Formule di energia gravitazionale, caratteristiche, applicazioni, esercizi

IL Energia gravitazionale È quello che ha un oggetto enorme quando è immerso nel campo gravitazionale prodotto da un altro. Alcuni esempi di oggetti con energia gravitazionale sono: la mela nell'albero, la mela che cade, la luna in orbita in orbita alla terra e la terra in orbita al sole.

Isaac Newton (1642-1727) fu il primo a rendersi conto che la gravità è un fenomeno universale e che ogni oggetto con massa produce nel suo ambiente un campo in grado di produrre una forza su un'altra.

Figura 1. La luna orbita in orbita dalla terra ha energia gravitazionale. Fonte: Pixabay

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Formule ed equazioni

La forza citata a Newton è nota come forza gravitazionale e fornisce energia all'oggetto su cui agisce. Newton ha formulato la legge sulla gravitazione universale come segue:

"Sii rispettivamente due oggetti di massa specifici M1 e M2, ognuno esercita sull'altro una forza di attrazione proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale alla piazza della distanza che le separa.".

Nell'espressione precedente, F È la forza di attrazione gravitazionale che l'oggetto 1 esercita sull'oggetto 2 (o viceversa), M1 E M2 Le rispettive masse di oggetti e R è la distanza che separa gli oggetti. G È una costante di proporzionalità nota come costante gravitazionale.

Energia gravitazionale O associato alla forza gravitazionale F È:

Nota la presenza di un segno negativo, il che significa che se la separazione tra gli oggetti è finita, la sua energia gravitazionale è negativa. Ma se la separazione tende all'infinito, allora l'energia gravitazionale è zero.

Un oggetto immerso in un campo gravitazionale ha un'energia potenziale gravitazionale O e energia cinetica K. Se non ci sono altre interazioni o sono di intensità trascurabile, l'energia totale E di questo oggetto è la somma della sua energia gravitazionale più la sua energia cinetica:

E = k + u

Se un oggetto si trova in un campo gravitazionale e altre forze dissipative non sono presenti, come l'attrito o la resistenza all'aria, allora l'energia totale E È un importo che rimane costante durante il movimento.

Caratteristiche dell'energia gravitazionale

- Un oggetto ha energia potenziale gravitazionale se è solo in presenza del campo gravitazionale prodotto da un altro.

- L'energia gravitazionale tra due oggetti cresce man mano che la distanza di separazione tra loro è maggiore.

- Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale è uguale e contrario alla variazione dell'energia gravitazionale della posizione finale rispetto a quella della sua posizione iniziale.

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- Se un corpo è soggetto solo all'azione della gravità, allora la variazione della sua energia gravitazionale è uguale e contraria alla variazione della sua energia cinetica.

- L'energia potenziale di un oggetto di massa M ad un'altezza H Per quanto riguarda la superficie terrestre è MGH volte maggiore dell'energia potenziale in superficie, essendo G L'accelerazione della gravità, per le altezze H Molto più basso del raggio terrestre.

Potenziale di campo e gravitazionale

Il campo gravitazionale G È definito come forza gravitazionale F per unità di massa. Viene determinato posizionando una particella di prova in ciascun punto dello spazio e calcolando il quoziente tra la forza che agisce sulla particella di prova divisa per il valore della sua massa:

G = F / M

Viene definito il potenziale gravitazionale V di un oggetto di massa M come energia potenziale gravitazionale di quell'oggetto diviso per la propria massa.

Il vantaggio di questa definizione è che il potenziale gravitazionale dipende solo dal campo gravitazionale, in modo che una volta noto il potenziale V, Energia gravitazionale O di un oggetto di massa M È:

U = m.V 

figura 2. Campo gravitazionale (linee continue) ed equi -potenziali (linea segmentata) per il sistema terrestre - Luna. Fonte: W T Scott, AM. J. Phys. 33, (1965).

Applicazioni

L'energia potenziale gravitazionale è ciò che i corpi immagazzinano quando si trovano in un campo gravitazionale.

Ad esempio, l'acqua contenuta in un serbatoio ha più energia nella misura in cui il serbatoio è un'altezza più alta.

In un serbatoio più alto, maggiore è la velocità di uscita dell'acqua dal rubinetto. Questo perché l'energia potenziale dell'acqua all'altezza del serbatoio viene trasformata in energia dell'acqua cinetica all'uscita del rubinetto.

Quando l'acqua è danneggiata nella parte superiore di una montagna, quell'energia potenziale può essere utilizzata per ruotare le turbine di generazione di elettricità.

L'energia gravitazionale spiega anche le maree. Poiché l'energia e la forza gravitazionale dipendono dalla distanza, l'attrazione gravitazionale della luna è maggiore di fronte alla terra più vicina alla luna rispetto alla faccia più lontana e più opposta.

Questo produce una differenza nelle forze che deforma la superficie del mare. L'effetto è maggiore su una luna nuova, quando il sole e la luna sono allineati.

La possibilità di costruire stazioni spaziali e satellitari che rimangono relativamente vicine al nostro pianeta, è dovuta all'energia gravitazionale prodotta dalla Terra. Se non le stazioni spaziali e i satelliti artificiali vagerebbero nello spazio.

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Potenziale gravitazionale della terra

Supponiamo che la terra abbia la massa M e un oggetto che si trova sopra la superficie terrestre a distanza R Per quanto riguarda il centro dello stesso ha una massa M. 

In questo caso, il potenziale gravitazionale è determinato dall'energia gravitazionale semplicemente dividendo tra la massa dell'oggetto risultante:

Il potenziale gravitazionale sulla superficie terrestre si ottiene sostituendo R Dal raggio terrestre r_T. 

Energia potenziale vicino alla superficie terrestre

Supponiamo che la Terra abbia la radio R_T  e Messa M.

Anche se la Terra non è un oggetto tempestivo, il campo sulla sua superficie è equivalente a quello che sarebbe ottenuto se tutta la sua massa M Era concentrato al centro, in modo che l'energia gravitazionale di un oggetto in altezza H sulla superficie terrestre sia 

U (r_T + H) = -G.M m (r_T + h)^-1

Ma perché H è molto meno di R_T, L'espressione precedente può avvicinarsi a 

U = Uo + mgh

Dove g è l'accelerazione della gravità, il cui valore medio per la terra è 9.81 m/s^2.

Quindi l'EP di energia potenziale di una massa M all'altezza H sulla superficie terrestre è:

Ep (h) = u +uo = mgh

Sulla superficie terrestre h = 0, quindi un oggetto sulla superficie ha EP = 0. Calcoli dettagliati possono essere visti nella Figura 3.

Figura 3. Energia potenziale gravitazionale ad un'altezza h in superficie. Fonte: preparato da F. Zapata.

Esercizi 

Esercizio 1: crollo della terra gravitazionale

Supponiamo che il nostro pianeta subisca un collasso gravitazionale per la perdita di energia termica all'interno e il suo raggio decade fino alla metà del valore attuale, ma la massa del pianeta è costante.

Determina quale sarebbe l'accelerazione della gravità vicino alla superficie della nuova terra e quanto un sopravvissuto che pesa 50 kg-F prima del crollo. Aumenta o diminuisce l'energia gravitazionale della persona e in quale fattore.

Soluzione

L'accelerazione della gravità sulla superficie di un pianeta dipende dalla sua massa e dal suo raggio. La costante di gravitazione è universale e serve ugualmente per pianeti ed esopianeti.

Nel caso in cui siamo sollevati, se il raggio della terra è ridotto della metà, l'accelerazione di gravità della nuova terra sarebbe 4 volte maggiore. I dettagli possono essere visti nella tavola successiva.

Ciò significa che un Superman e un sopravvissuto che sul vecchio pianeta pesavano 50 kg-F pesa 200 kg-F sul nuovo pianeta.

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D'altra parte, l'energia gravitazionale sarà stata ridotta della metà sulla superficie del nuovo pianeta.

Esercizio 2: collasso gravitazionale e velocità di fuga

In riferimento alla situazione sollevata nell'esercizio 1, cosa accadrebbe alla velocità di scarico: aumenta, diminuisce, in quale fattore?

Soluzione 2

La velocità di scarico è la velocità minima necessaria per sfuggire all'attrazione gravitazionale di un pianeta.

Per calcolare si presume che un proiettile che spara con questa velocità raggiunga l'infinito con una velocità zero. Inoltre, nell'infinito l'energia gravitazionale è zero. Pertanto un proiettile che spara con la velocità di scarico avrà zero energia totale.

Vale a dire che sulla superficie del pianeta al momento del colpo la somma dell'energia cinetica dell'energia del proiettile + gravitazionale deve essere annullata:

½ m ve^2 - (g m.Sig_T = 0

Si noti che la velocità di scarico non dipende dall'impasto del proiettile e il suo valore quadrato è

Ve^2 = (2g m) / r_T

Se il pianeta crolla fino a una metà del raggio dell'originale, il quadrato della nuova velocità di scarico diventa doppio.

Pertanto la nuova velocità di scarico cresce e diventa 1.41 volte la vecchia velocità di fuga:

Ve '= 1.41 Vedi

Esercizio 3: energia gravitazionale di mele

Un ragazzo sul balcone di un edificio a 30 metri da terra rilascia una mela di 250 g, che dopo alcuni secondi raggiunge il terreno.

Figura 4. Durante la caduta, l'energia potenziale della mela si trasforma in energia cinetica. Fonte: Pixabay.

a) Qual è la differenza di energia gravitazionale della mela nella parte superiore della mela a livello del suolo?

b) quanto velocemente ha fatto la mela appena prima di diffondersi a terra?

c) Che ne dici di energia una volta che la mela ha schiacciato contro il terreno? 

Soluzione

a) La differenza nell'energia gravitazionale è 

M.G.H = 0.250 kg * 9.81 m/s^2 * 30 m = 73.6 J

b) L'energia potenziale che la mela aveva quando era alta 30 m si trasforma in energia cinetica per quando la mela raggiunge il terreno.

½ m v^2 = m.G.H

V^2 = 2.G.H

Sostituendo i valori e la cancellazione, ne consegue che la mela raggiunge il terreno con una velocità di 24.3 m/s = 87.3 km/h.

c) Ovviamente la mela è sparsa e tutta l'energia gravitazionale accumulata all'inizio viene persa sotto forma di calore, poiché i pezzi di mela e la zona di impatto sono riscaldati, inoltre parte dell'energia viene anche dissipata sotto forma di onde sonore "Splash".

Riferimenti

1. Alonso, m. (1970). Vol Physics. 1, fondo educativo inter -americano. 
2. Hewitt, Paul. 2012. Scienze fisiche concettuali. 5 °. Ed. Pearson.
3. Cavaliere, r. 2017. Fisica per scienziati e ingegneria: un approccio strategico. Pearson.
4. Sears, f. (2009).University Physics Vol. 1 
5. Wikipedia. Energia gravitazionale. Recuperato da: è.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Energia gravitazionale. Recuperato da: in.Wikipedia.com