaglianza.

Esercizi risolti

Fattore:

a) e² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3 °⁴ + A³ + 15a + 5

Soluzione a

È un trinomiale quadrato perfetto, inizia trovando la radice quadrata dei termini quadrati perfetti:

√ (e²) = y

√ 25 = 5

Si verifica che il termine del centro sia il doppio prodotto di questi due:

10y = 2. 5. E

E la fattorizzazione ricercata è:

E² - 10y + 25 = (Y-5)²

Soluzione b

L'espressione è anche un trinomiale quadrato perfetto:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Il termine centrale viene verificato:

12xy = 2⋅2x⋅3y

Finalmente:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Soluzione c

Il problema è un trinomiale di tipo x² + MX + N:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

M = A + B = 5 = 7 + (- 2) = 5

I numeri appropriati sono 7 e -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Soluzione d

3 °⁴ + A³ + 15a + 5 = (3a⁴ + A³) + (15a + 5)

Il fattore comune di (3 °⁴ + A³) Quello³ e quello di (15a + 5) è 5, raggruppato come segue:

(3 °⁴ + A³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

figura 2. Esercizi di fattorizzazione per praticare. Fonte: f. Zapata.

Riferimenti

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Gruppo di patria culturale.
2. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Mathworld. Fattorizzazione. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Fattorizzazione polinomiale. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.