Caratteristiche dei fattori comuni, esempi, esercizi

Lui fattore comune di un'espressione algebrica è un importo presente in tutti i termini di questo. Quando è noto il fattore comune, è possibile scrivere l'espressione in modo equivalente attraverso un prodotto di fattori.

Non tutte le espressioni algebriche hanno un fattore comune, ci sono solo quelli che possono essere divisi solo tra loro e 1, quindi non è possibile scriverle come prodotto di fattori. Un esempio di espressione che non ha un fattore comune è:

x + y

Figura 1. Il fattore comune di un'espressione algebrica lo rende il prodotto indicato di due fattori. Fonte: Pixabay.

Invece questo sì:

5a + 10b

Si vede che il 5 è presente in entrambi i termini, poiché 10 = 5 ∙ 2. Poiché 5 è il fattore comune, è possibile scrivere quanto segue:

5a + 10b = 5 ∙ (a + 2b)

Il lettore può verificare attraverso la proprietà distributiva, che l'espressione a destra sia uguale all'originale.

Il fattore comune può anche essere letterale o una combinazione di numeri e lettere, ad esempio in 4x² - 2x. IL X e il 2 Sono tra i fattori e l'espressione rimane come prodotto:

4x² -2x = 2x⋅ (x -1)

Il vantaggio di trovare il fattore comune di un'espressione e di scriverlo come prodotto è che è quasi sempre facile operare con esso. Ecco perché viene utilizzato in molte procedure algebriche e di calcolo come:

-Quando si risolvono le equazioni, le cui soluzioni vengono rapidamente rivelate quando si trova il fattore comune.

-Quando si calcola un limite con un'indeterminatezza, questo può scomparire in modo adeguato.

-La fattorizzazione appropriata facilita anche le operazioni con espressioni algebriche razionali, come somme e subtrazioni.

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Caratteristiche del fattore comune

Le caratteristiche principali del fattore comune sono le seguenti:

-Può essere un numero, un'espressione algebrica o una combinazione di entrambi.

-Il fattore comune deve essere contenuto in ciascuno dei termini dell'espressione da fattore.

Può servirti: funzioni trascendenti: tipi, definizione, proprietà, esempi

-Secondo l'importo dei termini che contiene, può essere il caso di:

1. Fattore monomiale comune, se il fattore comune è di un singolo termine,
2. Fattore binomiale comune se hai due termini e
3. Fattore polinomiale comune, se il fattore comune è costituito da diversi termini.

Come trovare il fattore comune di un'espressione algebrica?

Per trovare il fattore comune presente in un polinomio, è necessario calcolare il massimo divisore comune o MCD dei coefficienti numerici di tutti i termini, nonché le lettere o le letterali di ogni termine e scegliere il potere con il minimo esponente.

Le lettere o i letterali possono essere presentati come monomiali, binomiali o polinomi, come si vedrà nei seguenti esempi.

Il più raccomandato per comprendere il processo di ottenimento del fattore comune è seguire gli esempi e praticare la risoluzione di diversi esercizi in ciascun caso.

Esempi di fattori comuni

Non dobbiamo perdere di vista il fatto che l'obiettivo del fattore comune sia convertito un'espressione in un prodotto indicato di fattori. Quindi vengono analizzati i casi più rilevanti:

Fattore monomiale comune

Hai i seguenti monomiali (espressioni algebriche a singolo termine):

2x²; 10x⁴E; 100x⁶E²

Quale può essere il fattore comune per i tre?

A partire dai coefficienti numerici: 2, 10 e 100, tutti sono uniforme e il loro MCD è 2. Per quanto riguarda la parte letterale, la variabile X è presente nei tre termini e la potenza più bassa è x², Quindi il fattore comune è 2x².

I tre termini proposti possono essere scritti come prodotti di questo fattore in questo modo:

2x²= 2x²∙ 1

10x⁴y = 2x² ∙ 5x²E

100x⁶E²= 2x²∙ 50x⁴E²

Moltiplicando i fattori a destra, si può verificare che si ottenga il termine della sinistra.

figura 2. Illustrazione che rappresenta il fattore comune. Fonte: Wikimedia Commons.

Questa tecnica viene applicata quando è necessaria per tener conto di un'espressione algebrica, come nei seguenti esempi:

• Esempio 1

Fatto la seguente espressione:

Può servirti: triangolo isoscele

5x³e + 10x²E² + 5xy²

L'MCD dei coefficienti numerici di ogni termine è:

MCD (5.10) = 5

Per quanto riguarda la parte letterale, sia il X come il E Sono presenti nei tre termini e il meno esponente di ciascuno è 1, quindi il fattore comune è 5xy E puoi scrivere:

5x³e + 10x²E² + 5xy²= 5xy ∙ (x² +2xy²+E)

Fattore polinomiale comune

Il fattore comune può consistere in un binomiale, un trinomiale o in generale in un polinomio. In questo caso, le istruzioni nella sezione precedente sono ancora valide, scegliendo come fattore comune quello con il minimo esponente.

• Esempio 2

Scrivi la seguente espressione come prodotto di due fattori:

2a (x - 1) - 3b (x -1)

Per ispezione diretta, il fattore comune è il binomiale (X-1), COSÌ:

2a (x - 1) - 3b (x - 1) = (x -1) ∙ (2a - 3b)

Fattorizzazione raggruppando i termini

A volte l'esistenza di un fattore comune non è evidente, ma viene rivelata se i termini sono raggruppati in modo conveniente:

• Esempio 3

Fattore 3X³ - 9ax² - x + 3a

A prima vista non esiste un fattore comune in questi quattro termini, poiché ad esempio il X È presente nei primi tre, ma non nell'ultimo. E il A È nel secondo e nell'ultimo niente di più.

Per quanto riguarda i coefficienti, ci sono tre termini in cui il 3 è presente, tuttavia per essere un fattore comune, dovrebbe essere in tutti i termini.

Sembra che questa volta le tecniche descritte non possano essere applicate. Tuttavia, l'espressione può essere factoring raggruppando i primi due termini e gli ultimi due, facendo attenzione quando si posizionano la parentesi, che i segni sono appropriati per non modificare l'originale:

Può servirti: componenti rettangolari di un vettore (con esercizi)

3x³ - 9ax² - x + 3a = (3x³ - 9ax²) - (x - 3a)

Nota il segno negativo in mezzo alle parentesi: è necessario, perché altrimenti l'espressione originale cambierebbe.

Nella parentesi sinistra il fattore comune è 3x², Perciò:

(3x³ - 9ax²) - (x - 3a) = 3x²⋅ (x - 3a) - (x - 3a)

E si osserva che è già apparso un fattore comune: (x - 3a), Cioè, è un fattore per la seconda volta per ottenere:

3x² (X- 3a) - (x - 3a) = (x - 3a) ∙ ( 3x²- 1)

Esercizi di fattori comuni

Esercizio 1

Risolvi l'equazione 4x³ +7x²  +6x = 0

Soluzione

"X" è un fattore comune, quindi:

3x³ −5x²  +2x = x (3x² −5x +2) = 0

Per l'espressione a sinistra, è 0, è sufficiente che una di queste due condizioni sia soddisfatta:

x = 0

O:

3x² −5x +2 = 0

Questa è un'equazione completa di secondo grado che può essere risolta applicando la formula generale, anche utilizzando un calcolatore scientifico o altro metodo algebrico. Le soluzioni di questa equazione sono:

x = 1

x = 2/3

Una volta trovato, è illustrativo scrivere l'equazione come prodotto di 3 fattori, sebbene l'affermazione non lo abbia chiesto. Sarebbe così:

x⋅ (x-1) ⋅ (x-2/3) = 0

Esercizio 2

Calcola il seguente limite se esiste:

Soluzione

Innanzitutto viene sostituito a x = −2 per cercare di valutare il limite, nel fare ciò è ottenuto:

Poiché è un'indeterminatezza del modulo 0/0, devi essere un fattore per provare ad eliminarlo. Il denominatore non può essere fattore, ma il numeratore lo fa.

Nel numeratore il fattore comune è X:

X²+2x = x ∙ (x+2)

L'espressione fattorizzata viene sostituita nel limite e in questo modo l'indeterminatezza scompare:

Si è concluso che il limite esiste e vale −2.

Riferimenti

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Gruppo di patria culturale.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Stewart, J. 2007. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.