Stima puntuale

Spieghiamo qual è la stima del punto, le sue proprietà, i metodi. Inoltre, abbiamo dato un esempio e risolto esercizi

Qual è la stima puntuale?

IL Stima puntuale Dei parametri statistici di alcune caratteristiche della popolazione, è uno che viene eseguito da uno o più campioni di detta caratteristica, rappresentata come variabile casuale.

Le popolazioni possono essere diverse: le donne di una città, i pazienti di un ospedale, le viti prodotte da un certo settore in un mese e molti altri.

Nella popolazione di donne in una città, uno studio statistico può concentrarsi su varie caratteristiche di questa popolazione: ad esempio la dimensione di scarpe, altezza, misura della vita, colore dei capelli, numero di bambini, età e innumerevoli altre caratteristiche.

Una volta scelto la popolazione e le caratteristiche che vogliono sottoporsi a uno studio statistico, viene scelto un campione di dimensioni N, che di solito è abbastanza più piccolo della dimensione N della popolazione totale.

Proprietà della stima puntuale

Noto i dati di un campione, che sono rappresentati da una variabile casuale X, Questi sono rappresentati da un insieme di N Numeri reali: (x₁, X₂,.. ., X_N).

Con questi dati alcune statistiche del campione possono essere calcolate:

• Campione medio: = (x₁+X₂,.. ., +X_N)/N.
• Varianza di campionamento: S² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{N ‾} )²]/N.
• Campione Quasi-Variza: Sc² = [x_{1 ~} )² +.. . +(X_{N ‾})²]/(N _‾ 1).

Distribuzione normale di una popolazione con valore centrale μ e deviazione Sigma σ

D'altra parte, il Popolazione media μ e il varianza della popolazione σ² Richiederebbero la conoscenza di tutti i dati della popolazione totale, che ha una dimensione N >> n. Di conseguenza, è spesso impossibile sapere esattamente i parametri della popolazione.

In considerazione di ciò, i valori della popolazione generalmente si avvicinano ai valori del campione, approssimazione nota come Stima puntuale. SSarà buono o cattivo, a seconda principalmente della quantità di dati e della qualità del campione. Il campione è noto come il estimatore.

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Un buon stimatore deve avere alcune caratteristiche o proprietà desiderabili:

• Coerenza
• Variazione minima 
• Efficienza.

1.- Coerenza

Un campione deve avere un numero sufficiente di dati in modo che la stima dei parametri sia coerente. Ad esempio, se vengono prelevati tre o più campioni e le statistiche dei campioni sono molto dissimili l'uno dall'altro, non sarebbe appropriato prendere nessuno di questi risultati come una stima specifica. 

Nella maggior parte dei casi è sufficiente prelevare campioni di maggior numero di dati, in modo che i parametri statistici ottenuti da essi inizino a mostrare convergenza o coincidenza, sempre con una certa tolleranza. Nel caso in cui non vi sia convergenza, nonostante l'aumento dei dati, la loro qualità dovrebbe essere rivista, poiché potrebbero avere un pregiudizio, o sono stati semplicemente presi male.

2.- Variabilità minima

Se sono disponibili diversi stimatori i cui valori medi coincidono con una certa tolleranza, quelli che hanno la minima varianza del campione sono scelti.

3.- Efficienza

Uno stimatore è efficiente dal momento in cui le varianze del campione delle calze tendono a zero, poiché N tende a infinito. È quello che viene chiamato Efficienza asintotica dello stimatore.

Metodi

Di seguito sono riportate alcune pratiche o metodi che consentiranno di effettuare una stima puntuale di successo dei parametri della popolazione, a partire da un campione.

1.-Partizione casuale

Viene utilizzata la partizione casuale di un campione per verificare la coerenza. Questo metodo consiste nel prendere un campione di dimensioni N e dividerlo casualmente in due campioni, di dimensioni n/2 ciascuno.

Se la media del campione e la varianza del campione coincidono con un certo numero di figure significative, di solito 2 o 3 cifre, allora si può dire che c'è coerenza tra di loro.

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D'altra parte, se esiste una coincidenza a livello di figure significative tra i parametri statistici calcolati con il campione di dimensioni N originale e i due subsam, c'è anche convergenza e si può affermare che la dimensione del campione è sufficiente. Altrimenti, sarebbe necessario prendere ulteriori dati, per aumentare la quantità di dati di esempio.

2.- Metodo della modalità

Questo metodo è quello di abbinare i momenti di un campione casuale di dimensioni N, con quelli ottenuti dal candidato di distribuzione del campione. Se la distribuzione dei candidati ha parametri M, sarà necessario abbinare m momenti.

3.- Metodo di credibilità massima

Fu proposto da Fisher, uno dei genitori di scienze statistiche, circa cento anni fa. Consiste nell'ottimizzare o massimizzare la probabilità di verificarsi di un determinato set di valori di campionamento.

Esempio

Supponiamo che il comportamento di una determinata variabile di popolazione segua una distribuzione esponenziale, la cui densità di probabilità è data da:

 f (x; λ) = λ ⋅ exp (−λ⋅x)

È chiaramente una singola distribuzione dei parametri λ.

Per fare una stima di detto parametro della popolazione, è possibile utilizzare un campione casuale di dimensioni N, i cui risultati sono i seguenti: (x₁, X₂,.. ., X_N)

Si ottiene il primo momento del campione, che è il valore medio, attraverso:

= (x₁ + X₂ +… + X_N) / N

Si può dimostrare che il primo momento della distribuzione esponenziale è l'integrale di 0 all'infinito della funzione X⋅f (x; λ) e il suo risultato è 1/λ.

Eguagliando il momento del campione con quello della distribuzione della popolazione, si è concluso che la stima specifica di λ è 1/.

Esercizi risolti

Esercizio 1

In uno studio condotto con 100 dati, è stato stabilito che il tempo medio che una persona impiega per visualizzare un video di YouTube, una volta che la notifica è stata ricevuta, è di 3 minuti. Trova la distribuzione della probabilità temporale utilizzata per vedere il video, una volta ricevuta la notifica.

Può servirti: y = 3sen (4x) Periodo di funzione

Soluzione

Si presume che la massima probabilità che una persona riveda un video si verifichi subito dopo la notifica, ma se passa molto tempo dopo, la probabilità che la persona veda il video è molto basso.

Questo è il comportamento tipico di una distribuzione esponenziale, pertanto il comportamento della popolazione può essere modellato attraverso la seguente distribuzione di probabilità, per il tempo t (in minuti), misurato dalla notifica:

 f (t; λ) = λ ⋅ exp (−λ⋅t)

In questo tipo di distribuzione, la speranza o la media è = 1/λ, come spiegato nella sezione precedente. Quindi, dalle informazioni sul campione è possibile approssimare λ:

λ ≈ ⅓.

Esercizio 2

Viene condotto un sondaggio con un'unica domanda, le cui possibili risposte sono: sì (1) o no (0). I risultati del sondaggio in cui tutti hanno risposto sono stati: 26 sì e 14 no.

Nel presupposto che la risposta sia casuale, quindi la distribuzione di questi risultati è a distribuzione binomiale la cui probabilità è:

P = p²⁶ · (1 - -P)¹⁴

Si può dimostrare che il massimo di questa funzione si verifica quando P prende il valore 26/40, e questo è il valore che rende ottenuti i valori del campione.