Spazio vettoriale di base e dimensione, assiomi, proprietà

UN spazio vettoriale È un set non sofferto V= O, v, W,..., i cui elementi sono vettori. Con loro vengono eseguite alcune operazioni importanti, tra cui si distinguono le seguenti:

- Somma tra due vettori u + v di conseguenza z, che appartiene al tutto V.

- Moltiplicazione di un numero reale α per un vettore v: α v che dà un altro vettore E che appartiene a V.

Visione artistica di uno spazio vettoriale. Fonte: Pixabay

Per indicare un vettore usiamo in grassetto (v È un vettore) e per i scalari o i numeri lettere greche (α è un numero).

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Assiomi e proprietà

Per essere uno spazio vettoriale, gli otto assiomi successivi devono essere adempiuti:

1 Conmutabilità: O +v = v +O

2-transitività: (O + v) + W = O + ( v + W)

3-esistenza del vettore nullo 0 tale che 0 + v = v

4-esistenza dell'opposto: l'opposto di v È (-v) , dato che v + (-v) = 0

Distributività a 5 prodotti rispetto alla somma vettoriale: α ( O + v ) = αO +αv

Distributività a 6 prodotti rispetto alla somma scalare: (α + β)v = αv +βv

7-Associatività del prodotto scalare: α (β v) = (α β)v

8-Il numero 1 È l'elemento neutro da allora: 1v = v

Esempi di spazi vettoriali

Esempio 1

I vettori nel piano (R²) sono un esempio di spazio vettoriale. Un vettore sul piano è un oggetto geometrico che ha grandezza e direzione. È rappresentato da un segmento orientato che appartiene a detto piano e con una dimensione proporzionale alla sua grandezza.

La somma di due vettori nel piano può essere definita come il funzionamento geometrico del secondo vettore dopo il primo. Il risultato della somma è il segmento orientato che inizia dall'origine del primo e raggiunge la punta del secondo.

Nella figura si può notare che la somma in R² è commutativa.

figura 2. I vettori nello spazio del piano formano. Fonte: sé realizzato.

Il prodotto di un numero α è anche definito da un vettore. Se il numero è positivo, l'indirizzo vettoriale originale viene mantenuto e la dimensione è α volte il vettore originale. Se il numero è negativo, l'indirizzo è l'opposto e la dimensione del vettore risultante è il valore assoluto del numero.

Il vettore contrario a un vettore qualsiasi v È -v = (-1) v.

Il vettore nullo è un punto nel piano R² e il numero zero da parte di un vettore provoca il vettore nullo.

Tutto detto è illustrato nella Figura 2.

Esempio 2

Impostato P Di tutti i polinomi inferiori o uguali a due, incluso il grado zero, formano un set che soddisfa tutti gli assiomi di uno spazio vettoriale.

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Essere il polinomio p (x) = a x² + b x + c y q (x) = d x² + e x + f

La somma di due polinomi è definita: p (x) + q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

La somma dei polinomi appartenenti al tutto P È commutativo e transitivo.

Il polinomio nullo appartenente al tutto P È uno che ha tutti i suoi coefficienti pari a zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

La somma di uno scalare α è definita da un polinomio come: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ b x + α ∙ c

Il polinomio opposto di p (x) è -p (x) = (-1) p (x).

Da tutto quanto sopra segue che il set P Di tutti i polinomi inferiori o uguali a due, è uno spazio vettoriale.

Esempio 3

Impostato M di tutte le matrici di m righe x n colonne i cui elementi sono numeri reali formano uno spazio vettoriale reale, rispetto alla somma delle matrici e al prodotto di un numero da parte di una matrice.

Esempio 4

L'insieme F delle funzioni continue della variabile reale, forma uno spazio vettoriale, poiché è possibile definire la somma di due funzioni, la moltiplicazione di uno scalare per una funzione, la funzione nulla e la funzione simmetrica. Soddisfano anche gli assiomi che caratterizzano uno spazio vettoriale.

Base e dimensione di uno spazio vettoriale

Base

Un insieme di vettori linearmente indipendenti è definito come la base di uno spazio vettoriale in modo tale che da una combinazione lineare di loro qualsiasi vettore di quello spazio vettoria.

La combinazione linearmente di due o più vettori consiste nel moltiplicare i vettori per alcuni scalari e quindi aggiungendoli Vectorly.

Ad esempio, nello spazio vettoriale del vettore in tre dimensioni formate da R³ viene utilizzata la base canonica definita dai vettori dell'unità (di grandezza 1) (di grandezza 1) Yo, J, K.

Dove Yo = (1, 0, 0); J = (0, 1, 0); K = (0, 0, 1). Questi sono vettori cartesiani o canonici.

Qualsiasi vettore V appartenere a r³ è scritto come V = a Yo + B J + C K, che è una combinazione lineare di vettori di base Yo, J, K. Scalari o numeri a, b, c sono noti come componenti cartesiani di V.

Si dice anche che i vettori di base di uno spazio vettoriale formano un insieme di spazio vettoriale.

Dimensione

La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero cardinale di una base vettoriale per detto spazio; cioè il numero di vettori che compongono detta base.

Questo cardinale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti di quello spazio vettoriale e allo stesso tempo il numero minimo di vettori che formano un set di generazione di detto spazio.

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Le basi di uno spazio vettoriale non sono uniche, ma tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno la stessa dimensione.

Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V in cui le stesse operazioni sono definite come in V e soddisfa tutti gli assiomi dello spazio vettoriale. Pertanto, il sottospazio sarà anche uno spazio vettoriale.

Esempio di sottospazio vettoriale sono i vettori che appartengono al piano XY. Questo sottospazio è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale di dimensionalità maggiore dell'insieme di vettori appartenenti allo spazio tridimensionale XYZ.

Un altro esempio di sottospazio vettoriale S1 dello spazio vettoriale è formato da tutte le matrici 2 × 2 con elementi reali è quello definito di seguito:

D'altra parte, S2 definito di seguito, sebbene sia un sottoinsieme di S, non forma un sottospazio vettoriale:

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Essere i vettori V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) e V3= (0, 0, 3) in r³.

a) dimostrare che sono linearmente indipendenti.

b) Dimostrare che formano una base in r³, poiché qualsiasi elenco (x, y, z) può essere scritto come una combinazione lineare di v1, v2, v3.

c) Trova i componenti dell'elenco V = (-3,5,4) alla base V1, V2, V3.

Soluzione

Il criterio per dimostrare l'indipendenza lineare è stabilire la seguente serie di equazioni in α, β e γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Nel caso in cui l'unica soluzione a questo sistema sia α = β = γ = 0, i vettori sono linearmente indipendenti, altrimenti non lo sono.

Per ottenere i valori di α, β e γ proponiamo il seguente sistema di equazioni:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Il primo porta a α = 0, il secondo α = -2 ∙ β ma come α = 0 quindi β = 0. La terza equazione implica che γ = (-1/3) β, ma come β = 0 quindi γ = 0.

Rispondi a

Si è concluso che si tratta di un insieme di vettori linearmente indipendenti in R³ .

Risposta b

Ora scriviamo l'elenco (x, y, z) come una combinazione lineare di v1, v2, v3.

(x, y, z) = α v1 + β v2 + γ v3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

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α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Dove hai:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Il primo indica α = x, il secondo β = (y-x)/2 e il terzo γ = (z- y/2 +x/2)/3. In questo modo abbiamo trovato i generatori di α, β e γ di qualsiasi elenco R³ 

Risposta c

Troviamo i componenti dell'elenco V = (-3,5,4) alla base V1, V2, V3.

Sostituiamo i valori corrispondenti nelle espressioni trovate sopra per i generatori.

In questo caso abbiamo: α = -3; β = (5-(-3))/2 = 4; γ = (4- 5/2 +(- 3)/2)/3 = 0

Questo è:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Finalmente:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Concludiamo questo V1, v2, v3 Formano una base nello spazio vettoriale r³ della dimensione 3.

-Esercizio 2

Polinomiale espresso P (T) = T² + 4T -3 come combinazione lineare di P1 (T) = T² -2t + 5, P2 (T) = 2T² -3t e P3 (T) = T + 3.

Soluzione

P (t) = x p1 (t) + e p2 (t) + z p3 (t)

dove devono essere determinati i numeri x, y, z.

Moltiplicando e raggruppando i termini con la stessa misura in T si ottiene:

T² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Che ci porta al seguente sistema di equazioni:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3Z = -3

Le soluzioni di questo sistema di equazioni sono:

x = -3, y = 2, z = 4.

Questo è:

P (t) = -3 p1 (t) + 2 p2 (t) + 4 p3 (t)

-Esercizio 3

Mostra quei vettori V1= (1, 0, -1, 2); V2= (1, 1, 0, 1) e V3= (2, 1, -1, 1) di R⁴ sono linearmente indipendenti.

Soluzione

Combiniamo linearmente i tre vettori V1, V2, V3 E chiediamo che la combinazione aggiunga l'elemento nullo di R⁴

A V1 + B V2 + C V3 = 0

Cioè per dire,

A (1, 0, -1, 2) + B (1, 1, 0, 1) + C (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Questo ci porta al seguente sistema di equazioni:

A + b + 2 c = 0

B + C = 0

-A - c = 0

2 a + b + c = 0

Sottraendo il primo e il quarto abbiamo: -a + c = 0 cosa implica a = c.

Ma se guardiamo la terza equazione, dobbiamo = -c. L'unico modo per incontrare A = C = (-C) è che C è 0 e quindi sarà anche 0.

A = c = 0

Se sostituiamo questo risultato nella prima equazione, concludiamo che b = 0.

Finalmente a = b = c = 0, quindi si può concludere che i vettori V1, V2 e V3 sono linearmente indipendenti.

Riferimenti

1. Lipschutz, s. 1993. Algebra lineare. Seconda edizione. McGraw - Hill. 167 - 198.